我们一起走过作文1990高考数学全国卷及答案理

2020年12月1日发(作者：康志杰)

1990年
普通高等学校招生全国统一考试
数学
（理工农医类）

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,把所选项前
的字母填在题后括号内








(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于


(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(5)








(A){-2,4} (B){-2,0,4}
(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4}
(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么

(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6
(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线的一支 (D)抛物线



(B){(2,3)}
(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1}







(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,
那么异面直线EF与SA所成的角 等于

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
(12)已 知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满

足│a－1│(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
(C)甲是乙的充分条件
(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
(13)A,B,C,D,E五人并排站 成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么
不同的排法共有
(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种
(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有
(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个
(15)设函数y=arctg x的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象
C＇与C关于原点对称,那么C＇所对 应的函数是
(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2)
(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2)
二、填空题:把答案填在题中横线上.


(17)(x-1) -(x-1)
2
+(x-1)
3
-(x-1)
4
+(x-1 )
5
的展开式中,x
2
的系数等于
(18) 已知{a
n
}是公差不为零的等差数列,如果S
n
是{a
n
}的前n项的和,那

(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是
(20 )如图,三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中,若E、F分别为 AB、AC
的中点,平面EB
1
C
1
F将三棱柱分成体积为V1
、V
2
的两部分,那么V
1
:V
2
＝


三、解答题.7
(21)有四个数,其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列,并且第一个数与第
四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个 数.





(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交
AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度

数.


(24)设a≥0,在复数集C中解方程z
2
+2│z│＝a.






n≥2.
(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;
(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)

参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.
(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C (6)B (7)A (8)D (9)B (10)D
(11)C (12)B (13)B (14)C （15)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.
三、解答题.
(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.
解法一:
①

由②式得 d=12-2a. ③


整理得 a
2
-13a+36=0
解得 a
1
=4,a
2
=9.
代入③式得 d
1
=4,d
2
=-6.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①

由①式得 x=3y-12. ③
将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)
2
,
整理得 y
2
-13y+36=0.
解得 y
1
=4,y
2
=9.
代入③式得 x
1
=0,x
2
=15.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.

解法一:由已知得


解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,
sinα）,点B的 坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x
2
+y
2
=1上.连 结

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有



解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).


将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β).



于是 α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),
或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z).
若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).
于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z),
即 α＋β＝2+2kπ(k∈Z).

所以

(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等 基本知识,以及逻辑
推理能力和空间想象能力.

解法一:由于SB＝BC,且E是 SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,
所以SC⊥BE.
又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E,
∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,
∴SA⊥BD.
而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.
∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA＝a,
又因为AB⊥BC,


∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.