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unsv全国高考数学试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-12-01 07:08
tags:全国高考数学, 试题, 高考

烤饼的做法-街角的祝福吉他谱

2020年12月1日发(作者:阚朝玺)
全国高考数学试题
理科试题
一.选择题:本题共18个小题;每小题3分,共54分。 在每小题
给出的四个选项中,
母填在题后括号内。
(1)若双曲线实半轴长为
(A)
3
2
只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字
2,焦距为6,那么 离心率是
(C)
3
2
(C)
(B)
1tg2x
1t g2x
2
2
6
2
(D)2
(B)
(D)
2
(2)函数
y
(A)
的最小正周期是
(C)
4
( B)
2
(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是
2
时,圆锥的轴截面顶角是< br>(A)45
0
(B)60
1i
2
0
(C)90
z
50
0
(D)120(C)
(D)
(D)-i
(C)
0
(4)当
z
(A)1
时,
z
100
1
的值等于
(B)-1 (C)i
(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是
b(A)
arctg
()
a
a
(B)
arctg()b
(C)
b
)
arctg
(
a
(D)
a
arctg()
b
(6)在直角三角形中两锐角为
(A)有最大值
1
2
A和B,则sinAsinB
1
2
(B)
和最小值0 (B)有最大值,但无最小值
(C)即 无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值
{
a
n
}
(7) 在各项均为正数的等比数列
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10
中,若
a
5
a
6
9
,则
(B)
1
(A)12
(8)
F(x)(1
(B)10
2
2
x
(C)8 (D)
2log
3
5< br>)
f
(
x
)(
x
1
0)
是偶函数, 且
f(x)
不恒等于零,则
f(x)
(A)是奇函数(B)是偶函数 ( A)
(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数
(9)曲线的参数 方程为
(A)线段
x
y
3t
t
2
2,
1.
2
(0t5)
,则曲线是(A)
(B)双曲线的一支(C)圆弧(D)射线< br>(D)(10)若
a,b
是任意实数,且
ab
,则
(A)a
2
b
2
(B)
b
a
1
(C)
lg(ab)
sin,02},F
0
1
a
(D)
()2
{|tgsin}
1
b
()
2
(11)已知集合E{|cos
EF
为区间
2
,那么
(A)
3
( B)
(,
)
44
22
(A)
(
,)
3(C)
(,
)
2
22
35
(D)
(,)
44
(12)一动圆与两圆:x+y=1和x+y-8x+12=0都外切,则动圆圆
心的轨 迹为
(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支
(C)
(D)椭圆
(13)若 正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是
..
(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱 锥(D)六棱锥(D)
(14)如果圆柱轴截面的周长
l
为定值,那么圆柱体积的最大 值是
(A )
(A)
()
6
l
3
(B)
( )
3
3
l
3
(C)
()
4
l
3< br>1l
3
(D)
()
44
(15)由
(3x

(A)50项
2)
100
展开所得的x的多项式中,系数为有理数的共
(B)
(B)17项(C)16项(D)15项
2
(16)设
(A)1
c
a,b,c
都是正数,且
3
2
a
a
4
b
6
c
,那么
1
c
2
a
2< br>b
(B )
(D)
2
c
1
a
2
b< br>1
a
1
b
(B)
2
c
1
b
(C)
(17)同室四人各写一张贺年卡,
张别人送出的贺年卡,
(A)6种
先集中起来,然后每人从中拿一
(B)则四张贺年卡不同的分配方式有
(C)11种
0
(B)9种(D)23种
(18)已知异面直线
a与b
所成角为50, P为 空间一定点,则过点P
且与
a,b
所成的角都是30的直线有且仅有
(A)1 条(B)2条(C)3条
0
(B)
(D)4条
二.填空题:本大题共6小题; 每小题3分,共18分。把答案填在
题中横线上。
(19)抛物线y=4x的弦AB垂直于x轴 ,若AB的长为
43
,则焦
点到AB的距离为________________.
[答]:2
(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,
向地面的光呈圆锥形,< br>设置一个照明光源,
0
2

且其轴截面顶角为120。若要光源恰好照 亮
整个广场,则其高度应为________m(精确到0.1m).
[答]:17.3 < br>(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3
件是次品的抽法共____ _____种(用数字作答).
[答]:4186
(22)建造一个容积为8m,深为2m 的长方体无盖水池。如果池底和
池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低造价为< br>3
3
_______元.
[答]:1760
(23)设
f(x)
[答]:1
n
4
x
2
x1
,则
f(0)
=__________
1
(24)已知等差 数列
{
a
n
}
的公差d>0,首项
a
1
l imS
n
n
0,S
n
i1
1
a
i
a
i1
,

____________
1
a
1< br>d
[答]:
三.解答题:本大题共
步骤。
5小题;共48分.解答应写 出文字说明、演算
(25)(本小题满分8分)
解不等式
2log
1
(5x)log
2
2
1
x
0.
解:原不等式等价于
5
x
log
1
[
2
x0,
0,
x)]解得
0.
x
x
x
5,
0,
4.
14
x(5
1

x
所以原不等式的解集为
{x|0x1}
(26)(本小题满分8分)
{x|4x5}
如图, A
1
B
1
C
1
-ABC是直三棱柱,过点A
1
、B、C
1
的平面和平面ABC
的交线记作L。
1
和L的位置关系,(Ⅰ)判定直线A
1
C并加以证明;
0
(Ⅱ)若A
1
A=1, AB=4, BC=3,∠ABC=90,求顶点A
1
到直线L的
4
距离。
解: (Ⅰ)L∥A
1
C
1
证明如下:
根据棱柱的定义知平面A
1
B
1
C
1
和平面ABC平行。
由题设知直线A
1< br>C
1
=平面A
1
B
1
C
1
∩平面A
1
BC
1

直线L=平面A
1
B
1
C
1
∩平面
A
1
A
1
BC
1

C
1
B
1
根据两平面平行的性质定
A D
E

L C
B
有L∥A
1
C
1
(Ⅱ)过 点A
1
作A
1
E⊥L于E,则A
1
E的长为点A
1
到L的距离。
AE,
由直棱柱的定义知
A
1
A⊥平面ABC
∴直线AE是直线A
1
E在平面ABC上的射影。
又L在平面ABC上,根据 三垂线定理的逆定理有AE⊥L
由棱柱的定义知A
1
C
1
∥AC, 又L∥A
1
C
1
,∴L∥AC
作BD⊥AC于D,
则BD 是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
从而
AEBD
ABBC12
AC5
在Rt△AAE中,∵A∠A
0
11
A=1,
1
AE =90,

A
1
EAE
2
A
1
A
2
13
5
.
故点A
1
到直线L的距离为
13
5
.
连接
5
(27)(本小题满分10分)
在面积为1的△PM N中,
tgM
1
2
,
tgN
2
.建立适当的坐标系 ,
以M, N为焦点且过点P的椭圆方程。
解:建立直角坐标系如图:以MN
Y
所在直线为x轴,线段MN的垂
P
直平分线为y轴
α
设所求的椭圆 方程为
x
2
y
2
M O N X
a
2
b
2
1
分别记M、N、P点的坐标为
(-c,0),(c,0)和(x
0
,y
0
)
∵tgα=tg(π-∠N)=2
∴由题设知
5
y
1
x
0
0
2
(x
0
c)< br>解得
3
c
y
4

P(
5
c,
4
c
)
0
2(x
0
c)
y
0
3
c
33
在△PMN中, MN=2c MN上的高为
4
3
c
∴S
△PMN
=
13
2
2c
4
3
c1c
2
,即P(
5323
6
,
3
)
| PM|(xc)
2
0
y
2
215
0
3
|P N|(x)
2
y
2
15
0
c
0
3
a
115
2
(|PM||PN)
2
从而b
2
a2
c
2
3
22
故所求椭圆方程为
4xy
153
1
求出
6
(28)(本小题满分12分)
设复数
zcos isin(0),
1(z)
4
4
,已知||
3
,arg,
求。
1z
32
解:
1[cos()isin()]
4
1cos(4)i(4)
1[cosisin]
4
1cos4sin4
2sin
2
22isin2cos2
2cos
2
22isin2c os2
tg2(sin4icos4)
|||tg2|
3
3
0,故有
(1)

tg2
3
3

,
12

7
12
,
这时都有
3
3
(co s
6
isin
6
),

arg
62
,适合题意
(2)

tg2
3

,

5

1
31212
,
这时都有
311
3
(c os
11
6
isin
6
),

arg
11
62
,不适合题意,舍去
综合(1),(2)可知
12

7
12
.
(29)(本小题满分10分)
已知关于x的实系数二次方程x
2
+ax+b=0有两个实数根α、β
(Ⅰ)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|< 4+b且|b|<4;
(Ⅱ)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2.
证法一:依题意,设二次方程有两个实根
,
,所以判别式
a
2
4b0.
不妨取
1
2
(a)
1
2
(a)
(Ⅰ)
||2,||2,|b|||4
证明:
7
.

0< br>2
1
2
2
2
(a
a,
4b
4bb
0
16
16
),
1
2
8a
8a(a
4
a,
a,
2
2
)
a,
2.4
平方得
a
a
由此得
4(4b)8a4(4b),
2| a|4
(Ⅱ)
4



2
4
a0;
a
2
2|a|4b,|b|4,
1
(4|
b
|)
|a|
2
2
4,
4ba
4
2
4(2|a|4)a.
a4,
|2,||2.
a8a16(4a),
2
0,
a
2,

|
证法二:
(Ⅰ)根据韦达定理
|b||
因为二次函数
故必有
f(2)
42ab
42ab
f
(x
)
0,
x
2
ax
|4
b
开口向上,
||2,||2.
0,2a
0,2a
(4b);
4b.
2| a|4b.
(Ⅱ)由
2|a|4b得42ab0
即2
2
2ab0,f (2)0,(1)

42ab

(2)
2
0
0,f (2)0(2)(2)ab
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2, 2)之内或者在区间
(-2, 2)之外
若两根α,β均落在(-2, 2)之外则与
|b||
若α(或β)落在(-2, 2)外,则由于
|b||
|4
矛盾
|4
,另一根β(或
8
α)必须落在(-2, 2)内,则与(1),(2)式矛盾
综上所述α,β均落在(-2, 2)内
||2,||2.
文科试题
一.选择题:本题共18个小题;每小题3分,共5 4分。在每小题
给出的四个选项中,
母填在题后括号内。
(1)若双曲线实半轴长为< br>(A)
3
2
只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字
2,焦距为6 ,那么离心率是
(C)
3
2
(C)
(B)
1tg2x
1tg2x
2
2
6
2
(D)2
(B)
(D)< br>2
(2)函数
y
(A)
的最小正周期是
(C)
4(B)
2
(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是
2
时,圆锥的轴截面顶 角是
(A)45
0
(B)60
1i
2
0
(C)90
z
50
0
(D)120(C)
(D)
(D)-i
则该棱锥一定不是
..
(D)
(B)
0
(4)当
z
(A)1
时,
z
100
1
的值等于
(B)-1 (C)i
(5)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,
(A)三棱锥(B)四 棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥
(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB
11
(A)有最大值和最小值0 (B)有最大值,但无最小值
22
(C )即无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值
9
(7)在各项均为正数的等比数列
log
3
a
1
log
3
a
2
lo g
3
a
10
{
a
n
}
中,若
a< br>5
a
6
9
,则
(B)
(A)12 (8)
F(x)
(A)
(A)是奇函数
(1
2
x
(B)10
2
)
f
(
x
)(
x
1
(C)8 (D)
2log
3
5
0)
是偶函数,且
f(x)
不 恒等于零,则
f(x)
(B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是 奇函数也不是偶函数
(9)设直线
2xy
的直径分为两段,
73
(A )

37
30
与y轴的交点为P,点P把圆
(
x
1 )
2
(A)
76
(D)

67
y
2
25
则其长度之比为
75
(C)

57
74
(B )

47
(10)若
a,b
是任意实数,且
ab
, 则
(A)
a
2
(D)
0
b
2
(B)
b
a
1
(C)
lg(ab)
sin,02},F
1
a
(D)
()
2
{|tgsin}
1
b
()2
(11)已知集合
E{|cos
EF
为区间
2
,那么
(A)
3
(B)
(,
)
44
22
(A)< br>(
,)
3
(C)
(,
)
2
22
35
(D)
(,)
44
(12)一动圆与两圆:x+y=1和x+y-8x+12 =0都外切,则动圆圆
心的轨迹为
(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支
(C)< br>(D)椭圆
则(D)(13)若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,
(A)a b>0,bc>0(B)ab>0,bc<0(C)ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0
(14)如果圆柱轴截面的周长
l
为定值,那么圆柱体积的最大值是
(A )
10
(A)
()
6
l
3
(B)
()< br>3
3
l
3
(C)
()
4
l
3
1l
3
(D)
()
44
(15)由
(3x
(A)50项
2)
100
展开所得的x的多项式中,系数为有理数的共
( B)
(B)17项
a
(C)16项
4
b
(D)15项
(B )
(D)
2
c
1
a
2
b
(16) 设
a,b,c
都是正数,且
3
(A)
1
c
1
a
1
b
6
c
,那么
1
c
2
a< br>2
b
(B)
2
c
2
a
1
b
(C)
(17)同室四人各写一张贺年卡,
张别人送出的贺年卡,
(A)6种
先集中起来,然后每人从中拿一
(B)则四张贺年卡不同的分配方式有
(C)11种(B)9种 (D)23种
(18)在正方体A
1
B
1
C
1
D< br>1
-ABCD中, M、N分别为棱A
1
A和B
1
B的中点< br>(如图)。若为直线CM与D
1
N所成的角,则
sin
(A)
(C)
1
9
25
9
(D)
C
1
B
1
N
(B)
(D)
2
3
45
9
A
1
M
D
1
二.填空题:本大题共6小题;每小题3
A
D
B
C
分,共18分。把答案填在题中横线上。
2
(19)抛物线y=4x的弦 AB垂直于x轴,若AB的长为
43
,则焦
点到AB的距离为___________ _____.
[答]:2
(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,
向地面的 光呈圆锥形,
设置一个照明光源,
0

且其轴截面顶角为120。若要光源恰 好照亮
整个广场,则其高度应为________m(精确到0.1m).
[答]:17.3
11
(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3
件是次品 的抽法共_________种(用数字作答).
[答]:4186
(22)建造一个容积 为8m,深为2m的长方体无盖水池。如果池底和
池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水 池的最低造价为
_______元.
[答]:1760
(23)设
f(x)
[答]:1
(24)设
a1,则lim
n
[答]:-1
三.解答题:本大题共
步骤。
(25)(本小题满分8分)
解方程
lg(
x
23
4
x
2
x1
,则
f(0)
=_______ ___
1
1a
1a
n1
n1
____________
5小题;共48分.解答应写出文字说明、演算
4
x
26)
x
lg(
x
2
3)1.
26
解:原方程可化为
lg
x
2
4x
x3
lg10,
4x
x3
26
1 0
解得
x
1
35;x
2
35
检验
:xx3
35

,x350
所以是增根
5

,满足方程
,
35
所以原方程的根是
x
(26)(本小题满分8分 )
12
已知数列

S
1
8
,S
2
81
1
2
3
2
,
82
3
2
5< br>2
,
8n
(2n1)(2n
2
1)
2
,S
n
为其前n项和,计算
24
,S
3
48
,S
4
80
.
观察上述结果,推测出计算S
n
的公式,
9254981
并用数学归纳法加以证明。
解:
S
(2n1)
21
n
(2n1)
2
(
nN
)
证明如下:
(1)当n=1时,
S
3
2
18
1
3
2
9
,
等式成立。
(2)设n=k时等式成立,即
S
(2k1)
2
1
k
(2k1)
2

S
8(k
k1< br>S
1)
k
(2k1)
2
(2k3)
2
(2k 1)
2
18(k1)
(2k1)
2
(2k1)
2
( 2k3)
2
[(2k1)
2
1](2k3)
2
8(k1)< br>(2k1)
2
(2k3)
2
(2k1)
2
(2k3)
2
(2k3)
2
8(k1)
(2k1)
2
(2k3 )
2
(2k1)
2
2k3)
2
(2k1)
(2k1 )
2
(2k3)
2
(2k3)
2
1
(2k3)2
[2(k1)1]
2
1
[2(k1)1]
2
由此可知 ,当n=k+1时等式也成立
根据(1),(2)可知,等式对任何
nN
都成立。(27)(本小题满分10分)
如图, A
1
B
1
C
1
-ABC是直三棱柱,过点A
1
、B、C
1
的平面和平面
交 线记作L。
ABC的
13
(Ⅰ)判定直线A
1
C
1
和L的位置关系,并加以证明;
0
(Ⅱ)若A
1
A=1, AB=4, BC=3,∠ABC=90,求顶点 A
1
到直线L的
距离。
A
1
解:(Ⅰ)L∥A
1< br>C
1
证明如下:
C
1
B
1
根据棱柱的定义知
A D
E
平面A
1
B
1
C
1
和平面ABC平
L C
B
行。
由题设知直线
A
1
C
1
=平面A
1
B
1
C
1
∩平面A
1
BC
1< br>,
直线L=平面A
1
B
1
C
1
∩平面A1
BC
1
,根据两平面平行的性质定理
有L∥A
1
C< br>1
(Ⅱ)过点A
1
作A
1
E⊥L于E,则A
1
E的长为点A
1
到L的距离。
AE,由直棱柱的定义知A
1
A⊥平 面ABC
∴直线AE是直线A
1
E在平面ABC上的射影。
又L在平面AB C上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥L
由棱柱的定义质A
1
C
1
∥AC,又L∥A
1
C
1
,∴L∥AC
作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
从而
AEBD
ABBC1 2
AC5
在Rt△AAE中,∵A∠A
0
11
A=1,
1< br>AE=90,

A
1
EAE
2
A
1
A
2
13
5
.
故点A
1
到直线L的距离为
13
5
.
连接
14
(28)(本小题满分10分)
在面积 为1的△PMN中,
tgM
1
2
,
tgN
2
.建立 适当的坐标系,
出以M, N为焦点且过点P的椭圆方程。
解:建立直角坐标系如图:
以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴
22
设所求的椭圆方程为
xy< br>a
2
b
2
1
分别记M、N、P点的坐标为
Y
(-c,0),(c,0)和(x
0
,y
0
)
P
∵tgα=tg(π-∠N)=2
α
∴由题设知
M O N X
y
1
0
2
(x
0
c)
解得
y
0< br>2(x
0
c)
x
5
0
3
c
y
4

P(
5
3
c,
4
3
c)
0
3
c
在△PMN中, MN=2c MN上的高为
4
3
c< br>∴S
△PMN
=
143
2
2c
3
c1c2
,即P(
5323
6
,
3
)
|PM|(xc )
2
0
y
2
215
0
3
|PN|(x15
0
c)
2
y
2
0
3
a
1 15
222
2
(|PM||PN)
2
从而bac3

15
故所求椭圆方程为
4x
2
y
2
153
1< br>(29)(本小题满分12分)
设复数
zcos
解:
1[cos(1[cos
2sin2
2cos2
2
2
isin(0),
1(z)
1z
4
4
,已知||
3
3
,arg2
,
求。
)isin(
isin]
4
)]
4< br>1cos(4)i(4)
1cos4sin4
tg2(sin4icos4)
2 isin2cos2
2isin2cos2
|||tg2|
3
3
0,
故有

7
,
12
62
,
适合题意
(1)

tg2
这时都有
(2)

tg2
这时都有
3
3
3

,

3
3
3
( cos
6
12
isin),

arg
6
5

12
11
6
.
),

arg
3

,

3
(cos
11
6

i
s in
7
12
1
,
12
11
62
,
不适合题意
,
舍去
综合
(1),(2)
可知
12
新 科目组“3+2”(理科)
(注:新科目组即“
采用)
3+2”考试,当年由北京、湖 北、贵州、湖南、云南、海南六省市
考生注意:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分,考试时间120分。
第Ⅰ卷
(选择题共68分)
一.选择题: 本题共17个小题;每小题4分,共68分。在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
16

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