维生素c的故事1984年全国高考数学试题及答案

2020年12月1日发(作者：童雪鸿)

1984年全国高考数学试题
(理工农医类)
一、本题每一个小题都 给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正
确结论的代号写在题后的括号 内.
(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是

(C)X=Y (D)X≠Y
【 】

[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)C;

( 2)如果圆x
2
+y
2
+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么
(A)F=0,G≠0,E≠0 (B)E=0,F=0,G≠0
(C)G=0,F=0,E≠0 (D)G=0,E=0,F≠0
【 】

[Key]
(2)C;



(A)一定是零 (B)一定是偶数
(C)是整数但不一定是偶数 (D)不一定是整数
【 】

[Key] (3)B;

(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是
(A)x∈(0,1] (B)x∈(-1,0)

【 】

[Key]
(4)A;



(A)是第一象限角
(B)是第三象限角
(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角
(D)是第二象限角

【 】

[Key] (5)B.

二、只要求直接写出结果.
(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.
(2)函数log0.5
(x
2
+4x+4)在什么区间上是增函数?

(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问
有多 少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).

[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.

(2)x<-2;

(4)-20;
(5)0;


三、本题只要求画出图形.


[Key] 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.
解:




四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.

[Key]
四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.
证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.

∵ α∩β=c, α∩γ=b,

从而c与b或交于一点或互相平行.
(1)若c与 b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β
∩γ=a.
所以a,b,c交于一点(即P点).

(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.
所以a,b,c互相平行.



[Key] 五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.
解法一:由原对数方程得


cx
2
+d=1.

这个不等式仅在以下两种情形下成立:
①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;
②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.



解法二:原对数方程有解的充要条件是:
(1)x>0,


cx
2
+d=1.

因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:
(1)x>0,
(5)x≠1,

这个不等式仅在以下两种情形下成立:
①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;
②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.


六、(1 )设p≠0,实系数一元二次方程z
2
-2pz+q=0有两个虚数根z
1
, z
2
.再设z
1
,z
2
在复平面内的对
应点是z< br>1
,z
2
.求以z
1
,z
2
为焦点且经过原 点的椭圆的长轴的长.


[Key]
六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的
求法.
(1)解法 一:因为p,q为实数,p≠0,z
1
,z
2
为虚数,所以
(-2p)
2
-4q<0,q>p
2
>0.
由z
1
,z
2
为共轭虚数,知z
1
,z
2
关于x轴对称 ,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原
点为椭圆短轴的一个端点.
根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的

短轴长=2b=│z
1
+z
2
│=│2p│=2│p│,

解法二:同解法一,得q>p
2
>0.
根据实系数一元二次方程的求根公式,得

可知z
1
,z
2
关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的
一个端点 .
根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的

注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出

(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.



即

这就是所求的轨迹方程.




[Key]
七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.