书商1978年全国高考数学试题及其解析

2020年12月1日发(作者：卜得元)
1978年全国高考数学试题及其解析
注意事项:
1.理工科考生要求除作（一） ——（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中
选作一题.文科考生要求作（一）——（四）题 ,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要
求作第（七）题.
2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.
（一）1.分解因式:x-4xy+4y-4z.
2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于 这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆
柱体的体积.


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（二）已知方程kx+y=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指 出方程所代表图形的类
型,并画出显示其数量特征的草图.
（三）（如图）AB是半圆的直径 ,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN
于N点,CD⊥AB于D点 .
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求证:1)CD=CM=CN;
2)CD2=AM·BN.
（四）已知
log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.

（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成


（六）已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1, 3sin2α-2sin2β=0.

（七）（文科考生不要求作此题）
已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.
(1)m是什么数值时,y的极值是0?
(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物 线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、
0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.
(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线
相 交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.


试题答案及解析
（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2


=(x-2y)2-(2z)2
=(x-2y-2z)(x-2y+2z).
2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.

3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.
x≥-1为所求的定义域.





（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）




（三）证明:
1)连CA、CB,则∠ACB=90°.
∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,
∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,
∴ ∠ACM=∠ACD.
∴ △ACM≌△ADC.
∴ CM=CD.
同理
2)∵

CN=CD.∴ CD=CM=CN.
CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴ CD2=AD·DB（比例中项定理）.
由1),可知 AM=AD,BN=BD,
∴ CD2=AM·BN.
（四）解法一:∵log189=a,∴18a=9.