四月节日2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

2020年12月1日发(作者：和亲仁)
绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷 5页， 23 小题，满分 150 分。考试用时120 分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用
型 （ B）填涂在答题类卷试卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处。”
2B铅笔将
2．作答选择题出每小题选，时答案后， 用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共
要求的。
x
12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个项选中，只有一是符合题项目
1．已知集合
A
={
x
|
x
<1} ，
B
={
x
|
3
A．
A B { x | x 0}
2．如图，正方形
1
B．
A B

} ，则
R
C．
A B { x | x 1}
D．
A B
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．

1

4
B．

π

8
C．

1

2
D．

π
4
3．设有下面四个命题


p
：若复数
z
满足
1
1
z

R
，则
z R
；


2
p
：若复数
z
满足
2
z R
，则
z R
；
p
：若复数

z
1
,z
2
满足

z
1
z
2
3
R
，则
z
1
z
2
；
p
4
：若复数
z R
，则
z R
.
其中的真命题为

A．

p
1
, p
3
B．
p
1
, p
4
C．
p
2
, p
3
D．
p
2
, p
4

4
．记
S
为等差数列
n
{ a
n
}
的前
n
项和．若
a
4
a
5
24
，
S
6
B．2
48
，则
{a
n
}
的公差为
D．8 A．1
5．函数
f (x)
在
(
C．4
, )
单调递减，且为奇函数．若
f (1) 1
，则 足满
1 f (x 2) 1
的
x
的取值范
是围
A．
[ 2, 2]
6．

B．
[ 1,1]
6
C．
[0, 4]
D．
[1,3]
1
)(1 x)
2
(1
x
A．15

2
x
的系数为
展开式中
B．20 C． 30 D．35
7．某多面体的三视如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长
为2，俯视图为等腰直角三角形 .该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10 B．12
3

C．14 D．16
n
8．右面程序框图是为了求出满足
可以分别填入
- 2
n
>1000 的最小偶数
n
，那么在 和 两个空白框中，
A．
A
>1 000 和
n
=
n
+1 B．
A
>1 000 和
n
=
n
+2 C．
A
1 000 和
n
=
n
+1

2π
) ，则下面结论正确的是
D．
A
1 000 和
n
=
n
+2
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
=sin (2
x
+
3

A．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
到曲线
C
2

2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π
个单位长度，得
6

B．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
得到曲线
C
2
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π
个单位长度，
12

C．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
到曲线
C
2


1

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
2

π
个单位长度，得
6
D．把
C
缩短到原来的
1
上各点的横坐标

1

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
2

π
个单位长度，
12
得到曲线
C
2
10．已知
F
为抛物线
C
：
y
2
=4
x
的焦点，过
F
作两条互相垂

1
，
l
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点，
直的直线
l
2
=4
x
的焦点，过
F
作两条互相垂直的直线
l
直线
l
2
与
C
交于
D
、
E
两点，则|
AB
|+|
D E
| 的最小值为
A．16 B．14 C． 12 D．10
x y z
11．设
xyz
为正数，且
2 3 5

，则
A．2
x
<3
y
<5
z
B．5
z
<2
x
<3
y
C． 3
y
<5
z
<2
x
D．3
y
<2
x
<5
z
12．几位大学生响应国家的创业号召， 开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解
数学题件软取获激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学题问的答案： 已知数列 1，1，2，1，2，
4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，, ，其中第一项是 2

的两项是 2
0
，2
1
，再接下来的三项是
2
0
，2
1
，2
2
，依此类推。求满足如下条件的最小整数
N
：
N
>100且该数列的前
N
项和为2 的整数幂。那么该
款软件的激活码是
A．440 B．330 C． 220 D．110
二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。
13．已知向量
a
，
b
的夹角为60°， |
a
|=2 ，|
b
|=1 ，则|
a
+2
b
|= .
x 2y 1
14．设
x
，
y
满足约束条件
2x y 1
，则
z 3x 2y
的最小值为.
x y 0
2 2
15．已知双曲线
C
：

x y
2 2
1
（
a
>0，
b
>0）的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，圆
A
与双曲线
a b
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两点。若∠
MAN
=60°，则
C
的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等三边角形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
分别是以
BC
，
C A
，
AB
为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，
C A
，
AB
为折痕折起△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△
ABC
的边 变长
化时，所得三棱锥体积（单位： cm
3
）的最大值为_______。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考，题每个试考题
生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
2
a

A
17．（12 分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对为别分边
a
，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
3sin
（1）求 sin
B
sin
C
;
（2）若 6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
0
，接下来
18. （ 12 分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB//CD
，且
BAP CDP 90
.
（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
D C
，
APD 90
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
19．（ 12 分）
控监了为某种零件的一条生产线的生过产程，验检员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量
其尺寸（单位： cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状下态生产的零件的尺寸服从正态分
布

2
N( , )
．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( 3 , 3 )
之外的零件
数，求
P( X 1)
及
X
的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
( 3 , 3 )
之外的零件，就认为这条生产一这在线
天的生产过程可能出了现异常情况，需对当天的生产行进程过检 ．查
（ⅰ）试说明上述控监生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

16 16 16
经计算得

1
1
2
1
2 2 2
x x
，
s x x x x
，其中

x
i
抽为取
9.97
i
(
i
) (
i
16 ) 0.212
16
i 1
16 16
i 1 i 1
的第
i
个零件的尺寸，
i 1, 2, ,16
．
用样本平均数
x
作为的估计值
?
，用样本标准差
s
作为的估计值
?
，利用估计值判断是否需对
当天的生产行进程过检查？剔除
( ? 3 ?, ? 3 ?)
之外的数据， 用剩下的数据估计和 （精确到 0.01 ）．
附：若随机变量
Z
服从正态分布

N( ,
2
)
，则
P( 3 Z 3 ) 0.997 4
，
16
0.997 4 0.959 2
，
0.008 0.09
．

20. （ 12 分）

2 2
已知椭圆
C
：
x y

3

），
P

4
（1，
3

2
）中恰有
2
2
=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1 ），
P
2
（0,1 ），
P
2
3
（– 1，
a b
三点在椭圆
C
上.
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
，< br>B
两点。若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为– 1，证明：
l

过定点 .
21. （ 12 分）

已知函数
（f x)
a
e

2x
+(
a
﹣2) e
（1）讨论
f (x)
的单调性；
（2）若
f (x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

x
﹣
x
.
2x
+(
a
﹣2) e
22．[选修 4―4：坐标系与参数方程 ] （10 分）

在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为

x

3cos ,

y sin ,
（θ为参数），直线
x a 4t ,
（t为参数）.
y 1 t,
（1）若
a
=- 1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为 17 ，求
a
.
23．[选修 4— 5：不等式选讲] （10 分）
已知函数
f
（
x
）=–
x
2
+
ax
+4，
g
(
x
)=│
x
+1│+│
x
– 1│.
（ 1）当
a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（ 2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含 [ – 1，1] ，求
a
的取值范围.
l
的参数方程为

2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个项选中，只有一是项符合题目
要求的。
1. A 2．B 3． B 4．C 5．D 6．C
7．B 8．D 9． D 10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。
13
．

2 3
14．-5 15．

2 3

3
16．

3
15cm
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考，题每个试考题
生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
2
a

A
17．（12 分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对为别分边
a
，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
3sin
（1）求 sin
B
sin
C
;
（2）若 6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
解：（ 1）

2
由题意可得
1 a

S
ABC
bc sin A
A

，
2 3sin

化简可得

2 2
2a 3bc sin A
，

根据正弦定理化简可得：

2 2
2
2sin A 3sin B sinCsin A sin B sinC
。
3
（2）

2
由
sin B sinC
1 2
3
cos B cosC
cos A cos A B sin B sinC cos B cosC A
1 2 3
6

因此可得

B C
，
3

将之代入

2

3 1
sin B sinC
中可得：
2
3
sin C sin C sin C cos C sin C 0
，
3 2 2

化简可得

3
tan C C ,B
，
3 6 6

，

利用正弦定理可得
a sin
b
sin A

B
3 1
3
2
2
3

，
同理可得

c 3
，

2 3
。
故而三角形的周长
为
3
18. （ 12 分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB//CD
，且
BAP CDP 90
.
（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
D C
，
（1）证明：
APD 90
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
AB / /CD , CD
又
PD
PD
AB PD
,
AB PA, PA P
,
PA
、
P D
都在平面
PAD
内，
故而可得
AB PAD
。
又
AB
在平面
PAB
内，故而平面
PAB
⊥平面
PAD
。
（2）解：
不妨设
PA PD AB CD 2a
，
以
AD
中点
O
为原点，
OA
为
x
轴，
OP
为
z
轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标：
因此可得
PA

P 0,0, 2a , A 2a,0,0 , B
2a,0, 2a ,PB

n
1
2a,2 a,0 ,C
2a , PC
2a,2 a,0
，
2a,2 a, 2a
，
2a,2 a,
假设平面
PAB
的法向量

n PA
1
x y
，平面
PBC
的法向量
, ,1
2a 0 x 1
y 0
0
n
m 0



n
2
m n
，
, ,1
1,0,1

，

故而可得
2ax
，即
n
1


2
,1
。
2
n PB
1
2ax 2ay
2am 2an
2am 2an
2a 0
2a
2a 0


n PC
同理可得
2

2
，即
n PB
2
n
2
2
0,