图穷匕见的意思-关不掉的月光

绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷 5页, 23 小题,满分 150 分。考试用时120 分钟。
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用
型 ( B)填涂在答题类卷试卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处。”
2B铅笔将
2.作答选择题出每小题选,时答案后, 用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共
要求的。
x
12 小题,每小题5 分,共 60 分。在每小题给出的四个项选中,只有一是符合题项目
1.已知集合
A
={
x
|
x
<1} ,
B
={
x
|
3
A.
A B { x | x 0}
2.如图,正方形
1
B.
A B
} ,则
R
C.
A B { x | x 1}
D.
A B
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A.
1
4
B.
π
8
C.
1
2
D.
π
4
3.设有下面四个命题
p
:若复数
z
满足
1
1
z
R
,则
z R
;
2
p
:若复数
z
满足
2
z R
,则
z R
;
p
:若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
3
R
,则
z
1
z
2
;
p
4
:若复数
z R
,则
z R
.
其中的真命题为
A.
p
1
, p
3
B.
p
1
, p
4
C.
p
2
, p
3
D.
p
2
, p
4
4
.记
S
为等差数列
n
{ a
n
}
的前
n
项和.若
a
4
a
5
24
,
S
6
B.2
48
,则
{a
n
}
的公差为
D.8 A.1
5.函数
f (x)
在
(
C.4
, )
单调递减,且为奇函数.若
f (1) 1
,则 足满
1 f (x 2) 1
的
x
的取值范
是围
A.
[ 2, 2]
6.
B.
[ 1,1]
6
C.
[0, 4]
D.
[1,3]
1
)(1 x)
2
(1
x
A.15
2
x
的系数为
展开式中
B.20 C. 30 D.35
7.某多面体的三视如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长
为2,俯视图为等腰直角三角形 .该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10 B.12
3
C.14 D.16
n
8.右面程序框图是为了求出满足
可以分别填入
- 2
n
>1000 的最小偶数
n
,那么在 和 两个空白框中,
A.
A
>1 000 和
n
=
n
+1 B.
A
>1 000 和
n
=
n
+2 C.
A
1 000 和
n
=
n
+1
2π
) ,则下面结论正确的是
D.
A
1 000 和
n
=
n
+2
9.已知曲线
C
1
:
y
=cos
x
,
C
2
:
y
=sin (2
x
+
3
A.把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
到曲线
C
2
2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
个单位长度,得
6
B.把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
得到曲线
C
2
2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
个单位长度,
12
C.把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
到曲线
C
2
1
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
2
π
个单位长度,得
6
D.把
C
缩短到原来的
1
上各点的横坐标
1
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
2
π
个单位长度,
12
得到曲线
C
2
10.已知
F
为抛物线
C
:
y
2
=4
x
的焦点,过
F
作两条互相垂
1
,
l
2
,直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点,
直的直线
l
2
=4
x
的焦点,过
F
作两条互相垂直的直线
l
直线
l
2
与
C
交于
D
、
E
两点,则|
AB
|+|
D E
| 的最小值为
A.16 B.14 C. 12 D.10
x y z
11.设
xyz
为正数,且
2 3 5
,则
A.2
x
<3
y
<5
z
B.5
z
<2
x
<3
y
C. 3
y
<5
z
<2
x
D.3
y
<2
x
<5
z
12.几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了“解
数学题件软取获激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学题问的答案: 已知数列 1,1,2,1,2,
4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,, ,其中第一项是 2
的两项是 2
0
,2
1
,再接下来的三项是
2
0
,2
1
,2
2
,依此类推。求满足如下条件的最小整数
N
:
N
>100且该数列的前
N
项和为2 的整数幂。那么该
款软件的激活码是
A.440 B.330 C. 220 D.110
二、填空题:本题共 4 小题,每小题5 分,共 20 分。
13.已知向量
a
,
b
的夹角为60°, |
a
|=2 ,|
b
|=1 ,则|
a
+2
b
|= .
x 2y 1
14.设
x
,
y
满足约束条件
2x y 1
,则
z 3x 2y
的最小值为.
x y 0
2 2
15.已知双曲线
C
:
x y
2 2
1
(
a
>0,
b
>0)的右顶点为
A
,以
A
为圆心,
b
为半径做圆
A
,圆
A
与双曲线
a b
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两点。若∠
MAN
=60°,则
C
的离心率为________。
16.如图,圆形纸片的圆心为
O
,半径为5 cm,该纸片上的等三边角形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点,△
DBC
,△
ECA
,△
FAB
分别是以
BC
,
C A
,
AB
为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以
BC
,
C A
,
AB
为折痕折起△
DBC
,△
ECA
,△
FAB
,使得
D
、
E
、
F
重合,得到三棱锥。当△
ABC
的边 变长
化时,所得三棱锥体积(单位: cm
3
)的最大值为_______。
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考,题每个试考题
生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
2
a
A
17.(12 分)△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对为别分边
a
,
b
,
c
,已知△
ABC
的面积为
3sin
(1)求 sin
B
sin
C
;
(2)若 6cos
B
cos
C
=1,
a
=3,求△
ABC
的周长.
0
,接下来
18. ( 12 分)
如图,在四棱锥
P-ABCD
中,
AB//CD
,且
BAP CDP 90
.
(1)证明:平面
PAB
⊥平面
PAD
;
(2)若
PA
=
PD
=
AB
=
D C
,
APD 90
,求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
19.( 12 分)
控监了为某种零件的一条生产线的生过产程,验检员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量
其尺寸(单位: cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状下态生产的零件的尺寸服从正态分
布
2
N( , )
.
(1)假设生产状态正常,记
X
表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( 3 , 3 )
之外的零件
数,求
P( X 1)
及
X
的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在
( 3 , 3 )
之外的零件,就认为这条生产一这在线
天的生产过程可能出了现异常情况,需对当天的生产行进程过检 .查
(ⅰ)试说明上述控监生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
16 16 16
经计算得
1
1
2
1
2 2 2
x x
,
s x x x x
,其中
x
i
抽为取
9.97
i
(
i
) (
i
16 ) 0.212
16
i 1
16 16
i 1 i 1
的第
i
个零件的尺寸,
i 1, 2, ,16
.
用样本平均数
x
作为的估计值
?
,用样本标准差
s
作为的估计值
?
,利用估计值判断是否需对
当天的生产行进程过检查?剔除
( ? 3 ?, ? 3 ?)
之外的数据, 用剩下的数据估计和 (精确到 0.01 ).
附:若随机变量
Z
服从正态分布
N( ,
2
)
,则
P( 3 Z 3 ) 0.997 4
,
16
0.997 4 0.959 2
,
0.008 0.09
.
20. ( 12 分)
2 2
已知椭圆
C
:
x y
3
),
P
4
(1,
3
2
)中恰有
2
2
=1
(
a
>
b
>0),四点
P
1
(1,1 ),
P
2
(0,1 ),
P
2
3
(– 1,
a b
三点在椭圆
C
上.
(1)求
C
的方程;
(2)设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
,< br>B
两点。若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为– 1,证明:
l
过定点 .
21. ( 12 分)
已知函数
(f x)
a
e
2x
+(
a
﹣2) e
(1)讨论
f (x)
的单调性;
(2)若
f (x)
有两个零点,求
a
的取值范围.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
x
﹣
x
.
2x
+(
a
﹣2) e
22.[选修 4―4:坐标系与参数方程 ] (10 分)
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
x
3cos ,
y sin ,
(θ为参数),直线
x a 4t ,
(t为参数).
y 1 t,
(1)若
a
=- 1,求
C
与
l
的交点坐标;
(2)若
C
上的点到
l
的距离的最大值为 17 ,求
a
.
23.[选修 4— 5:不等式选讲] (10 分)
已知函数
f
(
x
)=–
x
2
+
ax
+4,
g
(
x
)=│
x
+1│+│
x
– 1│.
( 1)当
a
=1时,求不等式
f
(
x
)≥
g
(
x
)的解集;
( 2)若不等式
f
(
x
)≥
g
(
x
)的解集包含 [ – 1,1] ,求
a
的取值范围.
l
的参数方程为
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题:本题共 12 小题,每小题5 分,共 60 分。在每小题给出的四个项选中,只有一是项符合题目
要求的。
1. A 2.B 3. B 4.C 5.D 6.C
7.B 8.D 9. D 10.A 11.D 12.A
二、填空题:本题共 4 小题,每小题5 分,共 20 分。
13
.
2 3
14.-5 15.
2 3
3
16.
3
15cm
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考,题每个试考题
生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
2
a
A
17.(12 分)△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对为别分边
a
,
b
,
c
,已知△
ABC
的面积为
3sin
(1)求 sin
B
sin
C
;
(2)若 6cos
B
cos
C
=1,
a
=3,求△
ABC
的周长.
解:( 1)
2
由题意可得
1 a
S
ABC
bc sin A
A
,
2 3sin
化简可得
2 2
2a 3bc sin A
,
根据正弦定理化简可得:
2 2
2
2sin A 3sin B sinCsin A sin B sinC
。
3
(2)
2
由
sin B sinC
1 2
3
cos B cosC
cos A cos A B sin B sinC cos B cosC A
1 2 3
6
因此可得
B C
,
3
将之代入
2
3 1
sin B sinC
中可得:
2
3
sin C sin C sin C cos C sin C 0
,
3 2 2
化简可得
3
tan C C ,B
,
3 6 6
,
利用正弦定理可得
a sin
b
sin A
B
3 1
3
2
2
3
,
同理可得
c 3
,
2 3
。
故而三角形的周长
为
3
18. ( 12 分)
如图,在四棱锥
P-ABCD
中,
AB//CD
,且
BAP CDP 90
.
(1)证明:平面
PAB
⊥平面
PAD
;
(2)若
PA
=
PD
=
AB
=
D C
,
(1)证明:
APD 90
,求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
AB / /CD , CD
又
PD
PD
AB PD
,
AB PA, PA P
,
PA
、
P D
都在平面
PAD
内,
故而可得
AB PAD
。
又
AB
在平面
PAB
内,故而平面
PAB
⊥平面
PAD
。
(2)解:
不妨设
PA PD AB CD 2a
,
以
AD
中点
O
为原点,
OA
为
x
轴,
OP
为
z
轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标:
因此可得
PA
P 0,0, 2a , A 2a,0,0 , B
2a,0, 2a ,PB
n
1
2a,2 a,0 ,C
2a , PC
2a,2 a,0
,
2a,2 a, 2a
,
2a,2 a,
假设平面
PAB
的法向量
n PA
1
x y
,平面
PBC
的法向量
, ,1
2a 0 x 1
y 0
0
n
m 0
n
2
m n
,
, ,1
1,0,1
,
故而可得
2ax
,即
n
1
2
,1
。
2
n PB
1
2ax 2ay
2am 2an
2am 2an
2a 0
2a
2a 0
n PC
同理可得
2
2
,即
n PB
2
n
2
2
0,
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