李娜法网夺冠2018高考全国3卷理科数学带答案

2020年12月1日发(作者：蒋立镛)年普通高等学校招生全国统一考试



．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
．回答选择题时，选出每小题 答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

．已知集合|10Axx≥，012B，，，则AB
．0 B．1 C．12， D．012，，
．1i2i
．3i B．3i C．3i D．3i

．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫



．若1

，则cos2
．8
B．79 C．79 D．89
．522x
的展开式中4x的系数为
．10 B．20 C．40 D．80
．直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆22
2xy上，则AB P面积的

．26， B．48， C．
32， D．2232，
．函数422yxx的图像大致为

．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的
位成员中使用移动支付的人数，2.4DX，46PXP X，则p
．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3
．ABC△的内角
BC ，，的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为222
abc，则C
．π
B．π3 C．π4 D．π6
．设ABCD，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，
为 等边三角形且其面积为93，则

ABC体积的最大值为
．123 B．183 C．243 D．543
．设
2FF，是双曲线22
21xyC
b：（0 0ab，）的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一
P．若
6PFOP，则C的离心率为
．
B．2 C．3 D．2
．设
log0.3a，2log0.3b，则
．
abab B．0abab
．0abab D．0abab
4小题，每小题5分，共20分。
．已知向量=1,2a，=2,2b，=1,λc．若2∥ca+b，则________．
．曲线1xyaxe在点01，处的切线的斜率为
，则a________．
．函数πcos3
fxx在0π，的零点个数为________．
．已知点11M ，和抛物线24Cyx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若
AMB∠，则k___ _____．
70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试
22、23为选考题。考生根据要求作答。
60分。
．（12分）

a中，
5314aaa，．
1）求
a的通项公式；
2）记
S为na的前n项和．若63mS，求m．
．（12分）

40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种
min）绘制了如


1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
2）求40名工人完成 生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超
m的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过m


3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
22nad bcK
bcdacbd，20.0500.0100.0013.8416.63510.828PKk k≥．
．（12分）
2的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD所在

平面
M是CD上异于C，D的点．
1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成

．（12分）
k的直线l与椭圆221
3xyC：交于A，B两点．线段AB的中点为10Mmm，．
1）证明：1
k；
2）设F为
的右焦点，P为C上一点，且0FPFAFB ．证明：FA，FP，FB成等差

．（12分）
22ln12fxxaxxx．
1）若
a，证明：当10x时，0fx；当0x时，0fx；
2）若
x是fx的极大值点，求a．
10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
xOy中，
⊙的参数方程为cos
xy，（为参数），过点02，且倾斜角为
l与O⊙交于AB，两点．
1）求的
范围；
2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
211fxxx．
1）画出yfx的图像；
2）当0x∈，， fxaxb≤，求ab的最小值．
★启用前
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A B C A D B C B C B

．1
14．315．316．2
．解：
1）设{}
a的公比为q，由题设得1nnaq．
424qq，解得0q（舍去），2q或2q．
1(2)n
a或12nna． 2）若1(2)n
a，则1(2)
nnS．由63mS得(2)188m，此方程没有正整 数解．
12n
a，则21nnS．由63mS得264m，解得6m．
6m．
．解：
1）第二种生产方式的效率更高．

i）由茎叶图可知：用第一种 生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80
75%的工人完成生产任务所需时间 至多79分钟．因此第二种生

ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所 需时间的中位数为85．5分钟，用
73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更

i ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二
80分 钟，因此第二种生产方式的效率更高．
iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所 需时间分布在茎8上的最多，关
8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布 在茎7上的最多，关于
7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相 同，故可以认为


4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
2）由茎叶图知798180
m．

超过m 不超过m
15 5
5 15
3）由于2240(151555)106.635
202020K ，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有

．解：
1）由题设知，平面CM D⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以
⊥平面CMD，故BC⊥D M．
M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以 DM⊥CM．
BCCM=C，所以DM⊥平面BMC．
DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．


M-ABC体积最大时，M为CD的中点．
(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)DABCM，
2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AMABDA

(,,)xyzn是平 面MAB的法向量，则

AMABnn即20,
(1,0,2)n．

MCD的法向量，因此

,

|||DADADAnnn，
5
,
DAn，
MAB与面MCD所成二面角的正弦值是25
．
．解：
1）设
221(,),(,)AyxyxB，则222212121,1343yxyx．

221yxykx得
1220
3yxykx．
12121,
2xyxym，于是

km．①
30
m，故12k．
2）由题意得(1,0)F，设
3(,)Pxy，则
31122(1,)(1,)(1,)(0,0)yxxyxy．
1）及题设得
321213()1,()20yyxxyxm．
P在C上，所以3
m，从而3(1,)2P，3||2FP．


22
1111||(1)(1)3(1)2
2xxFAxxy．
2||2
xFB．

21||||4()3
FAFBxx．
2||||||FPFAFB，即||,||,||FAFPFB成等差数列．
d，则
122212112||||||||||()4
2FBFAxxxxxxd．②
3
m代入①得1k．
l的方程为7
yx，代入C的方程，并整理得2171404xx．

21212,
xxxx，代入②解得321||28d．
321
或32128．
．解：
1）当0a时，()(2)ln(1)2fxxxx，()ln(1)
xfxxx．

()()ln(1)
xgxfxxx，则2()(1)xgxx．
10x时 ，()0gx；当0x时，()0gx．故当1x时，()(0)0gxg，且仅
0x时，()0gx， 从而()0fx，且仅当0x时，()0fx．
()fx在(1,)单调递增．
(0)0f，故当10x时，()0fx；当0x时，()0fx．
2）（i）若0a，由（ 1）知，当0x时，()(2)ln(1)20(0)fxxxxf，这与0x
()fx的极大值点矛盾 ．
ii）若0a，设函数
2()2()ln(1)
2fxxhxxxaxxax．
1||min{1,}
|xa时，220xax，故()hx与()fx符号相同．
(0)(0)0hf，故0x是()fx的极大值点当且仅当0x是()hx的极大值点．
2 22
22212(2)2(12)(461)()
(2)(1)(2)xaxxaxxaxax ahxxxaxxaxx．
610a，则当610
axa，且1||min{1,}||xa 时，()0hx，故0x不是()hx

610a，则224610axaxa存在根
0x，故当1(,0)xx，且1||min{1,}
|xa
()0hx，所以0x不是()h x的极大值点．
610a，则3
2(24)()
1)(612)xxhxxxx．则 当(1,0)x时，()0hx；当(0,1)x时，
)0hx
0x是()hx的极大值点，从 而0x是()fx的极大值点
1
a．
．解：
1）O的直角坐标方程为221xy．

时，l与O交于两点．

时 ，记tank，则l的方程为2ykx．l与O交于两点当且仅当
2||1
k，
1k或 1k，即(,)
2或(,)24．
的取值范围是(,)
4．
2）l的参数方程为cos,(
sinxttyt为参数，44)．
A，B，P对应 的参数分别为
t，Bt，Pt，则
ABPttt，且At，Bt满足222sin10tt．
22sin
Btt，2sinPt．又点P的坐标(,)xy满足cos,
sin.P
xtyt
P的轨迹的参数方程是2sin2,2
2
2
2xy(为参数，44)．
．解：
1）13,,21()2,1,

,xx()yfx的图像如图所示．

2）由（1）知，()yfx的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值 为

3a且2b时，()fxaxb在[0,)成立，因此ab的最小值为5．