各省车牌简称1980年全国高考数学试题

2020年12月1日发(作者：贝聿铭)
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1980年试题

(理工农医类)
一、将多项式x
5
y-9xy
5
分别在下列范围内分解因式:
(1)有理数范围; (2)实数范围 (3)复数范围.

[Key]


二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点 的三角形是直角三角
形.

[Key] 二、证明:设⊙O1
、⊙O
2
、⊙O
3
的半径分别为1、2、3.
因这三个圆两两外切,故有
O
1
O
2
=1+2=3,
O
2
O
3
=2+3=5,
O
1
O
3
=1+3=4,

根据勾股弦定理的逆 定理,或余弦定理,△O
1
O
2
O
3
为直角三角形.


三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

[Key]
三、证明:取△ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的 高线为y轴,设A、B、
C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),
根据所选坐标系,如图,有a>0,b<0,c>0.

解(1)、(2),得:(b-c)x=0.
∵b-c≠0,∴x=0.
这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.
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因此,三条高线交于一点.



(a、b、N都是正数,a≠1,b≠1)

[Key] 四、证法一:令log
b
N=x,根据对数定义,
b
x
=N.
两端取以a为底的对数,
log
a
b
x
=log
a
N,
xlog
a
b=log
a
N.
∵ b≠1,∴log
a
b≠0,

证法二:令log
b
N=x,根据对数定义,
N=b
x

=(a
logab
)
x
=a
xlogab
,
∴ xlog
a
b=log
a
N.
∵ b≠1,log
a
b≠0,


五、直升飞机上一点P在地 平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB
垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线
l
垂直于AB.


[Key]
五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N ,因此PA与PB重
合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.
设平面N与平面M的交线为
l
.
∵PA⊥平面M,∴PA⊥
l
.
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又∵PB⊥平面N,∴PB⊥
l
.
∴
l
⊥平面PAB,∴
l
⊥AB.



(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;
(2)试求最小的正 整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)
至少有一个值是M与 一个值是m.


[Key] 六、解:(1)M=1,m=-1,

(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.
而任意两个整数间的 距离都≥1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一
个值是m,必须且只须使f( x)的周期≤1.

可见,k=32就是这样的最小正整数.

七 、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列,求
∠B(用反三角函数表示).

[Key]
七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x,
则 AD=c-x.

即x
2
=c(c-x),
即x
2
+cx-c
2
=0,

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∵取负号不合题意,

又依直角三角形的性质,有
AC
2
=AD·AB=c(c-x).
但x
2
=c(c-x),∴AC
2
=x
2
,


解法二:由题设有(CD·BD)
2
=(CD·AD)·(CD·AB),
∴BD
2
=AD·AB.
但 AC
2
=AD·AB,
∴BD=AC.






[Key]