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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(八)
第八单元 平面向量与解三角形
(120分钟 150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四 个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.下列向量中与向量a=(2,3)垂直的是
A.b=(-2,3) B.c=(2,-3) C.d=(3,-2) D.e=(-3,-2)
解析:因为a·d=0,所以a⊥d.
答案:C
2.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若b=7,c=3,cos C=,则B等于
A.
B.
C.
D.
,
解析:∵cos C=
,∴sin C=
又∵
=,∴sin B===,
又∵锐角△ABC,∴B=
.
答案:B
3.已知两个平向量a、b的夹角为
π,且|a|=|b|=1,则|a-b|等于
A.
B.1 C.2
D.2
解析:|a-b|=
-
=
-
=
.
答案:A
-
)·
4.在△ABC中,边BC上的高AD=4,则(
的值等于
A.0 B.4 C.8 D.12
-
)·
·
解析:因为(
=
=0.
答案:A
5.已知向量a=(1,1),b =(-1,0),若向量ka+b与向量c=(2,1)共线,则k等于
A.-1
答案:A
B.1 C.-2 D.2
解析:因为ka+b=(k-1,k ),又因为向量ka+b与向量c=(2,1)共线,所以(k-1)×1=k×2,所以k=-1.
6.以3、4、5为边长的直角三角形,各边分别增加x(x>0)个单位,得到的三角形一定是
A.锐角三角形
C.钝角三角形
B.直角三角形
D.锐角或钝角三角形
解析:各边分别增加x个单位后的三边分别为x+3,x+4,x+5,其最长边所对角的余弦值为
-
=>0,所以得到的三角形的最大内角为锐角,所以得到的三角形为锐角
三角形.
答案:A
7.某人向正东方向走了x km后,再向右转150°,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点
恰好
km,那么x的值为
A.
B.
或2
C.
或4
D.2
或4
解析:设AB=x,BC=3,∠ABC=30°,AC=
,则(
)
2
=x
2
+3
2
-6xcos 30°,∴x
2
-3
x+6=0,∴x=
或x=2
.
答案:B
=α
+β
,其中α,β∈R,且8.已知点A(1,5),B(3,9),O为坐标原点,若点C满足
α+β=1,则点C的轨迹方程为
A.2x+y-7=0 B.2x-y+3=0 C.x-2y+9=0 D.x+2y-11=0
=α
解析:因为点C满足
+β
,其中α,β∈R,且α+β=1,所以点C的轨迹是直线AB,又因为
直线AB的方程为2x-y+ 3=0.
答案:B
9.在△ABC中,若cos C=2sin Asin B-1,sin
2
A+sin
2
B=1,则此三角形为
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:∵C=π-(A+B),∴-cos(A+B)=2sin Asin B-1,∴-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B-
1,∴sin Asin B+cos Acos B=1,∴cos(A-B)=1,又∵A,B∈(0,π),∴A-B=0,∴A=B .又
sin
2
A+sin
2
B=1,∴A=B=,∴C=,所以△A BC是等腰直角三角形.
答案:D
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若sin(A+
)=1且
=
,则∠C等于
A.
B.
C.或
D.或
=
,所以sin B=,所以
解析:因为sin(A+
)=1,所以A+=,所以A=,又因为=
,所以
B=
或
,所以C=
或
.
答案:D
11.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a
2
,b
2
,c
2
成等差数列,则角B的
范围为
A.(0,
)
B.(0,
] C.[
,
) D.(
,π)
,
解析:若a
2
,b
2,c
2
成等差,则b
2
=
-
-
∴cos B==
=
≥
=,当且仅当a=c时,“=”成立,又
∵B∈(0,π),∴B∈(0,].
答案:B
=(1,3),
=(3,5),
=(1,2),且
=k
(k为实12.已知O为坐标原点,平面向量
·
取得最小值时,点X的坐标是 数).当
A.(4,2) B.(2,4) C.(6,3) D.(3,6)
=(x,y),∵
=k
,∴
=(k,2k),
解析:设
=
-
,
=(1,3),∴
=(1-k,3-2k),
又
同样
=(3-k,5-2k).
·
于是
=(1-k)(3-k)+(3-2k)(5-2k)=5 k
2
-20k+18=5(k-2)
2
-2,由二次函数得知识可知:当
·
有最小值-2,此时点X的坐标是(2,4).
k=2时,
答案:B
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.海上有A、B、C三个小岛,在C岛上观测得A、B两岛相距2 n mile,且
∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B、C间的距离是 n mile.
解析:由正弦定理知
答案:
=,解得BC=
.
- -
14.在△ABC中,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积等于 .
解析:∵cos A=
,∴sin A=
答案:6
,∴S
△
ABC
=bcsin A=6
.
15.设两个平面向量a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),定义运算“☉”为:a☉b=(x
1
x
2
+y
1
y
2
,x
1
y< br>2
-y
1
x
2
).
若m=(1,2),m☉n=(1 1,-6),则n= .
解析:设n=(x,y),则m☉n=(x+2y,y-2x)=(11,-6),
即n=(
,
).
所以
解得
- -
答案:(
,)
=β,α、β的夹角为
,|α+β|=1,则△AOB面积的最大值16.已知向量
=α,
是 .
解析:∵|α+β|=1,∴|α|
2
+|β|
2
+2|α||β|cos
|α||β|,∴|α||β|≤1,∴S
△AOB
=|α||β|sin
≤
答案:
=1,∴|α|
2
+|β|
2
-|α||β|=1≥2|α||β|-
,∴当且仅当|α|=|β|时,△AOB取得最大面积
.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤.
17.(本小题满分10分)
已知平面向量a,b,c,其中a=(3,4).
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