李胤1982年全国统一高考数学试卷(理科)

2020年12月1日发(作者：熊巧男)


1982年全国统一高考数学试卷（理科）

一、填空题（共1小题，每小题6分，满分6分）
1．（6分）填表：


二、解答题（共9小题，满分94分）
2．（4分）求（﹣1+i）
20
展开式中第15项的数值；

3．（5分）求的导数．

4．（9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形．
（1）；
（2）．

5．（12分）已知圆锥体的底面半径为R，高为H求内接于这个圆锥 体并且体积最大的圆柱体的高h
（如图）．


6．（14分）设0＜x ＜1，a＞0，a≠1，比较|log
a
（1﹣x）|与|log
a
（1+x ）|的大小（要写出比较过程）．



7．（16分）如图，已知锐角 ∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等
于常数c
2
，今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明
它表 示什么曲线．


8．（16分）已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD= DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，
DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形．


9．（18分）抛物线y
2
=2px的内接三角形有两边与抛 物线x
2
=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与
x
2
=2qy 相切．


10．已知数列a
1
，a
2
，…a
n
，…和数列b
1
，b
2
，…，b
n
…， 其中a
1
=p，b
1
=q，a
n
=pa
n
﹣
1
，b
n
=qa
n
﹣
1
+rb
n
﹣
1
（n≥2），
（p，q，r是已知常数，且q≠0，p＞r＞0），用 p，q，r，n表示b
n
，并用数学归纳法加以证明．




1982年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、填空题（共1小题，每小题6分，满分6分）
1．（6分）填表：


考点：
专题：
分析：
解答：
函数的定义域及其求法．
压轴题．
分别按各自函数的定义和性质直接填空即可．
解：由题意依据函数的定义和性质，直接填表：

点评： 本题考查各类函数的定义和性质，是基础题，考查基础知识的记忆．

二、解答题（共9小题，满分94分）
2．（4分）求（﹣1+i）
20
展开式中第15项的数值；

考点： 二项式定理．
专题： 计算题．
分析： 利用二项展开式的通项公式求出第15项，利用虚数单位的平方为﹣1及组合数公式化简此项．


解答：
点评：

3．（5分）求

考点：
专题：
分析：
解答：
解：第15项T
15
=C
20
14
（﹣1）
6
（i）
14
=﹣C
206
=﹣38760．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
的导数．
导数的运算．
计算题．
利用复合函数的求导公式[u（v）] '=[u'（v）]*v'（u（v）为复合函数f[g（x）]），求解即可．
解：
=
=．


点评： 本题考查了复合函数的导数，属于基本运算

4．（9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形．
（1）；
（2）

考点：
专题：
分析：
．
解答：
椭圆的参数方程；三阶矩阵．
计算题；作图题．
（1）根据三阶行列式的运算公式 a
11
（a
22
a
33
﹣a
23
a
32
）﹣a
12
（a
21
a
33
﹣a
3 1
a
23
）+a
13
（a
21
a
32﹣a
31
a
22
）
=0化简得2x﹣3y﹣6=0，显然为直线 方程；
（2）根据同角三函数sin
2
φ+cos
2
φ=1消去φ 可得曲线的方程，显然是以（1，0）点为中心的
椭圆．
解：（1）根据三阶行列式的运算公式有
a
11
（a
22
a
33
﹣a
23
a
32
）﹣a
12
（a< br>21
a
33
﹣a
31
a
23
）+a
13
（a
21
a
32
﹣a
31
a
22）=0；
化简得2x﹣3y﹣6=0；
其图形是直线．
（2）根据同角三函数sin
2
φ+cos
2
φ=1；
消去φ可得曲线的方程为
图形是椭圆

，