王延辉1987年全国高考数学试题及答案

2020年12月1日发(作者：柳曾典)

1987年全国高考数学试题
(理工农医类)
一、本题每一个小题都 给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认
为正确的结论的代号写在题 后的括号内.

(A)X (B)T (C)φ (D)S
【 】

[Key]
一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)D




【 】

[Key] (2)C

(3)设a,b是满足ab<0的实数,那么
(A)│a+b│>│a-b│ (B)│a+b│<│a-b│
(C)│a-b│<││a│-│b│ (D)│a-b│<│a│+│b│
【 】

[Key] (3)B

(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设
命题甲:点E,F,G,H不共面.
命题乙:直线EF和GH不相交.
那么
(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.
(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件.
(C)甲是乙的充要条件.
(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.
【 】

[Key] (4)A

(5)在区间(-∞,0)上为增函数的是


【 】


[Key]
(5)B



【 】


[Key] (6)D

(7)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是
(A)直线 (B)圆
(C)双曲线 (D)抛物线
【 】

[Key]
(7)B



【 】


[Key] (8)A

二、只要求写出结果.


(3)若(1+x)
n
的展开 式中,x
3
的系数等于x的系数的7倍,求n.

(5)在抛物线y=4x
2
上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短. < br>(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.
(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求< br>斜高.

[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.


三、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

[Key] 三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.
解法一:sin10°sin50°sin70°


∴sin10°sin30°sin50°sin70°

解法二:
∵sin10°sin50°sin70°






,
.
解法三:
sin10°sin30°sin50°sin70°
=
=


四、如图,三棱锥P ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.





[Key] 四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.
证明:连结AD和PD.
∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，
∴BC⊥平面PAD,

三棱锥B PAD体积

同理,三棱锥C PAD的体积

∴ 三棱锥P ABC体积
∵ V=V
1
+V
2
,

若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.




五、设对所有实数x,不等式

恒成立,求a的取值范围.

[Key] 五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.
解:由题意得



化简为 z(6-z)<0,
解得 z>6,或z<0. ④
①式变形为log
2
8-z>0,
∴ z<3, ⑤
综合④,⑤得 z<0,

解①，⑥得a的取值范围： 0
六、设复数z
1
和z
2
满足关系式

其中A为不等于0的复数.证明:
(1)│z
1
+A││z
2
+A│=│A│
2
;


[Key] 六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.
解法一:(1)由已知的关系式得

∵│z
1
+A││z
2
+A│

由①证得 │z
1
+A││z
2
+A│=││A│
2
│=│A│< br>2
.
(2)∵ A≠0,由①得
z
1
+A≠0,
②

由此得