如何进行人肉搜索初中数学竞赛常用公式[1]

2020年12月1日发(作者：全增嘏)

三角函数公式

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
数联天地9 Y6 3 f$$ n7 V6 [1 8 F* ]4 z;

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
数学论坛 - 数联天地 L& W5 ~) C, Z- E: v$$ l; P

倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
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数学论坛 - 数联天地% L8 u, @$$ j; T& S


数联天地# l' T( O1 u! P! I
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
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和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
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某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
数联天地% p0 o

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

一些平面几何的著名定理
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2、射影定理（欧几里得定理）
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角 形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂
线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个 圆上，
11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）
上
12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）
圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这 四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，
我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)
(s-c)ss为三角形周长的一半
14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+
BP2)
16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×A B2+m×
AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波罗摩及多定理：圆 内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和
对角线交点E的直线垂直于CD
18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位
于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上
19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC
20、以 任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰
△BDC、△CEA 、△AFB，则△DEF是正三角形，
21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三 角形，则由线段AD、BE、CF的
重心构成的三角形也是正三角形。
22、爱尔可斯 定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、
△BEH、△CFI的 重心构成的三角形是正三角形。
23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其 延长线和一条不经过它们任一
顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1
24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略）
25、 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的
平分线交边AB于R ，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
26、梅涅劳斯定理的应用定理2： 过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的
切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P 、Q、R，则P、Q、R三点共线
27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三 角形的边或它们的延长线上的
一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交 于点P、Q、R，则
BPPC×CQQA×ARRB()=1.
28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分