前雾灯标志数学竞赛

2020年12月1日发(作者：刘世敏)

数学竞赛

竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理

重庆市育才中学 瞿明强

四个重要定理：
梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线 上有点P、Q、R，则P、Q、
R共线的充要条件是
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）
。
△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的
充要条件是
托勒密(Ptolemy)定理
。
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该
四边形内接于一圆。


西姆松(Simson)定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是
该点落在三角形的外接圆上。

例题：
1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：
。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）

【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2． 过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，
交CB于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中
点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）
DGF截△ACM→（梅氏定理）
∴===1
【评注】梅氏定理
3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，
，AD、BE、CF交成△LMN。
求S
△LMN
。
【分析】
【评注】梅氏定理
4． 以△ABC各边为底边向外作相似的
等腰△BCE、△C AF、△ABG。求证：AE、BF、
CG相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理

5． 已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC=AB+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ ABC的外接圆于D，连结BD。则
CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，
AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】托勒密定理
6． 已知正七边形A
1
A
2
A
3
A
4< br>A
5
A
6
A
7
。
22
求证：
【分析】
【评注】托勒密定理
。（第21届全苏数学竞赛）
7． △ABC的BC边上的高AD的延长线交
外接圆 于P，作PE⊥AB于E，延长ED交
AC延长线于F。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
【分析】
【评注】西姆松定理（西姆松线）
8． 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内 分点M、N分成的
比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。
求k。（23-IM O-5）
【分析】
【评注】面积法
9． O为△ABC内一点，分别以d
a
、d
b
、d
c
表示O到BC、CA、AB的距离，以R
a
、R
b
、
R
c
表示O到A、B、C的距离。
求证：（1）a·R
a
≥b·d
b
+c·d
c
;
(2) a·R
a
≥c·d
b
+b·d
c
;