tonick数学竞赛准备策略

2020年12月1日发(作者：周子闻)
关于参加全国大学生数学竞赛的应对策略建议
(内部资料，严禁外传！)

2015年全国大学生数学竞赛再有一个多月就要举行了，现根据竞赛特点提出以下意见和建议，供参赛
同学参考。
一、竞赛内容：高等数学上下册。近几年出现了高等数学教材中打*的内容
数 学竞赛考察的内容属于高等数学的较高要求，题目既有基础的内容，也有提高的内容，具有较强的
灵活性 。下面就一些平时不要求但需要注意的内容进行一些说明，共大家参考。
1. 泰勒公式
泰 勒公式是分析函数性质的重要工具，在整个微积分中起着重要作用。从某个角度讲，泰勒公式掌握
的是否 熟练，是检验一个人微积分水平的一个标志。泰勒公式在极限计算、级数敛散性判定、函数项级数
和反常 积分收敛、一致收敛、定积分等式证明、不定积分不等式证明中均起重要作用。因此参加数学竞赛
的同学 请务必熟练掌握泰勒公式，可以翻阅数学分析（数学系学生学习的）的有关参考书。也是培训的重
要内容 之一。
2. 微分中值定理
罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理现在教学要求 中不要求掌握构造辅助函数证明等式
不等式的题目。但是在研究生入学考试和数学竞赛中一直属于测试内 容。特别是证明存在两个中值的题目
一般教材没有，但是 考研试题中屡屡出现，需要通过练习掌握其方法技巧。
3. 利用对称性计算多元函数的积分
在教材中要求不高但在考研中十分重要。包括区域对称性和轮换对称性在计算二重积分、三重积分、
曲 线积分、曲面积分中经常遇到，需要掌握。
4. 用定义计算或证明导数、偏导数、全微分
5. 各类积分的物理应用
6. 熟练掌握各类积分的计算，掌握格林公式、高斯公式、曲线积分与路径无关的条件等。
7. 空间解析几何中平面、直线的位置关系，用线性代数中有关秩的理论研究这些关系。
8. 微分方程的计算（经常与曲线积分、实际应用题目结合）
9. 级数的敛散性判别
10. 各类不等式的证明
二、补充知识点
1． 利用Stolz定理求极限、利用定积分求极限、 利用级数求极限、利用数列的变形求极限、利用单
调有界定理证明数列极限存在及解方程法求极限、利用 夹逼准则求带有积分号的极限、利用泰勒公式求极
限（熟练掌握）。
2. 不等式证明：利 用泰勒公式证明代数不等式、微分不等式、积分不等式（有些难度较大）；利用函
数单调性、拉格朗日中 值定理、极值最值、凹凸性、各类积分的估值性质、拉格朗日乘数法证明不等式、
利用二重积分与定积分 的关系证明定积分不等式。