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全运会口号高中数学竞赛典型题目(二)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-12-01 08:15
tags:高中数学, 高三数学, 数学

朵的笔顺-只怪自己当初没有抓紧你的手

2020年12月1日发(作者:褚启元)
数学竞赛典型题目(二)
1.(1994年伊朗数学奥林匹克) 设a、b、c、S分别为锐角 三角形ABC的
三边的边长及它的面积。证明在三角形ABC内存在一点P,由P到顶点
A、B 、C的距离为x、y、z的充份和必要条件是存在三个三角形:第
一个的边长分别是a、y、z及其面积 为S
1
,第二个的边长分别是b、
z、x及其面积为S
2
,第三个的 边长分别是c、x、y及其面积为S
3

S=S
1
+S
2< br>+S
3

2 .(1995年伊朗数学奥林匹克) 假设ABCD为一正方形及K、N分别在线
段AB和AD的点使得AK x AN = 2 BK x DN.设L和M分别为对角线BD与
CK及CN的交点。证明K、L、M、N和A五点共圆。
( 1995年伊朗数学奥林匹克)A,B,C三点在圆O上,线CO交AB于D且BO交AC
于E,如果角 度都是,求.
(1995年伊朗数学奥林匹克)内切圆和边AB,AC及BC交于M,N,P,证明:垂
心, 外心和内心三点共线.
3.(1996年伊朗数学奥林匹克)中,,O、H、I、分别为 外心、垂心、内
心和关于A的旁心. 和分别在AC和AB上,且证明:
(1)八点B、C、H 、O、I、、、共圆;
(2)若OH交AB、AC分别于E、F,则周长等于
(3)
4 .(1996年伊朗数学奥林匹克)为不等边三角形,从A、B、C出发的中
线交外接圆于另一点L、M 、N.若证明:
5.(1996年伊朗数学奥林匹克)中,D在AB上,E在AC上,且DE//BC. P为
内任一点,PB和PC交DE分别于F、G.若为外心,为外心,证明:
6.(1997年 伊朗数学奥林匹克)边BC的中点是N,以AB和AC为直角边向外构
造等腰直角,证明:也是等腰直角 三角形.
7.(1997年伊朗数学奥林匹克)圆心为O,直径为AB的圆上有两点C,D,直线
CD交AB于M,且MB8.(1997年伊朗数学奥林匹克)锐角外心为O,垂心为H,且BC>CA,F为高CH
的垂足 ,过F作OF的垂线交AC于P,证明:有向角
9.(1997年伊朗数学奥林匹克) 外接圆弧AB上 有一个动点(不包含A),分
别为的内心,证明:
(1)的外接圆是否过定点?
(2) 以为直径的圆过定点.
(3) 中点在定圆上.
10. (1998年伊朗数学奥林匹克)KL 和KN是圆C的切线,切点是L,N,M为
KN延长线上一点,的外接圆交圆C的另一交点为P,点Q是 N向ML所引
垂线的垂足,证明:
11. (1998年伊朗数学奥林匹克)锐角的高是AD, 角B和C的内角平分线交
AD于点E,F;若BE=CF,证明:是等腰三角形。
12. (1998年伊朗数学奥林匹克) 锐角中,AD,BE,CF是高,过D作EF的
平行线交AC于Q, 交AB于R,直线BC交EF于P,证明:外接圆过BC中
点。
13. (1998年伊朗数学奥林匹克)和中
证明:
14. (1998年伊朗数学奥林匹克) 中BC延长线上点D满足CD=AC, 外接圆
交以BC为直径的圆于另一点P,BP交AC于E,BP 交AB于F,证明:D,
E,F三点共线。
15.(1999年伊朗数学奥林匹克)内心为I, AI交的外接圆于D.从I向BD
和CD引垂线,垂足为E、F.若求
16.(1999年伊朗 数学奥林匹克)中,在BC上有一点D,BA上有一点E使外
接圆交AC于P,直线BD交外接圆于Q. 证明:
17.(1999年伊朗数学奥林匹克)中,角平分线交BC于D.设W是与BC相切
于 D且过A点的圆,M为AC与W第二个交点, P为BM与W第二个交点,证明:
P位于一条中线上.< br>18.(1999年伊朗数学奥林匹克)圆W过的顶点A、C,边AB和BC交W 于D、
E.令r为内切圆,S为圆心.若r切弧DE于M.证明:平分线过内心.
19. (2 000年伊朗数学奥林匹克)圆和圆交于A,B,半径所在直线分别交
圆和圆于点F,E,过B作EF的 平行线交圆和圆分别于M,N,证明:
21. (2000年伊朗数学奥林匹克)两圆交于A,B,直线 过A交两圆分别于
C,D;M,N分别为BC和BD的中点(两条险段都不含点A)K是CD的中
点,证明:有向角
22. (2000年伊朗数学奥林匹克)以的边为底边向外作等腰,令是外一点,且,,证明:;若T是关于直线的对称点。则
23. (2000年伊朗数学奥林匹克)圆O的 半径为R,直线和圆O相离,点M,N
在上,且以MN为直径的圆和圆O相切,证明:存在点P使是定角 。
24.(2001年伊朗数学奥林匹克)中,B在AC上,D在AE上,F为CD和BE的
交 点.若证明:
25.(2001年伊朗数学奥林匹克)O为外心,H为垂心,九点圆是过各边中
点、各边高的垂足AH、BH、CH中点的圆.令N为圆心,为一点满足,
令OA中垂线交BC于.同样 定义和证明:、、共线,且这条直线垂直于
26.(2001年伊朗数学奥林匹克)I为内心,为关于A 的旁心.若I 交BC及
的外接圆分别于和M,N为外接圆弧MBA中点,直线NI和N交外接圆分别于S、T.证明:S、T、共线.
27. (2002年伊朗数学奥林匹克) 的外接圆为O,平 行于BC的直线交AB,
AC于点E,F,交圆O于U,V,令M是BC的中点,圆是的外接圆,且两个
圆的半径相等,ME交圆于T,且FT交圆于S,证:EF和的外接圆相切。
28. (2002年伊朗数学奥林匹克) 的角平分线是AD,若AB+AD=CD,
AC+AD=BC,求的角。
29. (2002年 伊朗数学奥林匹克)圆相切于K,且与圆O分别切于M,N,圆
外公切线叫圆O于A,B,AK,BK分 别交圆O于E,F,若AB为圆O的直
径,证明:EF,MN,OK三线共点。
30. (2002年伊朗数学奥林匹克) 的边Bc上的点M,N,点M在BN上且
BM=CN,P,Q分别在 AN,AM上,且有向角,证明:有向角
31. (2002年伊朗数学奥林匹克)内心为I,内切圆切 AB,AC分别于X,Y,
XI交内切圆于M,CM和AB交于,L是线段上的点,且,证明:A,L, I
共线当且仅当AB=AC。
32. (2002年伊朗数学奥林匹克)AB,AC为圆O的切 线,直线为圆O的任意
切线,交AB,AC分别于点P,Q,过P作AC的平行线交BC于R,证明:< br>改变时,QR过定点。
33.(2002年伊朗数学奥林匹克) 关于点A的旁切圆切BC于点P,AP交外接
圆于点D,证明:的内切圆半径相等。
34. ( 2002年伊朗数学奥林匹克)A,B,C在圆O上,I是内心,D是弧BAC的
中点,圆W和AB,A C相切并与圆O切于点P(W在圆O内),证明:P,
I,D共线。
35.(2002伊朗选拔 赛)ABCD是凸四边形,连接其对角线将他分成4部
分,对角线的交点是P,是三角形PAD,PAB ,PBC,PCD的旁心(相应
于P点),证明:共圆等价于ABCD有内切圆。
36.(20 02伊朗选拔赛)从内一点O向BC,CA,AB因垂线,垂足是,证
明:O是外心的充要条件是周长不 小于的周长。
37.(2002伊朗选拔赛)内切圆且BC于,交内切圆于另一点P,CP,BD
交内切圆于 另一点N,M,证明:共点。
38. (2003年伊朗数学奥林匹克)ABCD是凸四 边形,P,Q分别在BC,DC
上,且,证明:面积相等的充要条件是过两个三角形垂心的直线和AC< br>垂直。
39. (2003年伊朗数学奥林匹克)的边OX,OY有动点A,B,且,以OA,O B
为直径画两个圆,证明:这些圆的外公切线与定圆相切。
40. (2003年伊朗数学奥林匹克) 内切圆分别切边BC,CA,AB于点,M,
N分别为中点,MN交 于T,过T作圆的切线TP,TQ,PQ交MN于L,交BQ于
K,若I为内心,证明:IK平行于AL 。
41.(2003年伊朗数学奥林匹克)AB是定线段,求最大的使得平面上存在
个点满足都 相似,并且证明所有的点共圆。
42. (2003年伊朗数学奥林匹克)四面体ABCD的四个面的外 接圆半径相
等,证明:AB=CD,AC=BD,AD+BC。
43.(2003年伊朗数学奥 林匹克) 边BC上有一点M,分别是AB,AC上的
点,且,H,I分别为垂心和内心,证明:共圆。
44. (2003年伊朗数学奥林匹克)A,B是定点,直线过定点C,过A,B的两
个圆切 直线于M,N,证明:外接圆过定点。
45. (2003年伊朗数学奥林匹克)A,B,C,Q是定点 ,M,N,P分别是AQ,
BQ,CQ和BC,CA,AB的交点,是内切圆和BC,CA,AB的切点 ,从M,
N,P向内切圆作切线(不是三角形的边)形成,证明:交于点Q。
46. (200 3年伊朗数学奥林匹克)圆交于点P,从点P任意作直线交圆于
B,C,求A的轨迹,其中的中线AM长 为定值。
47.(2003伊朗选拔赛)设E为已知椭圆,是E外任意一点.过作E的切线,
记 切点为是直线上的点,且是对进行类似操作而得的点.证明:在平
面上是有界的.
48.(20 03年伊朗选拔赛)设与的外接圆内切并与边AB、AC相切的圆为,
记为圆的半径,r是的内切圆半径 .类似地定义、证明:
49.(2003年伊朗选拔赛)的外接圆的圆心为O,是边BC的中点, 与外
接圆交于点,,点在AO上,过点的外接圆的切线与相交于点用同样的
方式,可以构造点和证明 :、、三点共线.
50. (2004年伊朗数学奥林匹克) P是边长为的边形,且所有的顶点共
圆,求证:不存在同样边长的边形其面积超过P。
51. (2004年伊朗数学奥林匹克)O为的外心,过O的直线分别交AB,AC于
M,N ,令S,R分别为BN,CM中点,证明:有向角
52. (2004年伊朗数学奥林匹克) 延长锐角 的中线交外接圆于,令AP为外
接圆直径,从向AP作垂线与过外接圆的切线交于,同样定义,证
明:,共线。
53. (2004年伊朗数学奥林匹克)X是中的点,且AX交BC于Y,作YP,Y Q,
YR,YS分别垂直于CA,CX,BX,BA,求关于X的充要条件使得P,Q,
R,S 共圆。
54. (2004年伊朗数学奥林匹克) 中,点M,N在AC上,且MA=AB,
NB=NC,K,L 在 BC上,且KA=KB,LA=LC, 若 ,MN=AC,求的角。
55. (2004年伊朗数学奥林匹克) 内切圆切边AB,AC于P,Q,I是内心,
BI,CI交PQ于K ,L,证明:外接圆和内切圆相切的充要条件是
AB+AC=3BC
56.(2004伊朗选拔 赛)是内等偏角的两个动点(即等),从向BC,
CA,AB引垂线,垂足分别为,,证明:AG,BF ,CE平行。

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