当当书城网上书店一次数学竞赛出了10道选择题

2020年12月1日发(作者：严英)

一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1
分，不答不得分．问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

【答案】 由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0 分到10+3×10=40 分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要
3× （41-3）+1=115 人．


难度：★★★★★

对一块 3×7的棋盘，每一格可任意染成黑色或白色．求证：对任意的染法，棋盘上至
少有一个长

方形，它的四个角着色相同．

【答案】

因为只有两种颜色，所以第一行的7个格中至少有4个格着色相同，为确定起见，不妨
设前4个格着白色 ．如果第二行的前4格有2个着白色，则四个角同色的矩形已经存在，所
以我们假定第二行的前4格中至 少有3个着黑色，不妨假定前三个格着黑色．又第四行的前
3个格至少有2个同色，当有2个白色时与第 一行构成四角同色的矩形，当有2个黑色时与
第二行构成四角同色的矩形．
有2个砝码，一个重5克，另一个重7克，能用这两个砝码称出9克沙子吗？怎样称？

【答案】

可以．先用7克的砝码称出7克沙子；再从中称出5克沙子，还剩 (克)；再称取7克
沙子，与刚才剩下的2克一起，共是 (克)．



难度：★★★★★

一个圆周被任意地分成101段，甲、乙两人轮流对它 进行涂色，每人每次可以涂染一段
或相连的两段，谁涂完最后一段，谁就获胜．如果甲先开始涂，那么两 人中谁有获胜的策略？