西部歌王(整理)数学竞赛考试范围

2020年12月1日发(作者：张恩照)
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（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教
学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：
Ⅰ、数学分析部分
一、集合与函数
1. 实数集、有理数与无理数的稠密性， 实数集的界与确界、确界存在性定理、
闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的
闭矩形套定理、聚点定理、有 限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推
广.
3. 函数、映射、变换概 念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函
数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.
二、极限与连续
1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性
质）.
2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列
收敛的关系），极限及 其应用.
3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计
算一元函数 极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，
多元函数重极限与累次极限概念 、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.
4. 函数连续与间断、一致连续性、连 续函数的局部性质（局部有界性、保号性），
有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、 介值定理、一致连续性）.
三、一元函数微分学
1.导数及其几何意义、可导 与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何
意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.
2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy 定理，
Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
3.一元微分 学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其
应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线 、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、
近似计算.
四、多元函数微分学
1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系， 复合函
数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏
导数 与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.
2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐
标变换.
3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面
与法线）.
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4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.
五、一元函数积分学
1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法 、分部
积分法）、有理函数积分：型，型.
2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.
3. 定积分的性质 （关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中
值定理）、变上限积分函数、微积分基本定 理、N-L公式及定积分计算、定积分第二
中值定理.
4.无限区间上的广义积分、C anchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收
敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abe l判别法、Dirichlet判别法、无界函数
广义积分概念及其收敛性判别法.
5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与
弧微分、旋转体体积） ，其他应用.
六、多元函数积分学
1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般
坐标变换）.
2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.
3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.
4.含参量正常积分及其连续性、 可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量
广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连 续性、可微性、可积性，运
算顺序的可交换性.
5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的
条件.
7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两
类线 积分、两类面积分之间的关系.
七、无穷级数
1. 数项级数
级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；
正项级数收敛的 充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限
形式；交错级数的Leibniz判 别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别
法、Dirichlet判别法.
2. 函数项级数
函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收 敛性判别法（M-判别法、
Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级 数的性质及其应用.
3.幂级数
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