李俊和对小学数学原理的理解

2020年12月1日发(作者：韦纯束)
一些教师认为，乘、除法是小学生学习了加减法后再学习的一种数学运算，当学
生学习使用乘除 法时，他们推理能力没有大的改变，对于这种观点，皮亚杰和他
的同事提出了质疑。皮亚杰等认为，儿童 在理解乘除法过程中，他们的数学系思
维发生了重要的变化，学习乘除法应该使小学和数学思维产生一次 新的飞跃，通
过学习乘除法，小学生不仅学会了运算技能，而且拓展了学生的数学视野和应用
数 学的空间。

一、乘除法和新的数学情境
乘法的基础是什么？加法在某种程度上构成 了乘法的基础，这种说法无疑
是对的，因为解决向乘法运算的方法之一就是通过重复做加法，你可以将2 70
加三次而得到270×3的答案，除法和减法也有类似的关系，计算270÷90也可
通过 从270中连续减去90直到差为0。
但是，如果将乘法看成一种复杂的加法，将除法看成另一种形式 的减法，
这是不对的，原因之一是乘除法比简单的加减法需要更多的数学理解，儿童必须
了解一 套完整的新知识的含义，他们必须以新的思维方式进行思考，另一方面我
们把“经验”作为小学数学的基 础，就不难发出错乘除法和某些学生生活情境紧
密联系，这些情境是小学生理解乘除法知识的基础。在本 节中我们将介绍产生乘
除法的三种具体情境。
1．“一对多”的情境
一对多的情境 指一个与多个相对应的现象，这是三咱情境中最简单和最基
本的一种，日常生活中的这种例子比比皆是， 如，1辆汽车有4个轮子（1与4
对应），那么3辆车有多少个轮子？结果为4乘3得12，1个桌子能 坐6个人（1
与6对应），那么5张桌子可以坐多少人？等等，从一对多情境出发，乘法有以
下 重要意义和特点。
第一，乘法表示两个集合之间的一与多相对应的恒定关系，这种一个与多
个 相对应的恒定关系在生活中普遍存在，它的基础上一个新的数学概念，这就是
“比率”，为了保持这种对 应关系，如一辆汽车对应四个轮子，每将一辆汽车加
入汽车集合，我们就必须将四个轮子加入到轮子的集 合，也就是说，我们必须加
放不同数目的物体到不同的集合，这种方法与加法运算的思维方法上具有本质 区
别，为了使一个比率保持不变，不是像加减法运算中将数“分”与“合”，而是
同乘一个数或 同除一个数。
第二，附着学生头脑中有关“比率”意义的发展，另一种亲的数学意义逐
渐为他 们所认知，例如，如果我们刚开始有1辆车4个轮子，重复6次后，即4
乘以6。“6”就是重复次数— —称为乘数（因数）。一个乘数既非车的数目也
非轮子数目，它不是针对物体的数目，而是针对同种类型 两个集合数目的重复次
数，“6”表示这种关系：1→6辆车和4→24个轮子，为使比率保持不变，同 一
个乘数要同时对两个物体的集合产生作用，乘表示也变化过程一种确定的关系，
数的含义与加 减法中数的含义有所不同，这种新数学意义的产生据有关部门拓广
了学生的数学眼界和思维天地。 一与多的情境涉及到两个新数学意义，一是比率，二是乘数，无论是比率
还是乘数，都和学生以前所 认识的数不一样，两个数都与测量单位无关，它们不
是对现实物体数量概括，而是说明数之间的关系，学 生的数学思维涉及到不仅是
对虾的概括，而且涉及到数与数之间关系的概括，这是一个重要的飞跃。
2．两个变量“共变”的情境
乘除法中蕴涵着变化的思想，共变现象是指在一个情境中，一个 量变化，
另一个量也发生相应的变化。在日常生活中，会发生两个或两个以上的变量一起
变化的 情境，这种变化具有因果关系，因果关系指的是一个变量对其他变量的影
响，例如：1千克糖的价格是4 .60元，则0.5千克糖的价钱就是2.30元，2千
克糖的价格是9.20 元，糖的数量与总价发 生了“共变”，又如，在一根弹簧的
下端挂上20克的重物，弹簧就会被拉长15厘米，如果挂上10克 的重物，弹簧
就会被拉长7.5厘米，重物的重量与弹簧的长度发生了“共变”，共变是几代人
上变量的和种有规律的变化现象，在共变现象中，学生逐步体会了数量的有规律
的变化，他们会逐步体悟 一些不同的数学观念。
以上两个例子的相同点是，当解决有关两个变量的关系问题时，都运用了
扩大倍数和缩小倍数的方法，在共变现象中，隐含了“倍数”的含义，倍数是学
生的一种生活经验，如 果你要买２０倍重量的糖，就应付２０倍的钱，两个变量
之间的关系并不会因为数量、倍数的增加而改变 。
当论及糖的价钱时，我们就会提到“每千克糖的价格”。“价格”这个量
既不是实际的价钱 ，也不是实际的重量，而是价钱与重量间的一种关系，当重增
加时，价钱也会增加，但“每千克糖的价格 ”是不变的，数量之间的对应关系可
以表述为：两个因数和有关两个变量的第三个变量，倍数、价格等都 是第三个量。
共变现象还应包括多变量（两个变量以上）的形式，例如，农民在农场里
生产牛 奶所赚的钱取决于许多变量——农场所拥有牛的头数，每天每只牛产牛奶
的平均量，天数，还有牛奶的价 格，不把这所有变量考虑在内，农民就不可能估
计出他的收入，很明显，涉及多变量的比例的问题更加复 杂。
3．平分的情境
平分的活动为学生提供了包括乘法推理的另一种情境，平分包括在一组 受
领人中平均发一组东西，例如，把20粒糖果平均分给4个学生，虽然也和加减
法一样，平分 活动涉及部分与总体之和，每一部分不需要相等，平分活动中虽然
也包括部分—整体的关系，但是要考虑 三个因素：全体的大小，分为几部分和每
部分的大小，每部分必须相等，如果有20个糖果（整体）分给 4个孩子（4部
分），则每个孩子有5个糖果（每部分的大小，或数量）。因此，平分活动是一
种新的数学情境。
对于平分活动的描述也许会联想到一对多的情境，但是儿童对这两种情境
的 想法是不一样的，平分对于儿童说来是一种很生动的活动。小学生在思考这种
活动时心理过程和一对多情 境是不一样的。在平分中，孩子们需要逐渐地了解三
个变量之间的关系，糖果的总数、孩子的总数和每个 孩子的糖果数，如果你保持
孩子的数量不变，并且增加糖果数，则每个孩子得到的糖果数会增加；但是， 如
果你保持糖果数不变，并且增加孩子的数量，则每个孩子的数会减少，糖果的总
数和每个孩子 的糖果数之间有直接的关系，但是孩子的数量和糖果的数量之间则
是反比例的关系。研究表明，学生对这 种反比例关系的体悟（不是掌握！）是理
解除法的重要内容，了解这种反比例的关系是越过简单的平分行 为去理解除法含
义的基本步骤，概括起来，平分情境是学生理解除法概念的经验基础，这种活动
使学生进一步深入理解了部分—整体的关系，这种关系和加法的部分—整体的关
系是不同的。
当平分活动在一组或一个目标中连续进行时，我们称为“连续分割”或“连
续分配”。例如，一个被一分 为二的巧克力蛋糕，如果对每块进行再次分割，将
会有4块，这三次分会有8块，第四次分会有16块， 我们能容易地看出，在这
种情境中，有三种数的含义，分割（或分配）的次数，每次分配的份数，和每部
分的大小，我们分了四次，每次分为两部分，每块是全体的1/16，平分或者连
续分配的活动 产生了一个表示变化比率的新的数（商数或者分数）。
总之，并不能说乘法仅仅是加法的重复，除法仅 仅是减法的重复，显然，
加法和乘法是有必然联系的，同样，减法和除法也是有必然联系的，乘法和除法
的实际计算结果也可以由连加或连减导出，但是，我们必须注意，乘除法与学生
生活经验相联系 ，在乘除法推理中出现了新的数学观念，小学生在乘除法的三种
情境中，逐步发展其乘法推理能力，在小 学生学习乘除法过程中，教师应该充分
向学生提供这些重要的情境，有目的地让学生开展多种活动，使学 生有机会在学
习乘除法过程中发展数感和数学思考的能力，而不是仅仅掌握运算技能。
二、小学生对乘除法问题的理解：乘法推理
学生对乘除法理解的核心是他们乘法推理能力的发 展，在这一过程中学生
的逻辑思维能力得到了锻炼，乘法推理也称为增倍推理，它是指学生运用倍数的< br>概念进行正向和逆向的应用性推理，增倍推理有很多不同的水平层次，实际上，
儿童很小的时候就 在这一方面迈出了第一步。
1.儿童何时产生乘法推理
儿童的增倍推理是怎么开始的？皮亚 杰认为：儿童最初的乘法思想来自对
应思想在推理中的运用。他推测，一个小孩子如果能理解一对一法则 ，就能掌握
一对多法则，换言之，如果一个5-6岁的儿童明白：若A=B，且C=B，则A=C，那么他们就应该也能理解若A=2B，且A=C，则C=2B。
皮亚杰调查了儿童理解一比一的对 应和多组事物间的一比我的对应，他先
让儿童在10个花瓶中插花，每个瓶中插一朵蓝色小花；然后，粉 色花也取出并
成一束，这样，儿童就知道蓝花数（A）等于花瓶数（B），并且粉色花数量（C）
也等于花瓶数，但是，蓝花和粉色花大小不同，这样儿童不能通过视觉轻而易举
地对比出两种花的数量 。儿童只有理解了一比一的对应才能得出两种花的数目相
等。