塔木德智慧全书困扰小学数学的15个争议问题

2020年12月1日发(作者：危进)
困扰小学数学的15个争议问题

最小的一位数是0还是1？
这个问题在很长一段时间存在争论。
先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学 用书》第98页“关
于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两
位数；“405” 是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0
是几位数。
再来听听专家的说 明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只
用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用 两个数字（其中左边第一个数字为
有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数 是几（其
中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。
于此，所谓最大的几位数， 最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。
所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、 ７、８、９。
０不是最小的一位数。

２、为什么0也是自然数?
课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。
于此，中央教科所教 材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一
直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认 为自然数从0开始，我国教材
以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主 持召开
教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。
从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。
2.1“0”作为自然数的“好处”。
众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两 类。有限集合是含有
有限个元素的集合，像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有
限集合中元素的个数 是很自然的。
但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数
为0 。如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。
如果把“0”作为一个自然 数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”
的任务了。于此，从“自然数的基数性”这个角度 ，我们看到了把“0”作为自
然数的好处。
2.2把“0”作为自然数，不会影响自然数的 “运算功能”。
“0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然
数 集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运
算结果仍然是自 然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分
配律也不会受到影响。
所以， “0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。
它让我们更好地理解自然数和它的 功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道
和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背 后的数学涵义。
3、什么是有效数字一无效数字？
有效数字是对一个数的近似值的精确程度 而提出的。同一个近似数如果在取
舍时，保留的有效数字多，就比保留的有效数字少更精确。一般说，一 个近似数
四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非零的
数字起 ，到那一位上的所有数字都叫做这个数的有效数字。如近似数0．００３
０９有三个有效数字：３、０、 ９；０．５２０也有三个有效数字：５、２、０。
而０．００３０９中左边的三个零，０．５２０中左边 的一个零，都叫做无效数
字。
４、加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？
“加 法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的
口头禅，这其实是一种误解。例如 ：
加法“２＋３＝５”，其逆算为“５－２＝３”，“５－３＝２”。故此，
加法的逆运算只 有减法；
减法“５－２＝３”，其逆算有 “５－３＝２”， “２＋３＝５”。故
此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。
综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。
同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。

5、为什么不写“倍”？
在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时，很多小朋友会 自然提
出这样的疑问，如：“饲养小组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭
的几倍？ ”为什么“12÷3＝4”的后面不写“倍”呢？
我们首先应该肯定学生的质疑（学生有较强的解题规 范意识）。但同时又该
对学生说明：在解答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称。如：12
只的“只”；8克的“克”。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个
物体的多少、大 小、长短、轻重等等。但是，“倍”不是单位名称，它表示两个
数量之间的一种关系。例如，上面的计算 结果“4”，表示12里面有4个3，就
是12只小鸡是3只小鸭的4倍。所以，在算式里不写“倍”， 以免“倍”与单
位名称发生混淆。
6、“倍”和“倍数”的区别
在第一学段 我们学习了“倍的初步认识”，认识了概念“倍”，而在第
二学段,我们又学习到“倍数”这个概念。那 么，“倍”和“倍数”这两个词到
底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？
“倍”指 的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有10
人，女生有30人，因为“10×3= 30”或者“30÷10=3”，我们就说，女生人数
（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说， 男生人数（10）的3倍等于女生人
数（30）。勿宁说，“倍”其实表示的是两个数的商（这个商可以 是整数、小数、
分数等各种表现形式）。