国家历史经济数学期末考试试卷(A卷)

2020年12月1日发(作者：邹大鹏)
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经济数学期末考试试卷（A卷）
一、填空题（满分15分，每小题3分）
1

1.
设
2
的定义域为.
f(x)1x
1lnx
2

2.
当
x0
时，若

ln(1ax)xsinx
与是等价无穷小量，则常数
a．

.

3.
设
f(x)A，则
0
f(x)f(x2h)

00
lim
h0
h
4.
设f(x)在(,)上的一个原函数为sin2x
，则
f(x).

5.
设f(x)为连续函数，且
1

f(x)x2f(t)dt
，则
f(x)．
0
二、选择题：（满分15分，每小题3分）

sin x

x0
x
6．设fx
，则在
x0
处，
f(x)（）
1x0
（A）．连续（B）．左、右极限存在但不相等
（C）．极限存在但不连续（D）．左、右极限不存在

2

7.
设
f(x)
xx
，则函数f(x)（）
sinx
（A）有无穷多个第一类间断点；（B）只有1个可去间断点；
（C）有2个跳跃间断点；（D）有3个可去间断点．

23
8．若点(1,4)是曲线

yaxbx的拐点，则()
（A）a6,b 2；（B）a2,b6；（C
）
ab1
；
（D
）
ab2．

9.
下列各式中正确的是（）
b
（A
）
(f(x)dx)f(x)（B）．df(x)f(x)dx
．
a
x
（C
）
d(f(x)dx)f(x)（D）．(f(t)dt)f(t)
．
a
10．某种产品的市场需求规律为Q8005p，则价格p120时的需求弹性
d（）
（A）．4（B）．3（C）．4%（D）．3%
三、计算题（每小题5分，共20分）:

x1

11．求极限：
lim()
1
x1xlnx
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xa
x

，求常数a的值.
12．设lim()8
x
xa

13．设

sinx
yx，求dy|
x


14．设

x2cost

，求

2
dy
y3sint
2
dx
四、计算题（10分）

15．设

f(x)
sinx,x0
．
axb,x0
（1）确定常数a,b的值，使f(x)
在
x0
处可导；

（2）求f(x)；
（3）问f(x)在x0处是否连续．
五、计算题（满分10分）

16．求不定积分：1

1e
x
dx

17．求广义积分：
lnx
1
2
dx
x
六、应用题（满分20分）
18．过原点作曲线ylnx的切线，求该切线与曲线ylnx及x轴所围成的平面图形的面
积，并求该图形绕x轴旋转一周所成立体的体积。
19．设生产某产品的固定成本为10万元 ，产量为x吨时的边际收入函数为R(x)10x32，
边际成本为

2
C(x)4020x3x。求
（1）总利润函数；（2）产量为多少时，总利润最大？
七、（满分10分，每小题5分）证明题:
1
x

F(x)xa
a
f(t)dt,axb
20．设f(x)在[a,b]上连续且单调递增，证明
f(a),xa
[a,b]上也单调递增.

21．设f(x)在[0,]

上可导，()0

，使得
2 f，证明存在(0,)
22
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在区间


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f()tanf()0
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1.
6．
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答案及评分标准
11
；2.1；3.2A；4.4sin2x；5.x1．
B）；7.（D）；8．（A）；9.（B）；10．（B）．
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一、
(0,e)(e,)
二、（

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三、11．【解】
x1xlnx1x
lim()lim
x1x1
1xlnx(1x)lnx
........................（2分）

1
lnx11x1
limlim
x1x1
lnx

12．【解】因为
1112
x
2
2ax
lim
xa2a
ee............（3分）
x
............（5分）

xa2a
xxx
xa2ax

xaxa
2
lim()lim(1)
xaxa
xx

故
3
28
a al n2............................................（5分）
e，因此
2
sinxlnxsinxlnx

13．【解】因
dyd(e)ed(sinxlnx)............................. ..（2分）

sinxlnxsinx
e(cosxlnx)dx
x

sinlnsin

所以
dy|
x
e(co sln)dxlndx........................（5分）

....................................（2分）
cot t
.....................（4分）

dyy(t)3cost3

14．【解】
dxx(t)2sint2
3
22
dyddyt
............（5分）
t
(2cott)3csc3
3
()csc
2
dxdxdxx(t)22sint4

22
【另解】函数的隐函数方程为
xy
49


dy9x
1，两边对x求导，得
dx4y
9x
dyyx
()

............（2分）
............（5分）

2
dyddydxy
2223
dxdxdx4y4y4y
()
yx
99481
四、15．【解】（1）由f(x)在x0处可导，知f(x)在x0处连续且f(0)存在，因此
f(0)limf(x)，f(0)f(0)
x0
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因

又
limf(x)limf(x)lim(axb)b，f(0)sin00，故b0
x0x0x0
f(x)f(0)ax

f(0)limlima
xx
x0x0
f(x)f(0)sinx

，
(0)limlim1
f
xx
x0x0
故
a1
，
f(0)f(0)f(0)1，且
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f(x)
sinx,x0
x,x0
....................................（4分）
（ 2
）当
x0
时，
f(x)(sinx)cosx
；当
x0< br>
因此，
f(x)
（3）因为

cosx,x0
1,x0
时，
f(x)(x)1

。............ ...............................（7分）
limf(x)limcosx1
，

x0x0
limf(x)lim11
，
f(0)1
x0x0
所以，
li mf(x)f(0)
，即
f(x)
在
x0
处是否连续．
.. ...................（10分）

x0

五、16．【解】
1e1
x
xx
.............（5分）

dxdxd(1e)ln(1e)C
xxx
1e1e1e

lnx1lnx11
17．
dxlnxd()|()dx
21
111
xxxxx
1
lnx1x1
lim|lim()(lim1)1
............（5分）1
xxx
xx1x

六、18．【解】设切点为
(x,lnx)，则由
y
00
1
ylnx(xx)
00
x
0
............（3分）

1

1

得切线的斜率为 ，切线方程
x
k
x
为
0
（1）

因切线过原点，将x0
，
y0代入（1）式，解得x< br>0
e，故切点为(e,1)，切线方程为

1
ylne(xe)
e

即

1
yx
............（4分）
e
该切线与曲线ylnx及x轴所围成的平面图形的面积为
1ee
e
e
Ae1lnxdxx(lnx1)|1............（7分）
1
222
1
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