高中化学实验创新数学必修二概念知识点大全

2020年12月1日发(作者：萧思明)
数学必修二知识整理

1. 空间几何的结构
棱柱的结构特征
棱柱的定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做
棱柱。
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称 底；其余各面叫做棱
柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点
叫做 棱柱的顶点（如下图）。

详解：
“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱
柱。
底面是三 角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、
五棱柱……我们用表示底面各顶点的字母表 示棱柱。如上图的棱柱表示
为棱柱
棱柱的特点：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是
平行四边形。
棱柱的一些相关概念：
棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱的高。
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱。
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
棱柱的本质特征
棱柱的两个本质特征：
⑴有两个平面互相平行的面；
⑵侧棱互相平行。由这两个特征可以推出棱柱的所有侧面都是平 行四边
形，侧棱平行且相等，所有对角面都是平行四边形。
详解：
直棱柱是特殊的棱柱，“直”体现在侧棱与地面垂直；
正棱柱是特殊的直棱柱，“正”体现在底面是正多边形。
棱锥的结构特征
棱锥的定 义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶
点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做 棱锥。
这个多边形叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥
的侧面；各侧面 的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱
锥的侧棱。顶点到底面的距离叫做棱锥的高（如下 图）。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、
五棱锥……其中 三棱锥又叫四面体。棱锥也用表示顶点和底面各顶点的
字母表示。如上图中的四棱锥，表示为棱锥S- ABCD.
棱锥的特点：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。
如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心的垂线上，则这
个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形边上的高都相
等，叫做棱锥的斜高。
详解：
特殊的棱锥——正棱锥，即地面是正多边形，并且顶点在底面上的投影
是底面 的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。两个条件缺一不可。
棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥，底面与截面之间
的部分，这样的多面体叫做棱台。
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的
下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做
棱台的侧棱；两底面间的 距离叫做棱台的高（如下图）。

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台 、四棱台、
五棱台……与棱柱的表示一样，上图中的棱台表示为棱台
由正棱锥截得的棱台叫做 正棱台，正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，
这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。
详解：
棱台的结构特征是：
各侧棱延长后相交于同一点；两底面是平行的相似多边形

圆柱的结构特征
圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面
所围成的旋转体叫做圆柱。
旋转轴叫做圆柱的轴；在轴上的这条边（或它的长度）叫做这个圆柱的< br>高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做侧面；无论旋转到什么位置，不
垂直于轴的边都叫做圆柱的 母线（如下图）。

圆柱用表示它的轴的字母表示，如上图中的圆柱表示为圆柱.棱柱与圆柱
统称为柱体。
详解：
圆柱有两个大小相同的底面，有无数条母线，而且圆柱的所有母线都平
行且相等。
圆柱有两个本质特征：平行于底面的截面是圆；过轴的截面是全等的矩
形。
圆锥的结构特征
圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边
旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
圆锥也有轴、底面、高、侧面和母线（如下图）。

圆锥也用表示它的轴的字母表示，如上图中的圆锥表示为圆锥SO.棱锥
与圆锥统称为锥体。
详解：
圆锥的简单性质：
平行于底面的截面都是圆；过轴的截面是全等的等腰三角形。
圆锥的轴截面包含了圆锥的各个 元素，是解决圆锥问题常用的平面图
形，它可以把空间问题转化为平面问题，这是解决空间几何问题的常 用
方法。
圆台的结构特征
圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的
部分叫做圆台。
与圆柱、圆锥一样，圆台也有轴、高、底面、侧面、母线（如下图）。

圆台也用表示它的轴的字母表示，如上图中的圆台表示为圆台.棱台与圆
台统称为台体。
详解：
圆台可以看作是由圆锥截得的，也可以看作是直角梯形绕其直角边旋转
而成的。
圆台 的结构特征：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面是全等的等腰
梯形；圆台的母线长都相等，每条母线 延长后，都与轴相交同一点。
球的结构特征?????????????
球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋
转体叫做球体，简称球。
半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直线叫做
球的直径（如下图）。

球常用表示球心的字母O表示
，如上图中的球表示为球O.
球面距离： 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点
间的一段劣弧的长度。我们把这个弧长叫做两 点的球面距离。
详解：
球体与球面是不同的，球体是几何体，球面是曲面，但两者也有联系，
球面是球体的表面。
简单组合体的结构特征
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由几何体拼接而成，一种是
有简单几何体截去或挖去一部分而成。
详解：
简单组合体的分类：
多面体与多面体的组合：由两个或两个以上的多面体组成的几何体。
多面体与旋转体的组合：由一个多面体与一个旋转体组合而成。
旋转体与旋转体的组合体：由两个或两个以上的旋转体组合而成。
2、空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积
1.柱体、锥体、台体的表面积
⑴对于棱柱、棱锥、棱台等多面体，它们的表面积是其各个面 的面积之
和.因此，可以把它们展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求
立体图形的表 面积⑵圆柱的侧面展开图是一个矩形（如下图），如果圆
柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底 面面积为，侧面积为，此
时圆柱的表面积.

(3)圆锥的侧面展开图是一个扇形（ 如下页图），如果圆锥的底面半径为
r，母线为l，那么它的表面积.

(4)圆台 的侧面展开图是一个扇环（如下图），它的表面积等于上、下两
个底面的面积和加上侧面的面积，即.

2.柱体、锥体、台体的体积
(S为底面积，h为柱体的高)；
(S为底面积，h为锥体的高)；
（、S分别为上、下底面面积，h为台体的高)。
球的体积和表面积
设球的半径为R，那么它的表面积,球的体积.
详解：
利用球的半径、球心到截面的距离、截面圆的半径所构成的直角三角形
求出截面圆的半径，即.
3、空间点、直线、平面之间的位置关系
平面的概念及其表示法
为了表示平面，我 们常把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个
角上，如平面α、平面β；也可以用代表平面的平行 四边形的四个顶点，
或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的简称，图（1）的
平面 α也可以表示为平面、平面AC平面BD.

平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。点A在平面α内，记作外，
点在平面α外，记作.
详解：
通常把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、
平面β来表示平面。
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面
内。
公理2：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们且只有一条过
该点的公共直线。
详解：
公理1可以用来判断直线是否在平面内。
如果直线l上的所有点都在平面α 内，就说直线l在平面α内，或者说
平面α经过直线l，记作；否则，就说直线l在平面α外，记作.
公理1也可以用符号表示：
.
公理2刻画了平面特有的基本性质，它给出了确定一个平面的依据。不
在一条直
线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”。
公理3告诉我们如果两个 平面有一个公共点，那么它们必定还有另一个
公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们 的交线。
公理3是判定两个平面相交的依据，即要证明两个平面相交，必须且只
需证明这两个 平面有一个公共点。
公理3是证明点在直线上的依据，即要证明一个点在某条直线上，可证
该 点是某两个平面的公共点，而该直线是这两个平面的交线。
公理3是证明几个点共线的依据，即要证明 几个点共线，可证这几个点
都是某两个平面的公共点。
实例：
如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线是否共面？
解：两条平行直线确定一个 平面，第三条直线有两点在此平面内，所以
也在这个平面内。于是，这三条直线共面。
异面直线及其相关性质
异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直
线。
如下图所 示，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线，，我
们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直 线a与b所成的角（或夹角）。

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如果两条异面直 线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相
垂直。两条互相垂直的异面直线a，b，记作.
详解：
(1)两异面直线所成的角与点O的选取无关。
(2)两异面直线所成角θ的范围是.
(3)判定空间两条直线是异面直线的方法：
①判定定理：平面外一点A与平面内一点B连成的直线与平面内不过
点B的直线是异面直线。
②反证法：证明两直线共面不可能。
平行直线
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（传递性）。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等
或互补。
详解：
公理4表明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行，它给出
了判断 两条直线平行的依据。
经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。
由等角定理可以得到如下两个推论：
推论1：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ，那么这两组直
线所成的锐角（或直角）相等。
推论2：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两组直
线所成的角相等或互补。
证明空间两条直线平行的方法：
方法1：利用定义
用定义证明两条直线平行，须证两件事：一是两直线在同一平面内；二
是两直线没有公共点。
方法2：利用公理4
用公理4证明两条直线平行，只须证一件事：就是须找到直线c，使得，
同时，由公理4，得到.
空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系
空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系：
1.空间中直线与直线的位置关系如下图：

2.直线与平面的位置关系如下图：

详解：
直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作.
直线与平面平行的判定
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面
平行。
用符号表示：.
详解：
利用判定定理证明直线与平面平行必须具备三个条件：
1 直线a在平面外，即；
2 直线b在平面内，即；
3 两直线a，b平行，即.
判定直线与平面平行的方法：
(1)利用定义：证明直线与平面无公共点；
(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行。
(3)反证法：假设直线与平 面不平行，那么直线与平面相交或直线在平面
内，由已知或定理、定理证明这是不平面与平面平行的判定
定理：一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平
行。
此定理也可用符号表示：.
推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的 两条
相交直线，那么这两个平面平行。
详解：
利用判定定理证明两个平面平行，必 须具备两个条件：①有两条直线平
行与另一个平面；②这两条直线必须相交，两者缺一不可。
判定两个平面平行的方法有以下几种：
1 利用定义：正两个平面没有公共点；
2 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个
平面，那么这两个平面平行；
3 两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
4 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直
线，那么这两个平面平行。
直线与平面平行的性质
直线与平面平行的性质：
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的
交线与该直线平行。
此定理也可用符号表示：.
即“线面平行，则线线平行”
详解：
在应用 此定理判定直线与直线平行时，必须具备三个条件：①直线a平
行α与平面，即；②直线a在平面β内， 即；③平面α与平面β相交于
直线b,即，这三个条件缺一不可。