数字谜之竖式谜

2020年12月9日发(作者：储大文)





数字谜之竖式谜
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A12
标准奥数教程
数字谜之竖式谜
【知识点与基本方法】
< br>跟横式数字谜一样也是一种猜数的游戏。解竖式谜旧的根据有关的运算法则、数的性质
（和差积商 的位数、数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确地推理、判断

解答竖式数字谜是应注意的问题：

（1）空格中只能填写0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而且最高位不能为0；

（2）进位要留意，不能漏掉

（3）答案有时候不唯一

（4）两数字相加，最大进位为1，三个数字相加最大进位为2，

（5）两个数字相乘，最大进位为8

（6）相同的字母（汉字或符号）代表相同的数 字，不同的字母（汉字或符号）代表不同
的数字

加(7)一个问题，读取整数型，并计算所有各位上数字的总和，直到该和降至一位数。
例如：数字是1256
sum=1+2+5+6=14;
sum=1+4=5;

【例题精讲】

求100~999一共900个三位数的各位数字之和

也就是2700个数的和

只需计算处各个数字出现的次数便可

0出现的次数这样算

0在个位上出现次数100~990共90次



0在十位上出现次数a00~a09，a为1~9，共10*9=90次

即数字0共出现了180次

而数字1~9出现的次数相同

为（2700-180）9=280次

所以所求数等于280*（1+2+……+9）=280*45=12600

【例题精讲】

例1.下面的算式中，只有5个数字已写出，请补充其他的数字

6

□
7

+□2□

□□15

分析：在 5个方格中，要个填写一个数字，是运算式成立，先填哪一个？那就要我们找问
题的突破口了从百位来看 ，和的千位数字只能是1.从市委相加来看，进位到百位，也只能
进1，因此□2□的百位是九，和的百 位是0.通过上面的分析就找到了问题的突破口了，
15-7-6=211-2-1=8

就得到算式的结果

6

□
7

+□2□

□□15

例3.图中，有四个小纸片各盖住了一个数字，问：被盖住的四个数字综合是多少？

□
□

+□□

149



分析：先看个位，因为两个数字相加，最大为9+9=18，所以两个数的和不能是19.从而两
个被盖住的个位数字之和等于9.由于个位数字相加不向十位进位，所以两个被盖住的十位
数字的和1 4.因此被盖主的四个数字的总和是

14+9=23

例4.在下面的方框中填上何时得数字

□
76

×□□

1
8□□

□□□□

31□□0

分析：由于积的各位舒适0，乘数的个位数是5，由此我们可以得到被乘 得数与5相乘的
1880，被乘数的百位数字是3，最后因为被乘数是376，积是31□□0，所以乘 数的十位数
字是8

解：376

×85

1880

3008

31860

例5.下面每 个汉字个代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同
的数字，问：这些汉字个代表 什么数字？

北京

北京市

+爱北京市

1999



分析：首先，我们立即得到“爱”表示=1，所以百 位数字相加不进位，“北”小于5.又因
为三个数字相加小于100+100+100=300

所以“北”+“北”大于6，从而“北”=4，知道“爱”和“北”个代表什么数字问题就很
好 解决了

解：爱=1，北”=4“京”=7“市”=6

例6.在图6-1算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立。

分析 ：首先根据十位上8+5得到4可知，个位有一个进位，所以，个位的空格中必定是
9；再根据百位上两 个数相加，再加一个进位后得到9，并有进位可知，百位两个空格中都
是9；结果中的千位只能是1，于 是得到：

例7.如图6-2，用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字各一 次，可组成一个正确
的加法竖式。现已写出3个数字，那么这个算式的结果是多少？

分析：首先，结果中的千位为1；第二，百位上第一个数至少是7，最多是9；如为7，那
么，结果中的 百位为0，并十位要有进位；由此第一个数的十位可以填6，第二个数的个
位填9；如为9，显然不行。 所以，结果只能是：

【课后练习题】

6.在如图6-3所示的算式中， 3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这
个算式的计算结果可能是多少？
< br>7.在图6-6所示的算式中，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多
少？



8.将1到9这9个数码分别填入图6-8的9个空格中，要求先填1 ，再在与1相邻(即左、
右或上、下)的格中填2，再在与2相邻的空格中填3，依次类推，……，最后 填9，使得
加法算式成立。


二加法与减法中数字和的变化

在数字和的问题上，有许多有趣的、富于思考的问题。

首先，计算两个数相加，数字 和会怎样变化，我们分开不进位加和进位加这两种情况
进行讨论。先看546＋453与546＋435 两题，这两题每题两个加数的各位上的数字的和是
5＋4＋6＋4＋5＋3=5＋4＋6＋4＋3＋5= 27，而546＋453=999，加的过程没有进位，所得的
和999各位上的数字的和9＋9＋9= 27；546＋435=981，两个加数的数字和是27，加的过
程个位上满10向十位进1，有一次 进位，所得的和981各位上的数字和9＋8＋1=18，比
没有进位时，和的数字和少9；再计算54 6＋534，两个加数各位上的数字的和也是27，
546＋534=1080，加的过程中，个位和百 位分别都满10，各向前一位进1，有两次进位，
所得的和1080各位上的数字的和1＋0＋8＋0= 9，比没有进位时少了18，即少了2个9。
由此我们可以得到这样的规律：计算加法，没有进位时，加 得的和的数字和等于加数的数
字和；有进位时，每进位一次，加得的和的数字和就减少1个9。

同样，我们也可以归纳出减法中数字和的变化规律：计算减法，没有退位时，减得的
差的数字和 等于被减数的数字和减去减数的数字和的差；有退位时，每退位一次，减得的
差的数字和就增加1个9。

下面，我们用上面的规律来解答几个问题。

例1：有A、B两个整数，A 的各位数字的和是35，B的各位数字的和是29，如果A
和B相加时有三次进位，那么把A＋B所得的 和的各位数字相加，和是多少？



解：如果相加时没有进位，A＋B所得 的和的各位数字相加的和，等于A和B两个加
数数字和相加的和。35＋29=64，相加时，每进位一 次，得数的数字和减少1个9，现有三
次进位，得数的数字和减少3个9，所以A＋B所得的和的各位数 字相加，和是64－
27=37。

答：A＋B的和的数字和是37。
例2：整数A减整数B有两次退位，减得的差的数字和是13，已知A的各位数字的和
是8，B的各 位数字和是多少？

解：A的各位数字的和是8，A减B的差的数字和却是13，这有可能吗？ 如果连同退
位使差的数字和增加这一因素考虑在内，这个结果是很正常的。A减B有两次退位，使减得的差比不退位时增加2×9=18，也可以

看作是13由被减数A的数字和8增加了1 8减去B的数字和得到的。所以B的各位数字的
和是8＋18－13=13。

答：B的各位数字的和是13。

例3：整数A的各位数字的和是24，整数B的各位 数字的和是22，而A＋B的和的各
位数字的和是10，在加的过程中有多少次进位？

解：如果A＋B在计算中没有进位，所得的和的各位数字的和是24＋22=46，现在A＋
B的和的 各位数字的和是10，比不进位时减少了46－10=36，36里面包含9的个数是36÷
9=4，所 以加的过程中有4次进位。

答：在加的过程中有4次进位。

例4：甲数和 乙数的数字和都能被7整除，甲数加乙数，得数的数字和是3，甲数减
乙数，差最小是几？
< br>解：甲数和乙数的数字和都能被7整除，相加时如果没有进位，所得的和的数字和也
能被7整除， 现已知甲数加乙数得数的数字和是3，不能被7整除，因此，甲数加乙数必
定有若干次进位，3至少加上 2个9，得到3＋2×9=21，能被7整除，而21=7＋14，即甲


数和乙数 的数字和一个是7，一个是14，并且甲数加乙数有两位进位。当甲数是61，乙数
是59时，甲数减乙 数的差为61－59=2，这是最小的差。

答：差最小是2。

例5：1~1000这1000个自然数所有数字的和是多少？

解：1~1000这 1000个自然数所有数字的和比1~1000这1000个数的和小得多，这是
因为把1~1000这 1000个数相加时，有多次进位，每进位1次，比不进位时数字和都减少
9，把加得的和按数字和计算 的进位次数减去9的个数，才得到所有数字的和，但这样计
算太繁了。

为了简便地计 算这1000个数所有数字的和，可以把这1000个数按以下的方法分组，
使每一组相加时都不进位， 然后算出每组和的数字和，再求出各组数字和的总和，就是
1000个数所有数字的和。

1234…499

1996995…500

1999999…999——各组数的和

… 999——各个和的数字和

这样算得1000个数所有数字的和是1＋27×500=13501。

答：所有数字的和是13501。

*例6：两个四位数相加，第一个四位数的每个数 字都不小于5，第二个四位数仅仅是
第一个四位数的数字调换了位置。某同学做出的答案是16246。 试问该同学的答数正确
吗？如果正确，写出这两个四位数，如果不正确，请说明理由。

解：在对这一题思考时，如果试图按题中的条件找出四位数拼出加法算式，要找出很
多的四位数，进行 许多的尝试，而且不能进行严密的推理，因此这不是可取的方法。

比较好的做法是，先按规律 说明是否可能按题目的条件做出这个答数，有可能时，才
拼算式，如果不可能，这个答数就是错的。


由于第一个四位数的每个数字都不小于5，不管把这四个数字怎样调换组成 第二个四
位数，第二个四位数的每个数字也都不小于5，两个数相加，四个数位上都要进位，共有
四次进位，而两个四位数数字的和是第一个四位数数字和的2倍，是偶数，四次进位使和
的数字和比原 来八个数字的和减少4个9，所得的和的数字和仍然是偶数，而该同学的答
数16246的数字的和1＋ 6＋2＋4＋6=19，是个奇数，所以这个答数是错的。

应用练习二

1 ．有A、B两个整数，A的各位上的数字的和是31，B的各位上的数字的和是19，A
和B相加，得数 的各位上的数字的和是32，相加时有几次进位？

2．A的各位上的数字的和是4，A减去一 个两位数，差的各位上的数字的和是24，减
数最大是几？

3．甲数和乙数的数字和 都是17的倍数，甲数减乙数，差的数字和是10，甲数最小
是几？

4．甲数和乙数 的和是753，两个数的数字和都是11的倍数，两个数中较大的一个最
大是几？

5．1~10000这10000个自然数所有数字的和是多少？

6．一个三位数， 它的各位上的数字的和能被8整除，这个三位数加1得到的数各位
上的数字的和也能被8整除，在所有满 足条件的三位数中，最大的一个是几？

*7．的差是一个自然数的平方，这个自然数的各位数字的和是几？

*8．的积的各位数字的和是几？

课后练习二

1．甲数各位数字 之和是28，乙数各位数字之和是18，甲、乙两数相加时有三次进
位，那么甲、乙两数之和的各位数字 之和是多少？



2．甲数各位数字之和是9，乙数各位数字之和是10， 如果甲数减乙数有两次要从前
一位退1再减。那么甲、乙两数之差的各位数字之和是多少？
< br>3．698加一个数，得数各位上的数字的和是8，已知加上的数各位上的数字的和是
12，那么 加上的这个数最小是几？

4．一个五位数，各位上的数字的和是27，这个数加上5，得数的 各位上的数字的和
是5，这个数最小是多少，最大是多少？

5．两个自然数的差是4 1，被减数各位数字的和与减数各位数字的和都能被13整
除，被减数最小是几？