饮马江湖五年级数学 奥数精品讲义1-34讲

2020年12月23日发(作者：褚圣麟)

五年级数学 奥数精品讲义1-34讲

第一讲 消去问题（ 一）
第二讲 消去问题（ 二）
第三讲 一般应用题
第四讲 盈亏问题（ 一）
第五讲 盈亏问题（ 二）
第六讲 流水问题
第七讲 等差数列
第八讲 找规律
能力测试（ 一）
第九讲 加法原理
第十讲 乘法法原理
第十一讲 周期问题（一）
第十二讲 周期问题（二）
第十三讲 巧算（一）
第十四讲 巧算（二）
第十五讲 数阵问题（一）
第十六讲 数阵问题（二）
能力测试 （二）
第十七讲 平面图形的计算（一）
第十八讲 平面图形的计算（二）
第十九讲 列方程解应用题（一）
第二十讲 列方程解应用题（二）
第二十一讲 行程问题（一）
第二十二讲 行程问题（二）
第二十三讲 行程问题（三）
第二十四讲 行程问题（四）
能力测试（三）
第二十五讲 平均数问题（一）
第二十六讲 平均数问题（二）
第二十七讲 长方体和正方体（一）
第二十八讲 长方体和正方体（二）
第二十九讲 数的整除特征
第三十讲 奇偶性问题
第三十一讲 最大公约数和最小公倍数
第三十二讲 分解质因数（一）
第三十三讲 分解质因数（二）
第三十四讲 牛顿问题
能力测试（四）



第一讲 消去问题（一）
在有些应用题里；给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系；要求出这些未知数的数量.我们在解题时；可以通过比较条件；分析对应的未知数量变化的情况；想办法消去其中的一个未知量；从而把一道数量关系较 复
杂的题目变成比较简单的题目解答出来.这样的解题方法；我们通常把它叫做“消去法”.
例题与方法
在学习例题前；我们先进行一些基本数量关系的练习；为用消去法解题作好准备.

1 20

(1)买1个皮球和1个足球共用去40元；买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？

(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克；1袋大米和1袋面粉共重多少千克？

（3）6行桃树和6行梨树一共120棵；照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？

（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯；一共用去172元；每个水瓶18元；每个茶杯多少元？

例1 学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯；共用去134元；第二次又买了同样的3个水 瓶和16个差杯；共
用去118元.水瓶和茶杯的单价各是多少元？


例2 买3个篮球和5个足球共、用去480元；买同样的6个篮球和3个足球共用去519元.篮球和 足球的单
价各是多少元？
练习与思考

１、 1袋黄豆和1袋绿豆共重50千克；同样的7袋黄豆和7袋绿豆共重（ ）千克.

２、买5条毛巾和5条枕巾共用去90元；买1条毛巾和1条枕巾要（ ）元.
３、买4本字典和4本笔记本共、用去了68元；买同样的9本字典和9本笔记本一共要（ ）元.

４、9筐苹果和9筐梨共重495千克；找这样计算；2筐苹果和2筐梨共重（ ）千克.

５、妈妈买了５米画布和３米白布；一共用去１０２元.花布每米１５元；白布每米多少元？

６、果园里有１４行桃树和２０行梨树；桃树和梨树一共有４４０棵.每行梨树１５棵；每行 桃树多少棵？

８、食堂第一次运来６袋大米和４袋面粉；一共重400千克；第二次又运来 9袋大米和4袋面粉；一共重550
千克.每袋大米和每袋面粉各重多少千克？

9 、3豹味精和7包糖共重3800克；同样的3包味精和14包糖共重7300克.每包味精和每包糖各重多少克 ？
10、育新小学买了8个足球和12个篮球；一共用去了984元；青山小学买了同样的16个足球 和10个篮球；
一共用去1240元.每个足球和每个篮球各多少元？

11、买15张桌子和25把椅子共用去3050元；买同样的 5张桌子和20张椅子；需要1600元.买一张桌子和
一把椅子需要多少元？

2 20


12、3头牛和6只羊一天共吃草93千克；6头牛和5只羊一天共吃草1 30千克.每头牛每天比每只羊多吃多少
千克？

第二讲 消去问题（二）
例1、
的重量.
3..三头牛和8只羊每天共吃青草93千克；5头牛和15只羊 每天吃青草165千克.一头牛和一只羊每天各吃
青草多少千克？



练习与思考
1.


2. 5盒铅笔和9盒钢笔共190支；同样的2盒铅笔和6盒钢笔共100支.3盒铅笔和3盒钢笔共（ ）支；
3个皮球和5个足球共245元；同样的6个皮和10个足球共（ ）元.
7袋大米 和3袋面粉共重425千克同样的3袋大米和7袋面粉共重325千克.求每袋大米和每袋面粉
1盒铅笔 和1支钢笔共（ ）支.


3. 育才小学体育组第一次买了4个篮球和3个排 球；共用去了141元；第二次买了5个篮球和4个排球；
共用去180元.每个篮球和每个排球各多少 元？


4. 3筐苹果和5筐梨共重138千克；5筐同样的苹果和3筐同样的共 重134千克.；每筐苹果和每筐梨各重
多少千克？

5. 某食堂第一次运进大米 5袋；面粉7袋；共重1350千克；第二次运进大米3袋；面粉5袋；共重850
千克.一袋大米和一 袋面粉各重多少千克？


6.

7. 2千克水果糖和5千克 饼干共64元；同样的3千克水果糖和4千克饼干共68元.每千克水果糖和每千克
3件上衣和7条裤子 共430元；同样的7件上衣和3条裤子共470元.每件上衣和每条棵子各多少元？
饼干各多少元？

3 20



8.
本？

9.

10. 甲有5盒糖；乙有4盒糕共值44元.如果甲、乙两人对换一盒；则 每人所有物品的价值相等.一盒糖、
一盒糕各值多少元？
3个水瓶和8个茶杯共92元；5个水瓶和6个茶杯共102元.每个水瓶和每个茶杯各多少元？ 5包科技书和7包故事书共620本；6包科技书和3包故事书共420本.每包科技书比每包故事书少多少

第三讲 一般应用题
在小学里；通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题|”两大类.“典型应用题”
有基本的数 量关系、解题模式；较复杂的问题可以通过“转化”；向基本的问题靠拢.我们已经学过的“和差问题”、
和“倍差问题”等等；都是“典型应用题”.“一般应用题|”没有各顶的数量关系；也没有可以以来的 解题 模
式.解题时要具体问题具体分析；在认真审题；理解题意的基础上；理清一知条件与所求问题之间的数 量关系；
从而确定解题的方法.对于比较复杂的问题；可以借助线段图、示意图、直观演示等手段帮助分 析.
例题与方法
例 1、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分；鱼尾重4千克；鱼头的 重量等于鱼尾的重量加身一般的重
量；而鱼身体、的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量.这条鱼重多少 千克？

例2、一所小学的五年级有四个班；其中五（1）班和五（2）班共有81人；五 （2）班和五（3）班共有83人五
（3）班和五（4）班共有86人；五（1）班比五（4）班多2人 .这所学校五年级四个班各有多少人？


例 3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼；甲 钓了5条；乙钓了3条；吃鱼时；来了一位客人和甲、乙平均分吃这
条鱼.吃完后来客付了8角钱作为餐 费.问：甲、乙两为渔夫各应得这8角钱中的几角？


例 4、一个工地用两台挖 土机挖土；小挖土机工作6小时；大挖土机工作8小时；一共挖土312方.已知小挖
土机5小时的挖土 量等于大挖土机2小时的完土量；两种挖土机每小时各挖土多少方？
例 5、甲、乙、丙三人用同样多 的钱合买西瓜.分西瓜时；甲和丙都比乙多拿西瓜7.5千克.结果甲和丙各给
乙1.5元钱.每千克西 瓜多少元|？
例 6、小红有 一个储蓄筒；存放的都是硬币；其中2分币比5分币多22个.而按钱 数算；5分币比2分币多
4角.已知这些硬币中有36个1分币.问：小红的储蓄筒里 共存了多少钱？
练习与思考

4 20

（第1～4题13分；其余每题12分；共100分.）
1. 有一段木头；不知它的长度. 用一根绳子俩量它；绳子多15米；如果将绳子对折以后再来量；又不够04
米.问：这段绳子长多少米 ？


2. 甲、乙两人拿出同样多的钱合买一段花布；原约定各拿花布同样多.结 果甲拿了6米；乙拿了14米.这
样；乙就要给甲12元钱.每米花布的单价是多少元？


3. 甲、乙丙合三人各出同样多的钱合买苹果若干千克.分苹果时；甲和丙都比乙多拿7. 8千克苹果；这样
甲和丙各应给乙6元钱.每千克苹果多少钱？


4.



5. 某校六年级有甲、乙、丙丁四个班；不算甲班；期于三个班的总 人数是131人；不算丁班；期于三个班
学校买了2张桌子和5把椅子；共付了330元 .每张桌子的价钱是每把椅子的3倍.每张桌子多少元？
的总人数是134人.已知乙、丙两个班的总 人数比甲、丁两个班的总人数少1人；甲、乙丙、丁四个班共有多少
人？


6. 李大伯买了15千克特制面粉和35千克大米；共用去31.2元.已知1千克特特制面粉的价格 是1千克大
米的 2倍.李大伯买特制面粉和大米各用去多少元？


7. 14千克大豆的价钱与8千克花生的价钱相等；已知1千克花生比1千克大豆贵12元；大豆和花生的单
价各是多少元？


8. 某车间按计划每天应加工50个零件；实际每天加工56 个零件.这样；不仅提前3天完成原计划加工凌
驾的任务；而求多加工了120个零件.这个车间实际加 工了多少个零件？

9.

用8千克丝可以织6分米宽的绸4米；现在有10千克的丝；要织75分米宽的绸；可以织几米？|
第四讲 盈亏问题（一）

5 20

盈亏问题又叫盈 不足问题；是指把一定数量的物品平均分给固定的对象；如果按某种标准分；则分配后会
有剩余（盈）； 按另一种标准分；又会不足（亏）；求物品的数量和分配对象的数量.例如：
小朋友分苹果；如果每人分2个；就多余16个；如果每人分5个；
就缺少14个.小朋友有多少个？苹果有多少个？
比较两次分的结果；第一次余16个；第 二次少14个；两次相差1+14=30（个）.这是因为第二次比第
一次每人多分了5-2=3（个） 苹果.相差30个；就说明有30÷3=10（个）小朋友.请小读者自己算出苹果的
个数.

例题与方法
例1、将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友；如果每人分3 粒；就会余下糖果1 7粒；如果每人分5粒；就
会缺少糖果13粒.问：幼儿园下班有多少个小朋友|这些糖果共有多少粒？

例 2、学生搬一批砖；每人搬4块；其中5人要搬两次；如果么人搬5块；就有两人没有砖 可搬.搬砖的学生
有多少人？这批砖共有多少块？

例3某校在植树活动中；把一批 树苗分给各班；如果每班分18棵；就会有余下24棵；如果每班分20棵；正
好分完.这个学校有多少 个班？这批树苗共有多少棵？

练习与思考
1.
2.
糖果？
3. 在桥上测量桥高.把绳长对折后垂到水面；还余4米；把绳长3折后垂到水面；还余1米.桥高多 少米？
小朋友分糖果若每人分4粒则多9粒；若每人呢分5粒则少6粒.问：有多少小朋友？有多少粒糖 果？
小朋友分糖果；每人分10粒正好分完；若每人呢分16粒；则有3个小朋友分不到糖果.问：有 多少粒
绳长多少米？
4. 某校安排新生宿舍；如果每间住12人；就会有34人没有宿舍住 ；如果每间住14人就会有空出4间宿
舍.这个学校有多少间？要安排多少个新生？
5. 在 依次大扫除中；有一些同学被分配擦玻璃；他们当中如果有2人擦4块；其余的人各擦5块；就会多
下1 2块玻璃没有人擦；如果么人擦6块；刚好擦完.擦玻璃的同学有多少人？玻璃共有多少块？
6.
7.
有一个数；减去3所的差的4倍；等于它的2倍加上36.这个数是多少？
体 育老师和一个朋友一起上街买足球.他发现自己身边的钱；如果买10个“冠军”牌足球；还差42元；
后来他向朋友借了1000元；买了31个“冠军”牌足球；结果多了13元.体育老师原来身边带了多少元？
8. 某小学生乘汽车去春游；如果每辆车坐65人；就会有15人不能乘车；如果每辆车多坐5人恰好 多余了
一辆车.一共有多少辆汽车？有多少个学生？

第五讲 盈亏问题（二）

6 20

上一讲；我们讲了盈亏问题的一般情形；也就是在量词 分配中恰好洋盈（多余）；一次亏（不足）.事实上；
在许多问题里；也会出现两次都是盈（多余）；或 者两次都是亏（不足）的情况.
例 1、学校将一批铅笔奖给三好学生；每人9支缺15支；每人7支 就缺7支.问：三好学生有多少人；铅笔
有多少支？
例2、某小学的部分同学外出参观；如果 每辆车坐55人就会余下30个座位；如果每辆车坐50人；就还可以
坐10人.有多少辆车？去参观的 学生多少人？
例3、学校规定上午8时到校.王强上学去；如果每分钟走60米；可以提早10分钟到 校；如果每分钟作呕50
米可以提早8分钟到校.问：王强什么时候离开家？他家离学校多远？
练习与思考
（第1～4题13分；其余每题12分；共100分.）
1. 同学们 打羽毛球；每两人一组.每组分6个羽毛球；少10个球；每组分4个羽毛球；少2个球.问：共、
有多 少个同学打球？有多少个羽毛球？
2.
少支？
3. 某小学的部分学生去春游； 如果每辆车坐50人；就会余下30个座位；如果每辆车坐40个人；还可以
学校将一批钢笔奖给三好学 生；每人8支缺11支；每人7支缺7支.问：三好学生有多少人？钢笔有多
坐10人.问有多少辆车？ 去春游的学生多少人？
4.
5.
一筐苹果分给一个小组；每人5个剩16个；每人7个缺12个.这个小组有多少人？共有多少苹果？
一些学生分练习本.其中两人每人分6本；其余每人分4本；就会多4本；如果有一人分10本；其余每
人分6本；就会少18本.学生有多少人？练习本多少本？
6. 一个学生从家到学校；先用每分50米的 速度走了2分；如果这样走下去；他会迟到8分；后来他改用
每分60米的速度前进；结果早到学校5分.这个学生家到学校的路程是多少米？
7. 筑路对计划每 天筑路720米；实际每天比原计划多筑802米；这样；在规定完成任务时间的前3天；就
只剩下11 60米未筑.这条路多长？
8. 老师给幼儿园小朋友分苹果.每2人3个苹果；多2个苹果；每3人 5个苹果；少4个苹果.问：有多少
小朋友？多少苹果？

第六讲 流水问题
想一想：从南京长江逆流而上去长江三峡；与从长江三峡顺水而下回南京；哪个花的时间少？哪个花 的时
间多？为什么？
原因很简单.在长江行船与在一个平静的湖这行船是不一样的；因为 长江的水是一直从西向东（也就是从上
游向下游）流着的；船的速度会受到江水的影响.而在平静的湖水 中行船时；船的速度不会受到水流的影响.考虑
船在水流速度的情况下行驶的问题；就是我们这一讲要讲 的流水问题.
船在顺水航行时（比方说；从长江三峡顺流而下到南京）；船一方面按照自己本身的速度 即船速（船在静水中
行驶的速度）行驶；同时整个水面又按照水的流动速度在前进；水推动着船向前；所 以；船顺水时的航行速度应
该等于船本身的速度与水流速度的和.也就是

7 20

顺水速度=船速+水速
比方说；船在静水中行驶10千米；水流速 度是每小时5千米；那么；船顺水航行的速度就是每小时10+5=15
（千米）.
同学 们可以想一想；上面的问题中；如果是问“船逆水航行的速度是多少？”答案又该怎么样呢？船逆水
行驶 ；情况恰好相反.本来船每小时行驶10千米；但由于水每小时又把它往回推了5千米；结果船每小时只向上游行驶了10—5=5（千米）.
也就是船在逆水中的速度等于船速度与水速之差.即
逆水速度=船速—水速
例1、 一艘每小时行驶30千米的客轮；在一河水中顺水航行165 千米；水速每小时3千米.问：这艘客轮
需要航行多少小时？
例2、 一艘船顺水行320千 米需要8小时；水流速度是每小时15千米；这艘船逆水每小时行多少千米？
这艘船逆水行这段路程；需 要多少小时？
例3、 甲船逆水航行360千米需要18小时；返回原地需要10小时；乙船逆水航行 同样的异端水路需要15
小时；返回原地需要多少小时？

练习与思考

1. 一只小船以每小时30千米的速度在176千米长的河中逆水而行；用了211小时.这只小船返 回原处需要
用多少小时？
2. 船在静水中的速度是每小时25千米；河水流速位每小时5千 米；一只船往返甲、乙两港共花了9小时；
两港相距多少千米？
3. 两地距280千米；一 艘轮船在期间航行；顺流用去14小时；逆流用去20小时.求这艘轮船在静水中的
速度和水流的速度.
4. 一架飞机所带的燃料；最多可以用6小时；飞机去是顺风；每小时可以飞1500千米；飞回时逆 风；每
小时可以飞1200千米.这架飞机最多飞出多少千米；就需要往回飞？
5. 乙船顺 水航行2小时；行了120千米；返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路；用了3小时.甲
船返 回原地比去时多用多少小时？



第七讲 等差数列
（1）1；2；3；4；5；6；7；8；…
（2）2；4；6；8；10；12；14；16；…
（3）1；4；9；16；25；36；49；…
上面三组数都是数列.

8 20

数列中称为项；第一个数叫第一项；又叫首项；第二个数叫第二项…… 以此类推；最后一个数叫做这个数列
的末项.项的个数叫做项数.
一个数列中；如果从第 二项起；每一项与它前面一项的差都相等；这样的数列叫等差数列.后项与前项的差
叫做这个等差数列的 公差.
如等差数列：4；7；10；13；16；19；22；25；28.首项是4；末项是28； 共差是3.
这一讲我们学习有关等差数列的知识.
例题与方法
例1、
例2、
在等差数列1；5；9；13；17；…；401中401是第几项？
10 0个小朋友排成一排报数；每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3；小明站在第一个位
置；小宏 站在最后一个位置.已知小宏报的数是300；小明报的数是几？
例3、 有一堆粗细均匀的圆木；堆 成梯形；最上面的一层有5根圆木；每向下一层增加一根；一共堆了28
层.最下面一层有多少根？
例4、
例5、
例6、
1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=？
求100以内所有被5除余10的自然数的和.
小王和小胡两个人赛跑；限定时间为10秒； 谁跑的距离长谁就获胜.小王第一秒跑1米；以后每秒
都比以前一秒多跑0.1米；小胡自始至终每秒跑 1.5米；谁能取胜？
练习与思考
（每题10分；共100分.）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
数列4；7；10；……295；298中298是第几项？
蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米；第10小时蜗牛爬了1.9米；第一小时蜗牛爬多少米？
在树立俄；10；13；16；…中；907是第几个数？第907个数是多少？
求自然数中所有三位数的和.
求所有除以4余1的两位数的和.
0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+0 11+0 13+0 15+…0 99的和是多少？
梯子最高一级宽32厘米；最底一级宽110厘米；中间还有6级；各级的宽度成等 差数列；中间一级宽
多少厘米？
8.
9.
有12个数组成等差数列；第六项与第七项的和是12；求这12个数的和.
一个物体从高空 落下；已知第一秒下落距离是4.9米；以后每秒落下的距离是都比前一秒多9.8米50
秒后物体落地 .求物体最初距地面的高度.
10. 求下面数字方阵中所有数的和.
1；2；3；…；98；99；100
2；3；4；…99；100；101
3；4；5；…；100；101；102
……
100,101,102, …197,198,199


9 20

第八讲 找规律
你能找出下面各数列暴烈的规律吗？请在括号内填上合适的数》
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
8；15；22；（ ）；36；…；
17；1；15；1；13；1；（ ）；（ ）；9；1；…；
45；1；43；3；41；5；（ ）； （ ）；37；9；…；
1；2；4；8；16；（ ）；64；…；
10；20；21；42；43；（ ）；（ ）；174；175；…；
1；2；3；5；8；13；21；（ ）；55.
例1. 1；2；3；2；3；4；3；4；5；4；5；6；6；7；…从第一个数算起；前100个数的和是多少？
.
练习与思考
（第1题30分；其余每题10分；共100分.）
（1）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
找规律；在括号内填上合适的数.
1,3,9,27,( ),243;
2,7,12,17,22,( ),( ),37;
1,3,2,4,3,( ),4;
0,3,8,15,24,( ) ,.48;
6,3,8,5,10,7,12,9,( ),11;
2,3,5,( ),( ),17,23;
81,64,（ ）；36；（ ）；16；9；4；1；
21；26；19；24；（ ）；（ ）；15；20；
1；8；9；17；26；（ ）；69；
（10） 4；11；18；25；（ ）；39；46；
2. 一串数按下面规律排列：
1；3；5；2；4；6；3；5；7；4；6；8；5；7；9；…
从第一个数算起；前100个数的和是多少？
3. 有一串黑白相间的珠子（如下图）；第100个黑珠前面一共有多少个白珠？

4.
5.
6.

在平面中任意作100条直线；这些直线最多能形成多少个交点？
在平面中任意作20条直线；这些直线最多可把这个平面分成多少个部分？

序号 1 2 3 4

10 20
5
算式
序号
算式
1+1
6
3+11
2+3
7
1+13
3+5
8
2+15

1+7
9
3+17
2+9
…
…
根据上面的规律；第40个序号的算式是什么？算式‘1+103“的序号上多少？
7. 小正方形的边长是1厘米；依次作出下面这些图形.

已知第一幅图的周长是10厘米.
（1）36个正方形组成的图形的周长是多少厘米？
（2）周长是70厘米的图形；由多少个正方形组成？
已知第一幅图的周长是10厘米.
（1）
（2）
8
36个正方形组成的图形的周厂是多少厘米？

周长是70厘米的图形；由多少个正方形组成？
在方格纸上画折线（如本讲例4图 ）；小方格的边长是1；图中的1；2；3；4；…分别表示折线扩大第1；
2；3；4；…段.求折线 中第100段的长度.长度是30的是第几段？
能力测试（一）
一、 填空题（每空3分；工39分）.
1. 在下面的括号里按照规律填上适当的数字.
1；2；3；4；8；16；（ ）；64；128.
5；10；15；20；25；（ ）；35；40.
4；7；10；13；16；（ ）；22；25.
1；1；2；3；5；8；13；21；（ ）
1024；512；256；（ ）；64；32；16；8；4.
2；5；11；20；32；（ ）；65；86.
1；3；2；4；3；5；（ ）；6；5.
1；4；9；16；25；（ ）；49；64.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
1.
2.
3.
9个人9天共读书1620页；平均1个人1天共读书（ ）页；照这样计算；5个同学5天读书（ ）页.
如果平均1个同学1天植树（ ）棵；那么；3个同学4天共植树120棵.
买3只足球和9只篮球共用了570元；买9只足球和27只篮球要用（ ）元.
二、 计算题（每小题5分；共10分）.
1.
2.
2+4+6+8+10+ … +22+24+26
1+2+3+4+5+6+ … +1996+1997+1998
三、 应用题（第1～4题10其余每题10分；第5题11分；共51分）.
1. 李老师将一叠练习本分给第一组的同学；如果每人分7本；还多7本.如果每人分9；那么有一个同学译

11 20

本也分不到.第一组有多少同学？这叠练习本一共有多少本？
2. 一只小船在河中逆流航行176千米；用了11小时.一知水流速度是每小时4千米；这只小船返 回原处要
用多少小时？
3. 4只篮球和8只足球共买560元；6只篮球和3只足球共买390元.问：一只篮球和一只足球各买多少元？
4. 有10元钞票与5元钞票共128张；其中10元比5元多260元.两种面额的钞票各是多少张？
5. 下面是一种特殊数列的求和方法.
要求数列2；4；8；16；32；64；… ；1024；2048的和；方法如下：
S = 2+4+8+16+32+64+ … +1024+20482
2S = 4+8+16+32+64+ … +1024+2048+4096
用下面的式子减去上面的式子；就得到
S =4096 – 2 = 4094
即数列2；4；8；16；32；64；… ；1024；2048的和是4094.
仔细阅读上面的求和方法；然后利用这种方法求下面数列的和.
1；3；9；27；81；243；…；177147；531441.

第九讲 加法原理
在日常生活与实践中；我们经常会遇到分组、计数的问题.解答这一类问题；我们通常运 用加法与那里
与乘法原理这两个基本的计数原理.熟练掌握这两个原理；不仅可以顺利解答这类问题；而 求可以为今后升入
中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础.
什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题：
从南京到上海；可以乘火车；也可以乘汽车、轮 船或者飞机.假如一天中南京到上海有4班火车、6班
汽车；3班轮船、2班飞机.那么一天中乘做这些 交通工具从南京到上海共有多少种不同的走法？
我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称 为不同的走法；那么从南京到上海；乘火车有4种
走法；乘汽车有6种走法；乘轮船有3种走法；乘坐飞 机有2种走法.因为每一种走法都可以从南京到上海；
因此；一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法.
我们说；如果完成某一种工作可以有分类方法；一类方法中又有若 干种不同的方法；那么完成这件任
务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和.即N = m
1
+ m
2
+ … + m
n
(N代表完成一件工作的方法
的总和；m
1
,m
2
, … m
n
表示每一类完成工作的方法的种数).这个规律就乘做加法原理.

例1 书架上有10本故事书；3本历史书；12本科普读物.志远任意从书架上取一本书；有多少种不 同
的取法？

例2一列火车从上上海到南京；中途要经过6个站；这列火车要准备多少中不同的车票？

例3在4 x 4的方格图中（如下图）；共有多少个正方形？

12 20






例4 妈妈；爸爸；和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？
练习与思考
1.














从甲城到乙城；可乘汽车；火车或飞机.已知一天中汽车有2班；火车有4班；甲城到乙城共有（ ）

种不同的走法.
2.
一列火车从上海开往杭州；中途要经过4个站；沿途应为这

列火车准备____种不同的车票.
3.下面图形中共有____个正方形.


4.
5.
图中共有_____个角.

书架上共有７种不同的的故事书；中层６本不同的科技 书；下层有４钟不同的历史书.如果从书架
上任取一本书；有____种不同的取法.
6.
条直线.
7. 图中共有_____个三角形.
平面上有８个点（其中没有任何三 个点在一条直线上）；经过每两个点画一条直线；共可以画_____

8.
9.

图中共有____个正方形． < br>从2；3；5；7；11；13；这六个数中；每次取出两个数分别作为一个分数的分子和分母；一共可< br>以组成_____个真分数．
10. 某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站（包括Ａ站和Ｆ站）铁路局要为在Ａ站到F站之间运行的

13 20

火车准备_____种不同的车票；其中票价不相同的火车票有_____种.
第十讲 乘法原理
上一讲我们学习了用“加法原理”计数；这一讲我们学习“乘法原理”.什么是乘法原理 呢？我们来
看这样一个问题：
从甲地到乙地有3条不同的道路；从乙地到丙地有4条不同 的道路.从甲地经过乙地到丙地；共有多
少种走法？
我们这样思考：从甲地到乙地的3条 道路中任意选一条都可以从甲地到乙地；再从乙地大丙地的4条
道路中任意选一条都可以从乙地到丙地； 那么；从甲地到乙地的3条道地第一条到达乙地后；可以走从乙
地到丙地的任意一条路；这样就有了4种 不同的走法.从甲地到乙地的第二条、第三条路到达乙地后；仍可
以从乙地到丙地的4条路中任选一条到 丙地；如图所示：

从图中可以看出；从甲地到丙地共有3 X 4 =12（种）走法. 如果完成一件事情需要几个步；完成第一
步有m
1
种不同的方法；完成第二步有m
2
种不同的方法；…那么；完成这件工作共有N = m
1
x m
2
x m
3
x … x
m
n
种不同的方法.这就是乘法原理.
例1 书架上有4本故事书；7 本科普书；志远从书架上任取一本故事书和一本科普书；共有多少种不同
的取法？
例2 从2 、3、5、7、11这五个数字中每次取出2个数字；分别作为一个分数的分子和分母；一共可以
组从多 少个分数？其中有多少个真分数？
例3 用9、8、7、6这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些位数的和是多少？
例4 如图；A、B 、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种染色.若要求相邻的区域
染 不同的颜色；问：共有多少种不同的染色方法？



例5 如图；小明家到学校有3条东西向的马路和5条南北向 的马路.他每天步行从家到学校（只能向

14 20
A
B C D

东或向南走）；最多有多少种不同的走法？

小明家



学校
练习与思考
1.从甲地到乙地有两条河；从乙地到丙地有3条路可走；从甲地经乙地到丙地共有 种走法.
2.书架的上、中、下层各有3本、5本、、4本故事书.若要从每层书架上任取一个本书；共有 种不
同的取法.
3.有1；2；3；三数字；一共可以组成 个没有重复数字的三位数.
4.两个班级进行乒乓球比赛；每班选3人；每人都要和对方的每个选手赛一场；一共要赛 场.
5.从5；7；11；13这四个数中每次取2个数组成分数；一共可以组成 个分数；其中真分数有 个.
6.图中一共有 个不同的长方形.

















7.一个口袋里装有5个小球；另.一个口袋里装有4个小球.这些小球的颜色互不相同.
（1） 从两个口袋里任意取一个小球；有 种不同的取法.
（2）从两个口袋内各取一个小球；有 种不同的取法.
8.某信号兵用红、黄、蓝 三面棋从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号.每次可挂一面、二面或三面；
并且不同的顺序、不同的 位置表示不同的信号.一共可以表示 种不同的信号.
9.用0到9这十个数字可以组成 个没有重复数字的三位数.

第十一讲 周期问题（一）
世间万物；千奇百 怪；运动变化；千姿百态.可这貌似“杂乱无章”的世界却受到各式各样的规律支
配着.在这些规律中； 有一种最常见的规律就是从形形色色的周期现象中提炼出来的规律.
如果某一事物的变化具有周期 性；那么；该事物在经历一段变化后；又会呈现原俩的状态.我们把事
物所经历的这一段；叫该事物变化 的周期.例如；在自然数列中；各位数字变化的周期是10；星期日出现的
周期是7（天）；用动物记年 的走器是12（年）等等.
在数学中；我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题.解答这类问题；要抓住一下几点：
1.
2.
找出规律；发现周期现象.
把要求的问题和某一周期的变化相对应；以求得问题解决.
例1 有249朵花；按5朵红花；9朵黄花；13朵绿花的顺序轮流排列；最后一朵是什么颜色的花？这

15 20

249朵花中；红花、黄花、绿花各有多少朵？
例2 1997年元旦是星期三；那么；同年12月1日是星期几？
例3 国庆节；路旁挂起了一盏盏彩灯； 小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏.那么；第80
盏灯应是什么颜色的？
例4 7
1998
表示1998个7连乘；它的结果末位上的数字是几？
例5 下面是一个11位数；每3个相邻数字之和都是17；你知道“？”表示的数字是几吗？
8

思考与练习
1. 把 17化成小数；请回答：
（1）小数点后面第80个数字是几？
（2）小数点后面前80个数字的和是多少？
2. 把181化成小数后；小数点后面100位数字之和是多少？
3. 今天是星期一；从明天开始第1800天是星期几？
4. 有同样大小的红珠、白珠、黑株共有160 个？按4个红株；3个白株；2个黑株的顺序排列着.黑株
共有几个？第101个株子是什么颜色？
5. 我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年 号.
如果1940年是龙年；那么；1996年是什么年？
6. 科学家进行一项试验；每隔 6小时做一次记录.第10次记录时；挂钟的时针恰好指向7；问：做第几
一次记录时；时针指向几？
7. 124表示15个124连乘；所得积的末位数字是几？
8. 下面是一个11位数； 每三个相邻数字之和都是15；你知道问好表示的数字是几吗？这个11位数水
多少？
8

？
15
？ 6

第十二讲 周期问题（二）
例1 有13名小朋友编成1到13号；他们呢依次围成月毫个 源泉做游戏.现在从1号开始；每数到第3
个人发一粒糖（每人只拿一次糖）.那么；最后一个拿到糖的 小朋友是几号？
例2 紧接着1998后面写一串数字；写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的各个位数.例如；9 X
8 =72 .在8 后面写1；8；X 2 = 16；在2后面写6；……得到一串数：19982 6……这串数字从1开始往
右数；第1998个数字是几？
例3 把自然数按下表规律排列后 ；可分成A、B、C、D、E五类；例如；3在C类；10在B类.那么985
在哪一行；哪一类？
A B C D E

16 20

1

9
0

2
8
1
1
…
3
7
1
2
… …
3
…

例4 把1至8个数码摆成一个圆圈《现在有一个小球；第一天从1号顺时针前进203个位置；第二天
再顺时针前进335个位置；第三天又顺时针前进203个位置；第四天再舒适镇前进335个位置；第 五天又
顺时针前进203个位置……试问：至少经过几天后；小球又回到1号位置？


例5 下表中；将每列上下两个汉字组成一组；例如；第一组为（学做）；第二组为（习接） .那么第649
组是什么？
学
做
习
接
好
班
学
人
习
做
好
接
学
班
习
人
好
做
…
…
例6 在一根长100厘
米的木棍上；自左至右每
隔６厘米染一个红点；同
… … …
1
4
6
1

5

时自右至左每隔５ 厘米也染一个红点；然后沿红点处将木棍逐段锯开.那么；长度是1厘米的短木棍有多少
根？



练习与思考
（第1～4题每题17分；其余每题16分；共100分.）
1. 有 a、b、c、d四条 直线（如图）；从直线a上开始；按箭头方向从1开始依次在a、b、c、d上写
自然数1；2；3；4 ；5；6；…

（1）
（2）
2
106在哪条线上？
直线a上第56个数是多少？
.在一列数2；9；8；2；…从第三个数起；每个数都是它前 面两个数成积的个位数.比如；第三个

17 20

数8；是前两个数的积 2 X 9 =18 的个位数字.这一列数的第180个数是几？


3.将奇数1；3；5；7；…依次排成五列（如图）；把最左边的一列叫做第一列；从左到 右依次将每列写
上数.1997出现在哪一列？
1

5
1
7

1
…

4.把16把椅子摆成一个圆 圈；依次编上1到16号.现在有一个人从第一号椅子顺时针前进213把椅子；
再逆时针前进285把 椅子；又顺时针前进213把椅子；再逆时针前进285把椅子；又顺时针前进12把椅子；
这时他到了 第几号椅子？

5.下表中每列上下两个汉字和字母组成一组；例如；第一组是（我A）；第二组是（们B）；…
我
A
们
B
爱
C
数
D
学
A
我
B
们
C
爱
D
数
A
学
B
我
C
…
…

9
3
9

1
1
2
7

3
1
3
2
3
2
5

2
5
1
1
2
7
1

9
（3）
（4）
第82组是什么？

（2） 如果（爱C）代表1978年；（数D）代表1979年；…那么；2000年将对应哪一组？

6 在一根长 80厘米的木棍上；自左至右每隔5厘米染上一个红点；同时自右至左每隔4厘米染上一
个红点；然后沿红点处将木棍逐段锯开；那么；长度是1厘米的短木棍有多少根？

第十三讲 巧算（一）
德国大教育家高斯（1777-1855）读小学的时候；有一天；老师出了这样一道题：
1+2+3+…+99+100的和是多少？
老师刚把这道题说完；小高斯已迅速、准确地说 出了答案5050；这令班上的同学吃惊不已.原来高斯是
用一种巧妙的方法算出这道题的.后来人们称 这种计算方法为“高斯原理”.
同学们一定想提高自己的计算能力；使自己计算时算得又快又巧.这一 讲；我们学习整数的巧算；也就
是根据数的 点；数的排列规律；巧妙地运用运算定律或性质；使计算简便.

18 20

例题与方法
例1．计算（1+3+3+…+1999）-（2+4+6+…+1998）


例2．计算99999×77778+33333×66666


例3．计算
654321×123456-654322×123455=654 321*123456-654321*123455-123455


例4．计算123456-123455

22

例5．9=3× 3；16=4×4；这里“9”和“16”都叫做“完全平方数”.在前300个自然数中；“完全平方
数”的和是多少？

练习与思考
1．计算1+2+3+…+199+200

2．计算100+99-98+97-96+…3-2+1

3．计算1961+1971+1981+1991+2001

4．计算1990-1985+1980-1975+…+20-15+10-5


5．计算999+99+9+9999+99999


6．计算33333×66666


7．计算9999×2222+3333×3334



19 20

8．计算1989×1999-1988×2000

9．计算1999+999×999


10．计算333333

2
11．已知数列1；4；7；10；…
（1）这列数的第21项是多少？

（2）118是这列数中的第几个数？

12．在前200个自然数中；去掉所有的“完全平方数”；剩下的自然数的和是多少？
13．计算2974×3026

14．计算20-19+18-17+…+2-1

222222

20 20