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无限猴子定理天字一号60题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-12-26 18:38
tags:天字

马尾造船厂-高考古诗文默写

2020年12月26日发(作者:崔建民)
(重在对题目的类型掌握,以及所发散出来的一些思维特征)


1. 在乘积1×2×3×4×............×698×699×700中,末尾只有( )个零。
A.172 B.174 C.176 D.179

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【天字一号解析】
此题我们现需要了解0是怎么形成的,情况只有1种,那就是5跟一个偶数 相乘就可以构成
一个0,但是还要注意25算几个5呢? 50算几个5呢? 125算几个5呢,具有几个5 主
要是看他能否被几个5的乘积整除,
例如
25=5×5
所以具有2个5,

50=2×5×5 也是2个5
125=5×5×5
具有3个5

方法一:
我们只要看 700个数字里面有多少个5的倍数
7005=140

还不行我们还要看有多少25的倍数
70025=28
还要看有多少125的倍数
700125=5
625的倍数: 700625=1
其实就是看 700里有多少的5^1,5^2,5^3,5^4……5^n
5^n必须小于700
所以答案就是 140+28+5+1=174

方法二:
原理是一样的,但是我们可以通过连除的方式不听的提取5的倍数直到商小于5
7005=140
1405=28
285=5
55=1
答案就是这些商的总和即174
140 是计算含1个5的但是里面的25的倍数只被算了一 次,所以我们还需要将140个5的
倍数再次挑出含5的数字,以此类推,就可以将所有含5的个数数清 !


2. 王先生在编一本书,其页数需要用6869个字,问这本书具体是多少页?
A.1999 B.9999 C.1994 D.1995
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【天字一号解析】
这个题目是计算有多少页。
首先要理解题目
这里的字是指数字个数,比如 123这个页码就有3个数字
我们通常有这样一种方法。
方法一:
1~9 是只有9个数字,
10~99 是 2×90=180个数字
100~999 是 3×900=2700个数字
那么我们看剩下的是多少
6869-9-180-2700=3980
剩下3980个数字都是4位数的个数
则四位数有 39804=995个
则这本书是 1000+995-1=1994页
为什么减去1
是因为四位数是从1000开始算的!

方法二:
我们可以假设这个页数是A页
那么我们知道,
每个页码都有个位数则有A个个位数,
每个页码出了1~9,其他都有十位数,则有A-9个十位数
同理: 有A-99个百位数,有A-999个千位数
则: A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869
4A-1110+3=6869
4A=7976
A=1994

3. 在一个两位数之间插入一个数字, 就变成一个三位数。例如:在72中间插入数字6,就
变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到 的三位数是原来两位数的9倍,求出所有这
样的两位数有多少个?
A、 4 B、5 C、3 D、6
――――――――――――――――――
【天字一号解析】
我们先进行简单的判断,首先什么数字个位数×9得到的数个位数还是原来的
乘法口诀稍微默念一下就知道是5×9
或者0×9 (个位数是0的2位数×9 百位数肯定不等于原来的十位数所以排除)
好我们假设这个2位数是 10m+5 ,m是十位上数字,我们在这个数字中间插入c 这个数

那么变成的三位数就是 100m+10c+5
根据关系建立等式:
100m+10c+5=9×(10m+5)
化简得到: 10m+10c=40
m+c=4
注意条件 m不等于0,
则有如下结果(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)四组,答案是选A


4. 有300张多米诺骨牌,从1——300编号,每次抽取偶数位置上的牌,问最后剩下 的一张
牌是多少号?
A、1 B、16 C、128 D、256
―――――――――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这 个题目本身并不难,但是一定要看清楚题目,题目是抽取偶数位置上的牌,1是奇数位置
上的,这个位置 从未发生变化,所以1始终不可能被拿走,即最后剩下的就是编号1的骨牌。

当然如果每次是拿走奇数位置上的,最后剩下的是编号几呢?
我们做一个试验,将1到100 按次序排开。每轮都拿掉奇数位置上的骨牌。我们发现,骨牌
数目基本上是呈现倍数缩小。同时我们有一 个更重要的发现,那就是什么样的数字才能确保
它的12仍然是偶数。这个自然我们知道是2^n,但是 当2^n=2时它的一半就是1,在接下
来的一轮中就会被拿走。因此我们发现每一轮操作2^n位置上 的数都会变为2^(n-1) 当2^n=1
时被拿走。按照这样的操作,100个多米诺骨牌每次少1 2,当操作6次即剩下的数目小于2
个(100÷2^6<2)。根据上面我们发现的规律,必然是最后 留下了2^6=64 移动到了第1位
也就是仅剩下的1位。所以答案是100内最大的2^n=64
总结:大家记住这样一个规律直线排列最后剩下的是总数目里面最大的2^n次方

此题300内最大的2的n次方就是256
所以如果每次拿走奇数位置上的骨牌,那么最后剩下的就是编号256


5. 两人和养一群羊,共n只。到一定时间后,全部卖出,平均每只羊恰好卖了n元。两人
商 定评分这些钱。由甲先拿10元,再由乙拿10元,甲再拿10元,乙再拿10元,最后,甲
拿过之后, 剩余不足10元,由乙拿去。那么甲应该给乙多少钱?
A.8 B.2 C.4 D.6

――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目就是一个常识的题目没有什么可以延伸的空间,所以我就主要介绍一下解答方法。
X^2是总钱数,分配的时候10 元, 2次一轮,最后单下一次,说明总钱数是10的奇数倍
数。根据常识,只有个位数是4,或者6才是十位数是奇数,那么个位数都是6
说明最后剩下6元 甲应该给乙 10-(10+6)2=2元


6. 自然数A、B、C、D的和为 90,已知A加上2、B减去2、C乘以2、D除以2之后所
得的结果相同。则B等于:
A.26 B.24 C.28 D.22
――――――――――――――――――
【天字一号解析】
结果相同,我们可以逆推出A,B,C,D
假设这个变化之后四个数都是M
那么
A=M-2
B=M+2
C=M2
D=2M
A+B+C+D=90=4.5M
M=20,则B=20+2=22


7. 自然数P满足下列条件:P除 以10的余数为9,P除以9的余数为8,P除以8的余数为
7。如果:100 A、不存在 B、1个 C、2个 D、3个
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【天字一号解析】
根据题目的条件我们看

P=10X+9=10(X+1)-1
P=9Y+8=9(Y+1)-1
P=8Z+7=8(Z+1)-1
这样我们就发现了 P+1 就是 8,9,10的公倍数
我们知道 8,9,10的最小公倍数是360
则100~1000内有 2个这样的公倍数。
所以满足条件的P 就是 360-1=359,
或者 720-1=719


8. 三个连续的自然数的乘积比M的立方少M,则这三个自然数的和比M大多少()
A 2M B4M C 6M D 8M
――――――――――――――――
【天字一号解析】
方法一:特例法你可以随便找3个连续自然数试试看,
例如 1×2×3=6
比6稍大的立方数是8 即2^3=8
8-6刚好是2
所以说明 M=2,那么我们看 1+2+3=6
6-M=4
可见是2M

方法二:
平方差公式:我们假设这三个连续自然数中间的数字是a,那么这三个数字分别是,
a-1,a,a+1
乘积是 a×(a-1)×(a+1)=a×(a^2-1)=a^3-a
跟题目说的比M^3少M条件对比我们发现 M就是a
再看(a-1)+a+(a-1)=3a =3M
可见答案就是2M


9. 一个7×7共计49个小正方形组成的大正方形中,分别填上1~49这49个自然数。每个数字只能填1次。使得横向7条线,纵向7跳线,两个对角线的共计16条线上的数字和相
等!则其 中一个对角线的7个数字之和是()
A 175 B 180 C 195 D 210
――――――――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个 题目猛一看好复杂,其实仔细看看就会发现端倪。虽然看上去像是一个幻方问题或者类
似于九宫图,但是 这里并不是让你关注这个。
49个数字全部填入,满足条件后,我们发现横向有7条线产生7个结果并 且相等。那么这
个7个结果的和就是这7条线上的所有数字之和,很明显就发现了就是1~49个数字之 和了
,根据等差数列求和公式:(首项+尾项)×项数2=总和

(1+49)×492=25×49
则每条线的和是 25×497=175
因为对角线和横线7条线的任意一条的和相同所以答案就是175.


10. 把1~100这100个自然数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从1开始,顺时针方向,留1,擦去2,3,4,留5,擦去6,7,8……(每擦去3个数,留一个数)。直到最后剩下的一个数是多少?
A、47 B、48 C、49 D、64
----------------------
【天字一号解析】
考察点:周期循环等比数列的问题
这个题目考到的可能性不是特别大,但是不排除。就只介绍规律吧。
主要是看间隔编号的个数 。如该题间隔编号就是1个。例如留1拿走2,留3拿走4,间隔
是1:
以下公式是按照从去1开始的。
那么公式是: 21×(A-2^n)这是最后剩下的数字 2^n表示A内最大的值 A表示原始的
编号总数。
间隔是2:32×(A-3^n)
间隔是3:43×(A-4^n)
间隔是4:54×(A-5^n)
特别注意的是:此题的A值不是随便定的必须满足 A-1要能够除以间隔编号数目。否则
最后的结果就是全部被拿走。

该题答案是:按照公式43×(100-4^3)=48 但是这是按照去1开始的。如果是留1 ,那
么答案是 48+1=49

11. 下列哪项能被11整除?
A.937845678 B.235789453 C.436728839 D.867392267
--------------------------------------
【天字一号解析】
9+7+4+6+8=34
3+8+5+7=23
34-23=11
所以答案是A
所有的奇数位置上的数之和-所有偶数位置上数字 之和=11的倍数那么这个数就能被11整
除。

这类题目属于数字整除特性题目我们这里就顺便介绍几个这样的规律:
(1)
1与0的特性:
1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.
0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.
(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。
(4)若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。
(5)若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。
(7)若一个整数的个位数字截去 ,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍
数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易 看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、
倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如, 判断133是否7的倍数的过程如
下:13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139 是否7的倍数的过程如下:613
-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
(8)若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。
(9)若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。
(10)若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。
(11)若一个整数的奇位数字之 和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「 割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而
是1!
(12)若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。
(13)若一个整数的个位数 字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的
倍数,则原数能被13整除。如果差太大 或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截
尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断 为止。
(14)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的< br>倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截
尾 、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(15)若一个整数的个位数字截去,再从余下 的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的
倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是 否19的倍数,就需要继续上述「截
尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(16)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。
(17)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。 (18)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23
整除


12. 甲乙二人分别从相距若干公里的A、B两地同时出发相向而行,相 遇后各自继续前进,
甲又经1小时到达B地,乙又经4小时到达A地,甲走完全程用了几小时
A.2 B.3 C. 4 D.6
―――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目只要抓住固定不变的部分,不管他的时间怎么边速度比是不变的。
假设相遇时用了a小时
那么甲走了a小时的路程乙需要4小时
根据速度比=时间的反比
则V甲:V乙=4 :a
那么乙走了a小时的路程甲走了1小时
还是根据速度比=时间的反比
则 V甲:V乙=a :1
即得到 4:a=a:1
a=2
所以答案是甲需要1+2=3小时走完全程!





13. 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4八个数字做成的八位数,共可做成______个。
A 2940 B 3040 C 3142 D 3144
――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目我在另外一个排列组合的帖子曾经讲过!
我们不妨先把这8个数字看作互不相同的数字,0暂时也不考虑是否能够放在最高位
那么这组 数字的排列就是P(8,8),但是,事实上里面有3个1,和2个2,我们知道3个1
我们在P(8, 8)中是把它作为不同的数字排列的,现在相同了,那我们就必须从P(8,8)中扣除
3个1的全排列 P(3,3)关键这里是怎么扣除呢?记住因为全排列是分步完成的,我们知
道在排列组合中,分步相乘 ,分类相加。可见必须通过除掉P(3,3)才能去掉这部分重复
的数字形成的重复排列。 2个2当然也是如此
所以不考虑0作为首位的情况是 P88(P33×P22)
现在我们再来单独考虑0作为最高位的情况有多少种:P77(P33×P22)
最后结果就是:P88(P33×P22)-P77(P33×P22)=2940



14. A、B、C三本书,至少读过其中一本的有20人,读过A书的有10人 ,读过B书的有
12人,读过C书的有15人,读过A、B两书的有8人,读过B、C两书的有9人,读 过A、
C两书的有7人。三本书全读过的有多少人?()
A.5 B.7 C.9 D.无法计算
―――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个 题目我是借鉴的“天使在唱歌”总结的公式组来解答。根据题目的不同可以挑选其中的任
意2组或者3组 公式答题。
先来介绍一下公式:



首先这里不考虑都不参与的元素
(1)
A+B+T=总人数
(2)
A+2B+3T=至少包含1种的总人数
(3)
B+3T=至少包含2种的总人数

这里介绍一下A、B、T分别是什么
看图 A=x+y+z; B=a+b+c;T=三种都会或者都参加的人数

看这个题目我们要求的是看三本书全部读过的是多少人?实际上是求T
根据公式:
(1)
A+B+T=20
(2)
A+2B+3T=10+12+15=37
(3)
B+3T=8+9+7=24

(2)-(1)=B+2T=17
结合(3)
得到T=24-17=7人

15. 一个9×11个小矩形组成的大矩形一共有多少个矩形?
A.2376 B.1188 C.2970 D.3200
――――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目其实很简单,主要是善于抓住题目的关键。这个题目我们看问有多 少个矩形。并不
是我们认为的就是9×11=99个。事实上上上下下,左左右右可以由很多小的矩形组 成新的
大一点的矩形。所以。这个题目看上去比较棘手。那么我们为何不从矩形的概念入手呢。矩
形是由横向2条平行线。纵向2条平行线相互垂直构成的。
知道这个我们就发现了解题的方法了, 9×11的格子说明是10×12条线。
所以我们任意在横向和纵向上各取2条线就能构成一个矩形。
所以答案就是 C10取2×C12取2=2970


16. 一个布袋 中有35个大小相同的球,其中白、红、黄三中颜色的球各10个,另有篮、绿
两种颜色的球分别是3个 、2个,试问一次至少取出多少个球才能保证取出的球中至少有4
个是同一颜色?
A、15 B、 16 C、17 D、14
―――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目是抽屉原理题目,我们在解答抽屉原理题目的时候要学会先找到什 么是抽屉。抽屉
有几个?然后还得注意在给抽屉平均分配的时候,会不会出现抽屉个数减少等问题。

这个题目我们先找什么是抽屉。很明显颜色就是抽屉。共计5种颜色,我们就确定了5个抽< br>屉。每种颜色的抽屉容量是各不相同的,这就导致后面有可能出现抽屉减少的现象。
要求是至少保证取出的球是4个同一颜色的。

我们最接近的是给每个抽屉放3个。 3×5=15
但是请注意,绿色的抽屉容量只有2,所以我们只能放15-1=14个。再放就必然导 致前面
的3个抽屉的某一个达到4个同色了。
此题答案选A


17. 22头牛吃33公亩牧场的草,54天可以吃尽,17头牛吃同样牧场28公亩的草,84天可
以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草,24天吃尽?()
A.50 B.46 C.38 D.35
―――――――――――――――
【天字一号解析】 “牛吃草”的问题主要抓住草每天的增长速度这个变量。至于其原始草量有多少?不是我们关
心的内 容,为什么这么说,因为在我们计算的时候,实际上是根据差值求草长速度,那么原
有的草量在2种情况 中都是一样,差值的时候被相减抵消了。有些题目可能面积不一样,但
是每亩地的原始草量确实一样的。
再看这个有面积的题目,其实道理是一样的。我们只要将不同的转化为相同的,面积不一样,
但 是没公亩的原有量和每天每亩草长的量是相同的。
根据这个
条件1:
(22×54)33 这是每公亩的情况
条件2:
(17×84)28 这是每公亩的情况
相减 (17×84)28 -(22×54)33=(84-54)×a a表示每亩草长速度
解得a=0.5 单位依旧是没头牛每公亩吃草的单位作为标准单位
最后我们假设x头牛24天可以吃完40公亩草
那么挑选上面的一个情况拿过来做对比:
(22×54)33-24x40=(54-24)×0.5
即可解得x=35头牛



18. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而 行,他们第一次相遇地点
离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3 千米处第
二次相遇,求两次相遇地点之间的距离
A、2 B、3 C、4 D、5
――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目是关于多次相遇问题的类型。我先介绍一下多次相遇问题的模型。
例如:有这样一个多次相遇问题的模型图
S……………M…………N……E
SE这 段路程,甲从S出发,乙从E出发,甲乙两个人在M处第一次相遇了,相遇的时候我
们知道甲行驶了 SM的长度。甲乙路程之和是SE 一个完整的路程。
N点是第2次相遇的地点。我们发现此时从第一次相遇的点M开始到第2次相遇的点N。
甲走了ME+EN,而乙在跟甲相同的时间下走了MS+SN
我们再次发现:甲乙两者路程之和是 ME+EN+MS+SN=2SE
是2倍的全程。你可以继续研究第3次相遇的情况。或者更多次。我们发现:
第一次相遇时, 甲的路程或者乙的路程是1份的话。第2次相遇时甲或者乙又行驶了2倍的
第一次的路程。

看上述题目:我们发现第一次相遇距离A点4千米。那么我们知道从A出发的甲是走了4
千米, 相遇后2人继续行驶,在距离B点3千米处相遇。说明甲又走了2×4=8千米
画个图:
A.。。。。。。4.。。。。。3.。。。。。B
我们发现甲从开始到最后的总路程就是AB+3
也就是3倍的第一次的距离。
所以AB=3×4-3=9千米
那么两个相遇点之间的距离就是 9-4-3=2千米。选A


19. 在一条马路上,小明骑车与小光同向而行,小明骑车速度是小光速度的3 倍,每隔10
分有一辆公共汽车超过小光,每隔20分有一辆公共汽车超过小明,如果公共汽车从始发站
每次间隔同样的时间发一辆车,那么相邻两车间隔多少分钟?
A.45 B50 C.60 D.80
―――――――――――――――――――
【天字一号解析】
我们知道间隔一顶的时间就有一辆公交车超过小光或者小明。说明他们之间构成了追击问题。
追击问题 就是时间=路程差速度差。
再看,当汽车追上小光或者小明的时候,下一辆公交车在哪里呢就是公交车 发车间隔时间的
汽车距离。即发车间隔时间×汽车的速度。这就是汽车跟小光或者小明的路程差。

所以我们发现
小光被超过是10分钟,说明 V车-V小光=110

(1)
小明被超过是20分钟
说明 V车-V小明=120
(2) < br>我们要求间隔发车时间,只要知道汽车的速度就可以知道间隔发车时间了因为我们这里的汽
车发车 间隔距离都是单位1.
上面得到了(1),(2)两个推断。同时我们知道小明的速度是小光的3倍
那么(1)×3-(2)=2倍的汽车速度了
则汽车速度就是 (310-120)2=18
则答案是 1(18)=8分钟。


20. 一只船从甲码头到乙码头往 返一次共用4小时,回来时顺水比去时每小时多行12千米,
因此后2小时比前2小时多行18千米。那 么甲乙两个码头距离是多少千米?
A、36 B、45 C、54 D、60
――――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
前2小时是逆水,后2小时是部分逆水+顺水
如图:
0.。。。。。。。。。。。。。。。。逆水。。。。。。。。。。。。。。。。2(小时)
2.。。。逆水。。。X。。。。。。。。。。。顺水。。。。。。。。4(小时)
我们知道后2小时比前2小时多行18千米
我们看,把部分逆水的跟前2个小时相互抵消,其 实后2个小时就是顺水部分比逆水多出来
的18,我们知道顺水速度每小时比逆水速度多12千米。那么 18千米需要多少小时?
所以1812=1.5小时就是顺水时间。即X到4小时之间的时间间隔。从 而知道逆水时间是
2.5小时。时间比是 3:5 可见速度比是 5:3 差2个比例点对应12千米则顺水速度是 122×5
=30
答案是30×1.5=45

21. 某团体从甲地到乙地,甲、乙两地相距100千米,团体中一部分人乘车先行,余 下的人
步行,先坐车的人到途中某处下车步行,汽车返回接先步行的那部分人,全部人员同时到达。已知步行速度为8千米小时,汽车速度为40千米小时。问使团体全部成员同时到达乙地
需要多少时 间?
A、5.5 小时 B、 5 小时 C、4.5小时 D、4 小时
-----------------------------------
【天字一号解析】
这个题目已经成为典型的形成模型问题了,这个团的人分2部分步行, 要得同时到达那么必
然是步行的路程都相同,乘车的路程也相同。抓住这个我们就好办了!
根据题目条件, 我先给大家画个图
甲...............P........ .....................Q...............乙
图中:P是汽车回来接先步行的人的地点
Q是汽车把先乘车的人放下的地点。
那么我们可以看出,甲~P是先步行的人步行的举例。Q~乙是先乘车的人步行的举例
甲~P=Q~乙
在根据相同时间内路程之比=速度比=40:8=5:1
假设先步行的人步行的举例为1份,
那么汽车的行驶距离就是5份,我们发现汽车走得路程是甲~Q~P 这段距离是5份,
已知,甲~p=1份, Q~乙=甲~P=1份
那么全程就是甲乙路程=(5+1+2)2=4份
则总路程分成4个单位
每个单位是 1004=25
则以先乘车的人为例 计算时间是 7540+258=5小时

【总结】这类汽车接送的问题主要是抓住速度之比转换成路程之比,进而将问题大大简化。

下面提供3道练习题目!
例一:100名学生要到离校33千米处的少年宫活动.只有一辆能 载25人的汽车,为了使全
体学生尽快地到达目的地,他们决定采取步行与乘车相结合的办法.已知学生 步行速度为每
小时5千米,汽车速度为每小时55千米.要保证全体学生都尽快到达目的地,所需时间最
少是?


例二:有两个班的小学生要到少年宫参加活动,但只有一辆车接 送。第一班的学生坐车从学
校出发的同时,第二班学生开始步行;车到途中某处,让第一班学生下车步行 ,车立刻返回
接第二班学生上车并直接开往少年宫,最终两个班的学生同时到达少年宫。已知学生步行速
度为每小时4公里,载学生时车速每小时40公里,空车是50公里小时,问第一班的学生
步行 了全程的几分之几?
A.17 B.16 C.34 D.25
例三:甲乙两班同时从学校去公园,甲步行每小时4千米,乙步行每小时3千米,学校有一
辆汽车, 它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好只能做一个班的学生,为了使这两个班
学生在最短的时间内到 达,那么甲与乙学生需要步行的距离之比是()。
A、15:11B、17:22 C、19:24D、21:27



22. 从360到630的自然数中有奇数个约数的数有()个?
A.25 B.23 C.17 D.7
――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目我一般都是从问题 提到的对象入手,自然数的约数?我们知道,求自然数约数无非
就是将这个自然数分解因式然后看构成的 数字形成多少个不同的乘积。
那么这个自然数就可以表示为自然数=A×B
A和B都是这个自然数的因数,也就是约数。
很明显一般情况下自然数的约数都是成对出现的,如 12=2×6,12=3×4,12=1×12, 2和
6是一对,3和4是一对,1和12是一对。既然是成对出现,那么这个自然数理论上说它的
约数应该是偶数个才对。现在是奇数个。什么样的情况会导致它是奇数个约数呢?
我们发现只有当这 个自然数种一对约数相等的时候,就会少了1个约数,即A=B,那么我
们就看出这个自然数是一个平方 数!
360~630 之间的平方数可以这样确定,我们知道19的平方是361,25的平方是62 5,那么
这样的自然数就是 19~25 共计7个自然数的平方值。



23. 王师傅加工一批零件,每天加工20个,可以提前1天完成。工作4天后,由于技术改
进,每天可多加工5个,结果提前3天完成,问,:这批零件有多少个?
A 300 B280 C360 D270
―――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目我们可以通过比例法来解决。我们知道当A=m×n的时候
当A固定,m和n就是成反比,
当m固定A和n就是成正比,
当n固定,A和m也成正比
看这个题目,注意比较前后2种情况,
情况(1):每天加工20个提前1天
情况(2):先工作4天(每天20个),以后每天是加工25个,可以前3天
我们发现两种情况对比
实际上情况(2)比情况(1)提前了3-1=2天
这2天 是怎么节约出来的呢?很明显是因为后面有部分工作每日工作效率提高了,所以那部
分所用时间缩短了
根据4天后剩下的总工作量固定。时间之比=每日效率的反比=20:25=4:5
5-4= 1个比例点。即所提前的时间2天,1个比例点是2天。说明每日工作20个所需时间
是对应的5个比例 点就是2×5=10天,意思就很清楚了,当工作4天后,如果不提高效率,
还是每天20个,那么需要 10天时间
所以这个题目的总工作量是20×(10+4)=280个

此题描述 比较烦琐,但是比例法确实是一种快速解答问题的方法,希望大家能够花点时间去
研究一下。


24. 某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语; 有3人即会
说英又会说法,有2人既会说法又会说西;有2人既会说西又会说英;有1人这三种语言都会 说.
则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多:
A1 B2 C3 D5
――――――――――――----
【天字一号解析】
在前面的有道题目种我们总结了几个公式:
(1)A+B+T=总人数
(2)A+2B+3T=至少包含1种的总人数
(3)B+3T=至少包含2种的总人数
(4)T是三者都会的
这里介绍一下A、B、T分别是什么
看图 A=只会1种的总人数; B=只会2种的总人数;T=三种都会或者都参加的人数
根据题目我们得到如下计算:
(1)A+B+T+P=12
(P表示一种都不会说的)
(2)A+2B+3T=6+5+5=16
(3)B+3T=3+2+2=7
(4)T=1
我们可以很轻松的得到 B=4,A=5
T=1
那么P=2
答案就是 A-P=5-2=3


25. 为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运,全国各地都在加强环保,植树造林。某 单位
计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树,现运回一批树苗,已知一条路的
长度是另一条路长度的两倍还多6000米,若每隔4米栽一棵,则少2754棵;若每隔5米栽
一棵 ,则多396棵,则共有树苗:( )
A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵
―――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目是2006年的一道国考试题,题目看上去非常的烦琐复杂,还加 上了植树问题。其
实这就考验我们如何能够化繁为简的能力,甚至有些数字更本可以不用。
我们先对题目进行分析。他提供给我们2种情况:
情况(1):每隔4米栽1棵,则少2754棵
情况(2):每隔5米栽1棵,则多396 棵
我们知道这2条马路的总长度是固定不变的,我们可以通过这2种情况先求出总长度。
4和5的最小公倍数是20米也就是说每20米情况(1)就要比情况(2)多栽1棵树。
那么这2种情况相差多少颗树
就说明有多少个20米。
据题意得
情况(1)跟情况(2)相差2754+396=3150棵树
说明总距离是 3150×20=63000米
我们在回头拿出其中一种情况来分析,就选情况(2)
每隔5米栽1棵,还多出396棵,不考虑植树问题,我们先理论的计算一下。
630005+396=12996棵
这个时候还需要小心我们必须注意2条马路是4个边, 根据植树原理,每个边要多出1棵所
以答案应该是 12996+4=13000棵


26. 一辆车从甲地开往乙地,如果提速20%,可以比原定时间提前一小时到达。如果以 原速
走120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到。那么甲、乙两地相距多少千米?
A、240 B、270 C、250 D、300
――――――――――――――――
【天字一号解析】这个题目依然可以采用比例法来计算:
从第一句话我们看到
提速之后的速度比是
5:6
那么时间比就是 6:5
差1个比例点对应的是1小时。
所以可见原速度行驶的话就是1×6=6个小时了
再看原速度走了120千米。剩下的路程速度提高25%,那么提高后的速度比是4:5,
那么剩下部分路程所需时间之比是 5:4 差1个比例点对应的就是40分钟(23小时)
那么可以得到如果是原始速度行驶所需时间就是 5×23=103 小时。
前面我们知道原始速度行驶需要6小时。后面部分需要103小时则120千米需要 6-
103=83小时
这个时候我们再看:83 走120千米,6小时走多少千米呢
83:120=6:x x=270 千米。

27. 有一个四位数,它的4个数字相乘的积是质数,这样的四位数有多少个?

A 4个, B 8个 C 16个 D 32个
―――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目主要是抓住数字的特殊性质
结合其概念来作出有利于解答的判断。
我们发现四个数字之和是质数,从质数的概念除法,质数的约数只有1和它本身
由此我们可以肯定这四个数字中只出现2个不同的数字就是1和一个质数。就是乘积。
可见这四个数字中有3个1,另外一个是质数个位数是质数的有,2,3,5,7这四个。
根据排列组合从四个质数里面选出1个,放入四位数种的任意一个位置。
可见答案是 C4,1×C4,1=16个


28. 一队法国旅客乘坐汽车去旅游中国长城, 要求每辆汽车的旅客人数相等.起初每辆汽车
乘了22人,结果剩下1人未上车;如果有一辆汽车空着开 走,那么所有旅客正好能平均分
乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有()名旅 客
A、507 B、497人 C、529人 D、485人
――――――――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目我觉得就是一个数字游戏,还是考察的质数概念问题。
还是看情况
情况(1):每辆车子22人,多出1人
情况(2):开出1辆车子,刚好平均。
我们看如果开出1辆车子我们还是按照每辆车子22人,那么就多出22+1=23人
注意:23人是质数
不能分解因式,所以所以23人如果要能被平均分配到剩下的车子上,说 明每辆车子只能再
添1人。不能添23人因为车子的最大容量是32人如果再添23人那就是45人超出 容量了。
好,分析到这里我们就知道开走1辆车子还剩下23辆刚好每辆1人。所以原来是24辆车子 。
那么总人数就是22×24+1=529人


29. 如果2斤油可换5斤肉,7斤肉可换12斤鱼,10斤鱼可换21斤豆,那么27斤豆可换
()油。
A.3斤 B.4斤 C.5斤 D.6斤
――――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目看上去很好玩,就好像古代尚未有钱币的时候商品的流通就是通过这样的等价交换。
我们发现起始的油换肉。最重又回来了豆换油。形成了一个循环。
我们可以将兑换左边的物品放在一起,兑换右边的物品放在一起就构成了一个等式关系。
如: 2×7×10×27=5×12×21×A,这样很容易解答出 A=3
答案就是A了


30. 若干名家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞 赛,
已知家长和老师共有22人,家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多2人,至少有
1名男老师,那么在这22人中,爸爸有多少人?
A. 3 B.4 C.5 D.6
―――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目除了总人数 没有一个准确的数值,而问题确实要求一个确切的数值,由此我们可以
肯定这是一个完全符合极限法的题 目,所以的数值只能有一个数值满足。
那么我们就开始按照极限法来假设。
总人数22,
(1)家长比老师多,那么家长至少12人 老师最多10人

(2)妈妈比爸爸多,那么说明妈妈至少7人,爸爸最多5人

(3)女老师比妈妈多2人 那么女老师至少7+2=9人,因为老师最多10人。说明男老师
最多就是1人,

(4)至少有1名男老师。跟(3)得出的结论形成交集就是男老师就是1名。

以上情况完全符合假设推断。所以爸爸就是5人

31. 某路公共汽车,包括起 点和终点共有15个车站,有一辆车除终点外,每一站上车的乘客中,
恰好有一位乘客到以后的每一站下 车,为了使每位乘客都有座位,问这辆公共汽车最少要有多
少各座位?
A53 B54 C55 D56
――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目 实际上是寻找何时是峰值,我们按照题目的要求,所有的条件都是选择最小数字完
成,那么就符合题目的 要最少需要安排多少个座位。
题目要求:汽车驶出起始站在后面的每站都有人下车,一直到最后一直站 。那说明起始站上
车的最少人数应该是14人(确保每站都有一个人下车)
同理要的前面上车 的人后面每站都有1人下车,说明第1站上车的人至少是13人。以此类
推。第2站是需要12人,第3 站需要11人。。。。
我们看车子上面什么时候人数最多。当上车人数>=下车人数的时候车子上的人 一直在增加。
知道相等达到饱和。
我们看到上车的人数从起始站开始,下车的人数也是从起始站开始。列举一下
起始站(上车):14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0
起始站(下车):0 ,1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,…………..
我们发现当上车人数=7的时候下车人数也是7
达到最大值
所以答案是
14+(13-1)+(12-2)+(11-3)+(10-4)+(9-5)+(8-6)=56人


32. 自然数乘1999,末尾6位数都是9,是哪个数?()
A .2001 B.2011 C.2111 D.20001
―――――――――――――
【天字一号解析】
此题看上去貌似很复杂,其实还是我们常见的考察知识点
我们知道这个数末尾6个数字全是9 ,如果这个数字+1,那么末尾6个数字应该都是0了
我们根据平方差公示这个数的开方应该是3个0
A^2-1=(A+1)*(A-1)
因为一个数字是1999
只能是A-1=1999
A=2000
那么另外一个数字就是A+1=2001
选A


33. 参加会议的人两两都彼此握手,有人统计共握手36次,到会共有()人。
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
-------------------------

【天字一号解析】 每个人握手的次数是N-1次,N人就握手了N×(N-1)次但是每2个人之间按照上述方
法计算 重复了一次。所以要除以2,即公式是 N×(N-1)÷2=36 这样N=9
如果不理解。我们还可以这样考虑
假设这些人排成一排。第一个人依次向排尾走去。一个一个 的握手。第2个人跟着第一个人
也是这样。第一个人是N-1次。第2个人是N-2次第3个人是N-3 次
、、、、、、最后第2人是1次,最后一个人不动,所以他主动握手的次数是0次。
这样 我们就看出这些人握手的次数是一个线段法则规则我在我的45题练习里面解析了关于
线段法则的运用情 况
即总握手次数就是 1+2+3+4+5+、、、、、、+N-1 计算公式就是(首项+尾项)×
项数÷2

当然如果是这样的题目你还可以通过排列 组合计算这么多人中任意挑出2人即多少种就有
多少次握手: Cn取2=36 也就是 N×(N-1)÷2!=36 解得 N=9 这个只适用于比较简
单的握手游戏取2 如果C取值大于2 则就不要用排列组合了,


例如这样一道例题:
某 个班的同学体育课上玩游戏,大家围成一个圈,每个人都不能跟相邻的2个人握手,整个
游戏一共握手1 52次,请问这个班的同学有()人
A、16 B、17 C、18 D、19
【天使在唱 歌解析】此题看上去是一个排列组合题,但是却是使用的对角线的原理在解决此
题。按照排列组合假设总 数为X人则Cx取3=152 但是在计算X时却是相当的麻烦。我们
仔细来分析该题目。以某个人为研 究对象。则这个人需要握x-3次手。每个人都是这样。
则总共握了x×(x-3)次手。但是没2个人 之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次
数是x×(x-3)÷2=152 计算的x=19人


34. 商场的自动扶梯匀速自下而上行驶,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行 驶的扶梯上,
男孩每秒向上行走2个阶梯,女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男孩用40秒到达,女孩用
50秒到达,则当电梯停止时,可看到的扶梯级有:
A 80 B 100 C 120 D 140
――――――――――――――
【天字一号解析】
关 于电梯问题实际上也是一种行程问题,而不是我们所理解的“牛吃草”问题:但跟行程问题
却又很大的不 同!下面就来说说其不同之处!
行程问题里面我们常见的有2种
一种是相遇问题:同时想向而行!何时相遇的行程问题。

一种是追击问题:是一个 人在另外一个人的前面,两个人同方向走。后面的人速度快,前面
人速度慢,什么时候能追上的问题。

我们先分析2种模型:
(1):人的方向跟电梯方向同向
,当人在扶梯 的底端开始往上走。而扶梯也是自动往上走,方向相同,我们发现虽然方向相
同,但是扶梯是帮助人往同 一个方向走的。并且共同走过了扶梯的总级数,
说明(人的速度+扶梯的速度)×时间=扶梯级数,这 就好比行程问题里面的相遇问题。这
不过这里的方向是同向。
(2):人的方向跟电梯方向反 向,人本来是向上走的,但是扶梯的速度是向下的。行程了
反向,人走的路程往往被扶梯同时间内出来的 级数抵消一部分。所以人的速度一定要大于扶
梯的速度才能到达顶部。当到达顶部的时候,我们不难发现 。其实就是(人的速度-扶梯的
速度)×时间=扶梯级数。这就好比行程问题里面的追击问题,只不过这 里的方向是相反!

我们再来分析例题:首先确定是同向。确定为相遇问题
速度和×时间=电梯级数
对于男生:(2+V电梯)×40
对于女生:(1.5+V电梯)×50
建立等式关系:(2+V电梯)×40=(1.5+V电梯)×50

解得V电梯=0.5 则电梯级数=2.5×40=100或者 2×50=100

例如我们在举例一个反向的例子:
【例题练习】:商场的自动扶梯匀速自上而下行驶,两个孩 子从下往上走,于是在行驶的扶
梯上,男孩每秒向上行走2个阶梯,女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男 孩用50秒到达,
女孩用40秒到达,则当电梯停止时,可看到的扶梯级有:

A 80 B 100 C 120 D 140




35. 有甲乙两杯含盐率不同的盐水,甲杯盐水重120克,乙杯盐水重80克.现在从两杯
倒出等量的盐水,分别交换倒入两杯中.这样两杯新盐水的含盐率相同.从每杯中倒出的盐
水是多少克?


A 24
B 48
C 32
D 16
――――――――――――――――
【天字一号解析】
公式: mn(m+n)=120*80(120+80)=48
公式的由来是通过2个十字交叉法得到的
你假设交换的部分是a克盐水
假设120克的盐水浓度是P1, 80克的盐水浓度是P2,
交换混合后相同的浓度是P
那么对于120克的盐水来讲建立十字交叉法

120-a(P1) P-P2
P
a(P2) P1-P

我们得到(120-a):a=(P-P2):(P1-P)
那么对于80克的盐水来讲建立十字交叉法
80-a(P2) P1-P
P
a(P1) P-P2

我们得到
(80-a):a=(P1-P):(P-P2)
根据这2个比例的右边部分我们可以得到
(120-a):a=a:(80-a)
化简得到 a=120×80(120+80) 说明跟各自的浓度无关!
补充方法:
因为2种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将2种溶液直接混合,在按照比例分开成
2部 分。所以我们假设交换了a克
a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例
跟原始的参照质量也是同一比例。即
(120-a)a=12080 a=48克
或者(80-a)a=80120 a=48克


36. 甲乙两人各 坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程
等于甲摇浆90次所走 的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上?

A. 14 B.16 C.112 D.124

―――――――――――――
【天字一号解析】
这种类型的题目我们首先求出其速度!
甲摇浆10次时乙摇浆8次知道甲乙频率之比=5:4
而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程则可以得到每浆得距离之比是甲:
乙 =7:9
所以,我们来看相同时间内甲乙得速度之比,5×7:4×9=35:36
说明,乙比甲多出1个比例单位
现在甲先划桨4次,每浆距离是7个单位,乙每浆就是9个单 位,所以甲领先乙是4×7=28
个单位
而事实上乙每4浆才能追上36-35=1个单位, 说明28个单位需要28×4=112浆次追上!
选C


37.
一个游泳者逆流游泳,在A桥遗失一只空水壶,水壶浮在水面,随水漂流.游泳者继续逆游
了1小时到 达D桥,发觉水壶遗失,休息了12分钟再游回去找寻水壶,又游了1.05小
时后,在B桥找到了水壶 .求A,D两桥的距离是A,B两桥距离的几倍.
A.1.5倍 B 43倍 C 2倍 D 2.5倍
―――――――――――
【天字一号解析】
B。。。。。A。。。。。。。。。D
从A掉下是逆水行使到D 跟水壶的速度差都是静水速度。时间1小时,从D到B 是顺水
行使,跟水壶的速度差也是静水速度。所 以追上水壶用时也应该是1小时。但是因为中间休
息了12分钟,水壶还在飘向B 所以才会延长了追上的时间延长了1.05-1=0.05小时
说明:
水壶速度:游泳者的静水速度=时间的反比=0.05小时:12分钟=1:4
AD=1小时的逆水=(4-1)的水流速度
AB=(1+1.05+0.2)小时的水流速度=2.25
AD:AB=32.25=43


38.
机场上停着10架飞机,第一架起飞后,每隔4分钟就有一架飞 机接着起飞,而在第一架飞
机起飞后2分钟,又有一架飞机在机场上降落,以后每隔6分钟就有一架飞机 在机场上降落,
降落在飞机场上的飞机,又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么,从第一架飞机起飞 之
后,经过多少分钟,机场上第一次没有飞机停留?
A 104 B 108 C 112 D 116
―――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目类似于“青蛙跳井”问题,我们不能直接求最终结果,否则我们会 忽略在临界点状态
的一些变化。
碰到这种问题首先就是求临界点是在什么时候发生,发生时的状况怎么样。这样才好判断。
例如“青蛙跳井”问题, 10米深的井,青蛙每次跳5米就会下滑4米。问几次能够跳上来。
这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口!也就是说我们只需研究到
青蛙跳到10 -5=5米的地方,这里都是常规计算(10-5)(5-4)=5次。最后一次的时候我
们就无需考虑 下滑了因为已经到顶了。
同样这个题目很多人做出116分钟,其原因就是犯了这个错误。我们必须先求临界点。
所谓的临界点就是
当机场剩下1架飞机的时候
假设是N分钟剩下一架飞机!
N4 +1= (N-2)6 + 1 +(10-1)
为什么两边都+1 那是因为这是植树问题。从0分钟开始计算的所以要多加1次
解得N=104分钟
所以我们知道104分钟的时候是临界点飞机场只有1架飞机没有起飞。
当108分钟的时候,飞机起飞了。而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候,
所以从108~110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象!
答案应该选B

39. 某校参加“祖冲之杯”数学邀请赛的选手平均分是75,其中男选手比女选手人数多百分之八十,而女选手比男选手的平均分高百分之二十,则女选手平均分是多少?
A75 B 90 C70 D84
―――――――――――――――
【天字一号解析】
方法一:
就这个题目你可以建立十字交叉法来解答
假设男生平均成绩是a,女生就是1.2a
男生人数跟女生人数之比就是最终之比 1.8:1=9:5

男生: a 1.2a-75 (9)

全班平均成绩(75)

女生:1.2a 75-a (5)

根据交叉法得到的比例 (1.2a-75):(75-a)=9:5
解得a=70。女生就是1.2a=84

方法二:
根据十字交叉法的公式我们发现,0.2a
是多出来的平均值,这就是两者的差值.
根据我们上面衍生出来的公式应该=最重比例之和9+5=14 再乘以系数M
0.2a=14M 得 a=70M
因为分数不可能超过100 所以M只能=1,即a=70,女生就是1.2a=84


40. 甲车以每小时 160千米的速度,乙车以每小时20千米的速度,在长为210千米的环形
公路上同时、同地、同向出 发。每当甲车追上乙车一次,甲车减速13 ,而乙车则增速13 。
问:在两车的速度刚好相等的时刻,它们共行驶了多少千米?(

A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310
―――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
像这样的行程问题,比例法是最佳的解答方法。首先我们确定需要几次相遇速度相等
我们先来看需要多少次相遇才能速度相等
160×(23)的N次方=20×(43)的N次方
N代表了次数解得N=3 说明第三次相遇即达到速度相等
第一次相遇前:
开始时速度是160:20=8:1 用时都一样,则路程之比=速度之比=8:1
所以8-1=1圈对应的比例即210 所以2人路程之和是210÷7×(8+1)=270
第二次相遇前:
速度比是甲:乙=4:1 用时都一样,则路程之比=速度之比=4:1
所以4-1=3等于1圈的距离对应的比例即210 所以这个阶段2人路程之和是 210÷3×(4
+1)=350
第三次相遇前:
速度比是甲:乙=2:1 用时都一样,则路程之比=速度之比=2:1
所以2-1=1对应的是1圈的比例即210 所以第3阶段2人路程之和是210÷1×(2+1)=
630
则总路程是 270+350+630=1250

41. 有一辆自行车,前轮和后轮都是新的,并且 可以互换,轮胎在前轮位置可以行驶5000
千米,在后轮位置可以行驶3000千米,问使用两个新轮 胎,这辆自行车最多可以行多远?
A 4250 B 3000 C 4000 D 3750

―――――――――――――――――

【天字一号解析】

这个题目主要是看单位内(1千米)的消耗率,前轮是15000, 后轮是13000 单位内消耗
的总和是15000+13000=47500, 因为两个轮子的消耗总量是1+1=2,所以可以行使
2÷47500=3750千米


42. 有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字的和,直到不 能
写为止,如257,1459等等,这类数字有()个
A、45,B、60,C120,D、无数

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【天字一号解析】
此题主要把题目理解清楚,“直到不能为止” 这个是关键
例如: 123,1235,12358,这算一个数字,就是12358,, 123和1235还能继续往下写题
目要求不能写为止,所以不符合题目要求,
不过我们也发 现其实我们只要去看前2位就可以,就能区别于其他数字因为前2位决定后面
的数字。
看看前2位的组合
10,11,12,13,。。。。。。17,18,
。。。。。。
60,61,62,63
70,71,72
80,81
90,
可见这是呈现一个等差数列规律
个数为(1+9)×9÷2=45



43. 有一水池,单开A管10小时可注满,单开B管12小时可注 满,开了两管5小时后,A
管坏了,只有B管继续工作,则注满一池水共用了多少小时?()
A.8 B.9 C.6 D.10

【天字一号解析】

这个题目我拿出来说,是要引起大家重视的,主要是学会识别题目设置的障眼法,

如果我们按部就班的来做,恐怕需要多费些时间。所以我们在看完题目可以迅速的做一个思
考。

什么思考?

题目问:则注满一池的水共用多少小时?我们知道乙全程都 在参与。所以实际上乙工作了多
少小时,就是我们最终要求的结果。

从工作的情况看,A参与了5小时 则相当于 510=12 还剩下12 这部分都是乙做的。乙
做12需要多少时间呢 12×12=6小时 答案就是6小时


44. 五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数,并且各不相同。则体重最轻的人最
重可能是()
A80 B82 C84 D86

【天字一号解析】

这个题目跟一道分花的题目是“姊妹”题型!我把这个题目作为例题给大家练习

就本题来看。题目要求最轻的人最重是多少? 而且5个人的体重各不相同。也就是说,总
体 重一定的情况下。数字大的尽可能和数字小的靠近那样数字小的才会相对最重。

只有连续自然数满足这个条件。

我们看,5个人的总重量是 423斤,根据连续自然数的特征,4235=中间数(平均数)=84
余数是3

那么我们知道这5个自然数的序列是 82,83,84,85,86 还剩下3斤不可能分配给最小的
几个人否则他们就会跟后面的数字重复了所以这3斤应该是分配给最重的几个人,对轻者无
影响 。答案就是82 选B



例题:现有鲜花21朵分给5人,若每个 人分得的鲜花数目各不相同,则分得鲜花最多的人
至少分得()朵鲜花。

A.7 B.8 C、9 D.10




45. 有一项工程 ,甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好甲
用整数天完成;如果按乙、丙 、甲次序轮做,比原计划多用12天完成;如果按丙、甲、乙
次序轮做,也比原计划多用12天完成。已 知甲单独做用10天完成,且三个工程队的工作
效率各不相同,那么这项工程由甲、乙、丙三对合作要多 少天可以完成?
A.7 B.193 C.20940 D.409

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【天字一号解析】

我们先把题目告诉我们的条件分类

(1)甲,乙,丙 甲整数天 (注意,甲收尾刚好完成)
(2)乙,丙,甲,多用0.5天 (剩余的部分给乙做,也是需要多做0.5天,即丙做.)
(3)丙,甲,乙,多用0.5天。(剩余的部分给丙做,也是需要多做0.5天,即甲做)
甲单独做10天完成,甲的工作效率是110
看(3) 甲的110 给丙做,丙需要1天还得让甲做半天。所以丙的效率是甲的一半。即为
120
再看(2),110=乙+120×0.5 得到乙的效率是 340
合作需要 1(110+340+120)=409 选D


46. 某服装厂有甲、乙、丙、丁四个生产组,
甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子;
乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子;
丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子;
丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。
现在上衣和裤子要配套缝制(每套为一件上衣和一条裤子),则 7天内这四个组最多可以缝
制衣服多少套)
A 110 B 115 C 120 D125

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【天字一号解析】

主要我们采用的主要思路是:让善于做裤子的人做裤子,善于做上衣的人做上衣。这样才能< br>发挥各自的长处,保证最后的总数最大。相等的可以做机动的补差!进行微调!
综合系数是(8+9+7+6):(10+12+11+7)= 3:4
单独看4个人的系数是
4:5 大于综合系数
3:4 等于综合系数
7:11 小于综合系数
6:7 大于综合系数
则甲,丁做衣服。丙做裤子。乙机动
7×(8+6)=98
11×7=77
多出98-77=21套衣服
机动乙根据自己的情况需要一天12+9套裤子才能补上 9(12-9)=3 需要各自3天的生产(3
天衣服+3天裤子)+1天裤子
则答案是衣服 98+3×9=125 裤子是 77+4×12=125



47. 五个瓶子都贴了标签,全部贴错的可能性有多少种?
A6 B.12 C.26 D44

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【天字一号解析】

首先我们从简单的1封信开始

1封:不可能贴错 0种

2封:贴错的情况是相互交换 1种

3封:贴错的情况是2种

4封:贴错的情况是9种

5封:贴错的情况是44种



大家就像记住平方数一样记住就可以了,一般如果考试考到也就是查不到在5以内的情况。



好我们接着对这些数字形成的数列进行归纳: 0,1,2,9,44

得到了这样一个递归公式:

Sn=n×S(n-1)+(-1)^n

Sn表示n个贴错的情况种数

如S1=0

S2=2×S1+(-1)^2=1

S3=3×S2+(-1)^3=2
S4=4×S3+(-1)^4=9

S5=5×S4+(-1)^5=44



48. 某书店得优惠政策,每次买书200元至499.99元优惠 5%,每次买书500元以上(含500
元)优惠10%,某顾客买了3次书,如果第一次于第二次合并 买比分开买便宜13.5元,如果
三次合并买比三次分开买便宜39.4。已知第一次付款是第三次付款 得58,求第二次买了多
少钱书?
A115 B120 C125 D130

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【天字一号解析】

第一次与第二次购书的合价=13.55%=270
第三次购书优惠=39.4-270*10%=12.4
如果第三次购书原价=12.410%=124
则三次购书款=270+124=394,
不符合题意
所以第三次购书款应该是200以上的,即已经享受优惠。
则第三次购书原价=12.4(10%-5%)=248
第一次书价=248*58=155
第二次书价=270-155=115


49. 电车公司维修站有7辆 电车需要进行维修.如果用一名工人维修着7辆车的修复时间分
别为12.17.8.18.23.30 .14分钟.每辆电车每停开一分钟经济损失为1
1元.现在由3名工人效率相等的维修电车,各自独立 工作。要使经济损失减少到最小程度,
最少损失多少钱?
A 2321 B 2156 C 1991 D 1859

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【天字一号解析】

这是一道统筹问题,抓住题目的关键:耗时多的放到最后这样大家等待时间就少
A:8 17 30 耗时=8×3+17×2+30=88
B:12 18 耗时 12×2+18=42
C:14 23 耗时 14×2+23=51
总耗时=88+42+51=181
则费用是181×11=1991



50. 1^2007+3^2007+5^2007+7^2007+9^2007的值的个位数是()

A、2 B、3 C、5 D、7

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【天字一号解析】

这里不再多说给大家介绍一下我总结的规律

当某2个数的个位数之和是10的时候这2个数字的相同奇数次方的个位数和还是10,相同
的偶数次方的个位数相同。

举例: 4^4跟6^4: 4+6=10 那么他们的偶数次方个位数相同 4^4=256 6^6=个位数也是
6

4^5和6^5次方 其个位数之和是 4+6=10



此题我们先分组(1,9)(3,7)(5) 根据上述规律

其次方数是2007 奇数次方。那么其个位数之和是 10+10+5=25 则答案是选C

51. 甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都 有人解出.只有
一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容
易题多()题?
A、6 B、5 C、4 D、3
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【天使在唱歌解析】

第三题需要结合文氏图来理解了,画图会很清楚的
http: 第14题
我们设A表示难题,B表示中档题目,T表示简单题目
(1):A+B+T=20
(2):A+2B+3T=12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的
将(1)×2-(2)=A-T=4
这就是我们要求的难题比简单题目多出4
可能 很多人都说这个方法太耗时了,的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当你完全
了解和熟练运用: A+2B+3T这个公式的时候,这个题目我在第一部分就有说明!

52. 甲夫妇邀请乙 丙两对夫妇来家做客,大家随意围坐在一个圆桌上用餐。请问每对夫妇相
邻而坐的概率是多大?
A. 115 B.215 C15 D.415
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【天字一号解析】

这个题目我们必须先掌握一个基础知识
环形排列跟直线排列的区别。我们知道直线排列例如 5个人站成一排有多少种方法 P55=
120,
但是如果问 5个人围成一圈有多少种方法呢?我们必须注意环形排列的特 别之处,环形的
开始也就是结束。首尾相连的。所以没有绝对位置之分,只有相对位置。所以第一个人一 般
是作为参照物。不参与全排列。所以5个人围成一圈是P44=24种方法

再看这个题目。
先看三对夫妇六个人全排列应该是P55=120种
满足条件的情况:我们我可以先将这三对夫妇捆绑视为3个人那么围成一桌的全排列是 P22
=2种,然后我们再对每对夫妇进行调换位置那就是 2*2*2=2^3
所以满足情况的方法有2×8=16种
答案是16120=215

53. 一个袋里有四种不同颜色的小球,每次摸出两个,要保证有10次所摸的结果是一样的,
至少要摸多少次?
A 55 B 87 C 41 D 91
-----------------------------
【天字一号解析】

这个题目是一个典型的“抽屉原理”题目!
碰到抽屉原理类型的题目,我们首先需 要去寻找什么是抽屉。其次是抽屉的个数。当这些都
确定以后。我们可以根据题目提供的条件对抽屉进行 极限化分配。
什么是抽屉,题目中告诉我们四种不同颜色的小球任意取2个小球组成的不同组合,这里 就
是指不同颜色的搭配形成的组合
那么我们看有多少个抽屉(组合)呢
4种颜色的搭配应该是分两种情况
(1)不同颜色的组合: C(4,2)=6
(2)相同颜色的组合: C(4,1)=4
很明显了抽屉(组合)的种数就是6+4=10种
要的10次所摸的结果一样。最坏的情况就是每种组合都会摸到最大限度
最大限度就是10-1=9种
所以答案是9×10+1=91 选D


54. 已知连续四个自然数的积是1680,这四个数的和是()
A、22 B、24 C、26 D、28
------------------------------
【天字一号解析】

此题是个不错的题目,属于比较简单的题目。方法有3种。
方法一:分解因式法
1680=2×2×2×5×6×7 一目了然这四个数是5,6,7,8 和为26。这个方法对于比较小的数
字适合。如果数字比较大的话 。分解因式是个耗时的做法。另外当四个连续自然数全是合数
的情况,那么分解因式来解决此类型题目就 更加困难。

方法二:数字特性法
这里告诉大家一个数字规律常识:连续四个自然数的乘积必是一个数的平方-1
数字概念特性 N的平方=(N+1)×(N-1)+1 也就是说一个数的平方=这个数的两边
数字乘积+1。根据这 个我们可以确定1681是某个数字的平方=41的平方可以直接估算出
来。根据上述特性 1680=40×42 则结果出来了 42=6×7 40=5×8

方法三:排除法
根据选项我们发现最小的是22,最大的是28 连续四个自然数之和。大概是在4~9这个范
围内的某四个连续自然数,稍微试一试就出来了


55. 甲乙丙三人共同进货回来,在平均分配的时候,甲比丙多了3吨,丙比乙少了3吨, 为
了公平起见,甲乙各自给了丙12000元。则每吨货值()元
A、4000元 B、8000元 C、16000元 D、12000元
――――――――――――――
【天字一号解析】

此题非常的好,这是一个参照物选择的问题。从题目表面看似乎 就是甲乙跟丙的比较。其实
是三者跟平均数的比较。平均数才是这个题目的参照标准。如此题:
我们知道,甲乙比丙都多了3吨,则总共多了3×2=6吨。平均分给3个人。则每个人是2
吨。相比 原先多出3吨的情况,甲乙其实都是只比平均数多了1吨。公平起见。每个人都应
该分得平均数。现在甲 乙都是多拿了1吨,则每个人付出的12000元就是1吨货物的钱。此
题选D

56.有8件产品,其中有3件是次品,能够恰好在第5次找出3件次品的概率是()
A 328 B 18 C 17 D 356
----------------------------
【天字一号解析】

这个题目我们先看8件产品里面任意去3种次品的情况是多少种 C(8,3)=56
再看恰好是第5次找到注意这句话的“恰好”这个词
一般情况是第5次肯定就是最后第3个次品被找到
前面4种情况就出现了2个次品,所以是C(4,2)=6种
注意,这里还隐藏了一种情况, 那就是前面5次都是好成品,没有次品。那么就可以确定剩
下的3个都是次品。
则第5次能够恰好找到次品的种数是 6+1=7种
则概率是 756=18
< br>57.某食堂有大、中、小三种碗共计1060只、按照规定,2人一个小碗,3人2个中碗,5
人3个大碗。某日中午该食堂开饭。所有碗都被用光。问此时来进餐的有()人
A、480 B、600 C、640 D、720
――――――――――――
【天字一号解析】

这个题目相对比较简单,我们先来介绍基础的方法
解法一:
根据食堂规 定:2人一个小碗,3人2个中碗,5人3个大碗则表示1个人占用了12个小碗,
23个中碗,35个 大碗则一个人需要(12+23+35)=5330个碗。1060个碗中有1060÷5330
=60 0个说明就有600个人
解法二:
我们看2,3,5的最小公倍数是30 ,那么我们看3 0人需要30÷2=15个小碗,30÷3×2=20
个中碗,30÷5×3=18个大碗。则30个人 总共需要15+20+18=53个碗,1060中有多少53
个碗就有多少个30人,1060÷53 =20 则总人数是20×30=600人

58-1. 某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒,某人买回10瓶啤酒,则他最多可以喝
到()瓶啤酒?
A 13 B 14 C 15 D16
58-2. 5个空瓶可以换1瓶汽水,某班同学喝 了161瓶汽水,其中有一些是用喝剩下来的空
瓶换的,那么他们至少要买汽水多少瓶?
―――――――――――――

【天字一号解析】

这2道题目是同属姐妹题。
58-1这道题目是通过3个空瓶去换1瓶啤酒。这里需要了解的 是存在酒瓶相差1个的情况
下可以借空瓶的说法。 3空瓶=1瓶酒我们发现这换来的1瓶酒也有一个酒 瓶实际上我们发
现是2个空瓶换了一瓶酒(不含瓶子)而最重的结果也是不留任何空瓶全部兑换出去了
所以我们实际上就是看10个空瓶可以换多少酒瓶里面的酒 102=5瓶
答案就是10+5=15

再看58-2,
我们先知道了总共喝了161瓶。还知道空瓶换酒是 4个空瓶换1瓶酒。假设原来是购买了a
瓶酒。根据上述推理我们可以得到 a+a(5-1)=161 解得 a=6445=128.8 这里注意因为存在
借酒瓶的问题。所以碰到小数不管是多少直接进一所以答案是129

或者你可以采用“求余反商”的方法
我们知道5个空瓶换一个。那么实际上这个同学是喝掉了161个空瓶的汽水。应该说 5个
空瓶跟换来的1瓶看作一组就是5+1=6个瓶子。
我们看看这161里面有多少个
1616=26 余数是5
(26+5)6=5 余数是 1
(5+1)6=1
实际上就是多喝了 26+5+1=32瓶
原来购买的就是161-32=129瓶!

59. 甲乙2人相约中午12点至1点钟见面,并约定“第一人到达后可以在等第二人15 分钟
后不见人来就可离去。”假设他们都以各自设想的时间来到见面地点,则他们2人能见上面
的机率有多大?
A.116; B.14; C.38; D.以上三者均不对
―――――――――――――――
【天字一号解析】

我们先看这个图形:

我们可以将概率问题转换为计算图形面积问题。
x,y坐标表示2个人等待的时间时刻。
中间部分构成的就是其相交的面积
真个面 积我们把一个单位看作15分钟,那么整个面积就是4×4=16个单位。其中相交的部
分就是中间斜着 的部分
面积是1×1+根号2×3根号2=1+6=7 所以概率是 716

60. 将50个苹果分成相同的3堆,每堆至少1个,有多少种分法?
A 200 B 208 C 216 D 243
----------------------
【天字一号解析】

这个题目我们可以先将其看作插孔法来研究
那么就是 C49取2=1176 事实上插孔法是针对的不同组不同分类的情况来做的,这里是相
同的堆。所以计 算重复了我们按照三个堆各不相同为标准,如果三个各不相同,那么插孔法
得到的结果就是P33=6种 ,但是这个题目里面插孔法得到的情况有些不是6种的,下面我
们就对这些不是6种的情况进行研究。努 力把这些情况恢复到6种,事实上因为不去分组,
所以的6种情况都是一样的,所以除以6就是我们需要 的结果
1,1,48
2,2,46,
3,3,44
4,4,42
.。。。。。
502=25
所以直到
24,24,2
这样的情况少算了 P33-P33P22=3次
所以一共少算了 24×3=72
按照标准情况来看应该是 1176+72=1248种
所以我们每组都需要扣除6种情况变为1种因为不区分组
所以答案是
1248P33=208种

【参考】数学运算的大致常考类型,大家复习可以参照!

(一) 数字推理
(1)数字性质:奇偶数,质数合数,同余,特定组合表现的特定含义 如∏=3.1415926,
阶乘数列。
(2)等差、等比数列,间隔差、间隔比数列。
(3)分组及双数列规律
(4)移动求运算数列
(5)次方数列(1、基于平方立方的数列 2、基于2^n次方数列,3幂的2,3次方交替数
列等为主体架构的数列)
(6)周期对称数列
(7)分数与根号数列
(8)裂变数列
(9)四则组合运算数列
(10)图形数列

(二) 数学运算
(1)数理性质基础知识。
(2)代数基础知识。
(3)抛物线及多项式的灵活运用
(4)连续自然数求和和及变式运用
(5)木桶(短板)效应
(6)消去法运用
(7)十字交叉法运用(特殊类型)
(8)最小公倍数法的运用(与剩余定理的关系)
(9)鸡兔同笼运用
(10)容斥原理的运用
(11)抽屉原理运用
(12)排列组合与概率:(重点 含特殊元素的排列组合,插板法已经变式,静止概率以及先
【后】验概率)
(13)年龄问题
(14)几何图形求解思路(求阴影部分面积 割补法为主)
(15)方阵方体与队列问题
(16)植树问题(直线和环形)
(17)统筹与优化问题
(18)牛吃草问题
(19)周期与日期问题
(20)页码问题
(21)兑换酒瓶的问题
(22)青蛙跳井(寻找临界点)问题
(23)行程问题(相遇与追击,水流行程,环形追击 相遇:变速行程,曲线(折返,高山,
缓行)行程,多次相遇行程,多模型行程对比)

[天字专题]“比例法”思想终极版本介绍

“比例法”由本人再2007年年底 系统提出这个概念并构建专题,在这几年里,得到了大家的
认可并转载引用多次,但是我希望大家转载引 用时表明出处(写出引用谁人专题或参照谁人
专题),这也是对作者的尊重,切记不要做剽窃他人知识, 甚至践踏他人人格之事。望阅读
者多多体谅,相互尊重!

比例法是什么, 比例是数之间的对比关系,或指一种事物在整体中所占的分量。运用比例
法的目的是为了将繁琐的数值简 化为简单的数值来进行分析,同时比例法的实则也是把握住
了数学的核心思想:相对关系。利用这种相对 关系可以扩展出很多比例法上的解题技巧。
1、“比例法”应用的基本条件
比例法的采用的 一个重要条件就是含有一个固定的乘除等式关系。如:M=A*B,M,A,
B分别代表三个不同的量, 在实际的应用中如:路程=速度*时间,总量=效率*时间、溶
剂=溶液*浓度等,只要符合这种等式关 系。不管是不是行程问题、效率问题、工程问题都
可以采用。在采用的过程中,切记注意三个量中必须要 有一个量是固定的,这样另外2个量
才会有相对关系。
如:M=A*B,当M固定,则A和B 之间就是反比关系;当A固定时,M和B之间就是成正
比关系;当B固定时,M和A也是成正比关系。

另外研究相对关系,不仅仅从数值上看,还需要从整体上看。
如:M1=A1*B1 和M2=A2*B2,
当M1=M2时,相当于把这2个表达式合并 了,等同于A1*B1=A2*B2,那么我们就可以看
出这里的反比关系:即A1:A2=B2:B1 ,进而我们可以进行相同的推理,当A1=A2时,M
1:M2=B1:B2, 当B1=B2时,M1:M2=A1:A2.

例题61:甲乙二人分别从相距若干公里的A 、B两地同时出发相向而行,相遇后各自继续前
进,甲又经1小时到达B地,乙又经4小时到达A地,甲 走完全程用了几小时?
A.2 B.3 C.4 D.6
【天字1号解析】参考答案B。
题目描述的一个关键就在于他们都是用不用的时间去走对方相 遇前走的距离,这里如果要建
立某种等式关系,那么就是他们的速度之比是一个固定关系。假设他们用了 t小时相遇,那
么在甲走的t小时距离上,乙用了4小时走完,速度之比为时间反比,V甲:V乙=4: t,同理,
我们再看乙走的t小时,那么也可以根据反比关系得到V甲:V乙=t:1,因此得到了这样 的关
系4:t=t:1,解得t=2, 答案为2+1=3小时。

2、差、和关系比例法应用介绍
差值比例在比例法中是最经常适用的一种方法,我们 通过量之间的变化部分,运用比例的
缩放求解。只要找到差值所对应的具体比例点数,就可以求解实际数 值。差值比例是怎么来
的呢?我们来看一下简单推理:

在关系表达式M=A*B 中,当M不变的情况下,A和B的反比关系是固定的,当A发生变
化,则B发生变化。可以产生这样一种 情况A1:A2=B2:B1,用分数形式表示就是
,我们令等号左右同时减去1,即可转换为 ,A1-A2和B2-B1 这就是差值关系,差值和
所对应的量也是一种反比关系。
例题:甲行使一段路程按照30千米小时的速度比按照25千米小时的速度要快1小时。则
这段路程 是多少千米。
分析:我们就抓住路程不变,时间和速度是成反比关系的即 30的速度和25的速度时 间之比
是为25:30=5:6,这里5就代表着30的速度用时,6就代表这25速度的用时,他们相 差
6-5=1个比例点,即对应1小时。因此实际时间就是1*6小时和1*5小时。这样答案就明显了 30*5=25*6=150千米。

下面我们通过几个题目来看看差/和比例法的应用:
例题61:小王步行的速度比跑步慢50 %,跑步的速度比骑车慢50%。如果他骑车从A城去
B城,再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步 从A城到B城需要多少分钟?【11国考】
A.45 B.48 C.56 D.60
【天字1号解析】参考答案B。
此题已知条件可 知步行跑步速度比是1:2,跑步和骑车速度比是1:2,则步行速度:跑步
速度:骑车速度=1:2: 4,
骑车去,步行返回,这是路程相同的情况下,时间比等于速度反比,是步行用时:骑车用时
=4:1,时间和为4+1=5 对应2小时。则每个比例点就是25=0.4小时。因为问的是跑步时间跟骑车时间是2:1关系即为0.8小时即48分钟。

例题62:两个相同的瓶子装满酒精溶液,一个瓶子中酒精与水的体积比是 3:1,另一个瓶子
中酒精与水的体积比是 4:1,若把两瓶酒精溶液混合,则混合后的酒精和水的体积之比是多
少?
A.31:9 B.7:2 C.31:40 D.20:11
【天字1号解析】参考答案A。
体积相同,这就要求我们把两个比例3:1 和4:1变成“和”同比例。代表着体积相同。因此
实际上是招3+1=4和4+1=5的最小公倍数2 0,
因此3:1=15:5, 4:1=16:4,这样和相同,即酒精和水的比例就是15+16:5+4=31:
9了。

例题63:甲车以每小时160千米的速度,乙车以每小时20千米的速度,在长为210千米的
环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次,甲车减速13,而乙车则增速
13。问: 在两车的速度刚好相等的时刻,它们共行驶了多少千米?【05北京】
A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310
【天字1号解析】参考答案A。
像这样的行程问题,比例法是最佳的解答方法。
首先我们确定需要几次相遇速度相等,我们先 来看需要多少次相遇才能速度相等:160×(23)
的N次方=20×(43)的N次方,N代表了次 数
解得N=3,说明第三次相遇即达到速度相等
第一次相遇前:
开始时速度是 160:20=8:1,用时都一样,则路程之比=速度之比=8:1,每一次相遇则
路程之差为一圈的 距离,所以8-1=7,对应一圈的距离即210,所以2人路程之和是210÷7×
(8+1)=27 0
第二次相遇前:
速度比是甲:乙=4:1 用时都一样,则路程之比=速度之比=4:1,所以4-1=3,等于一
圈的距离对应的比例,即210 ,所以这个阶段2人路程之和是 210÷3×(4+1)=35
第三次相遇前:
速度比是甲:乙=2:1 用时都一样,则路程之比=速度之比=2:1,所以2-1=1对应的是一圈的比例即210,所以第3阶段2人路程之和是210÷1×(2+1)=630 ,
则总路程是 270+350+630=1250。

下面将会通过一些习题来巩固一下:
习题1:为了把2008年北京奥运办成绿色奥运,全国 各地都在加强环保,植树造林。某单
位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树,现运 回一批树苗,已知一条
路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米,若每隔4米栽一棵,则少275 4棵;若每隔5
米栽一棵,则多396棵,则共有树苗()。【06国考】
A. 8500棵 B. 12500棵 C. 12596棵 D. 13000棵
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[天字1号解析]
植树的间隔数量之比是间距比的反比即5 :4,即按照5米植树比按照4米植树少了5-4=1
个比例点即对应396+2754=3150个间 隔数量。 因此5米间距的间隔数量为3150*4=
12600,因为间隔数量与树的颗数关系是四 条边+4,即树苗为12600+396+4=13000棵。

习题2:甲、乙两个容器均有50 厘米深,底面积之比为 5 : 4,甲容器水深 9 厘米,乙容器
水深 5 厘米.再往两个容器各注入同样多的水,直到水深相等,这时两容器的水深是:【07
国考】
A.20厘米 B . 25厘米 C . 30厘米 D .35厘米
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[天字1号解析]
水深相等,即后来假如 的水是相等的体积,那么,后来假如的水的高度刚好可以弥补最初的
差值9-5=4cm的高度。因此体 积相同的情况下,底面积和高度成反比,即高度为4:5,1
个比例点差距即差4cm,因此后来增加的 高度分别是4*4=16cm和4*5=20cm,选择任
意一个均可计算结果,16+9=25cm或 者20+5=25cm

习题3:A、B 两站之间有一条铁路,甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站,甲火车 4 分钟
走的路程等于乙火车 5 分钟走的路程.乙火车上午8 时整从B 站开往A站,开出一段时问
后,甲火车从 A 站出发开往 B 站,上午 9时整两列火车相遇.相遇地点离A、.B两站的距
离比是15:16.那么.甲火车在()从 A 站出发开往 B 站.【07国考】
A .8时12 分 B .8时15 分 C .8 时 24 分 D . 8 时 30 分
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[天字1号解析]
根据已知条件:V甲:V乙=5:4。如果同时开出,那么相同的时间内相 遇,甲乙路程之比
=速度比=5:4, 实际距离比为15:16,我们以乙走1时(8:00~9: 00)为参照时间,
那么5:4=20:16 对照15:16,我们发现甲少走了20-15=5个 比例点,相当于如果完整
走1小时的5/20=1/4 因此可知甲时从8:15分开始出发的。

习题4:某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单,如果每天加工50双,要比原计< br>划晚3天完成,如果每天加工60双,则要比原计划提前2天完成,这一订单共需要加工多
少双旅 游鞋?( )【08北京】
A.1200双 B.1300双 C.1400双 D.1500双
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[天字1号解析]
每天效率50,和每天效率60的效率之比5:6,则所需时间之比为6: 5,相差1个比例点
对应的数值为3+2=5天。因此,如果按照50的效率需要的时间为6*5=30 天,答案为
30*50=1500双。

习题5:有20名工人修筑一段公路,计划 15天完成。动工3天后抽出5人去其他工地,其
余人继续修路。如果每人工作效率不变,那么修完这段 公路实际用()【10广东】
A.19天 B. 18天 C.17天 D.16天
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[天字1号解析]
简单的判断时选项中差3天 的2个选项,因为这个题目别忘了前面有3天之后才调整人数的。
因此要注意+3,这样在AD当中我们 应该考虑的时19。比例法:我们的不变的量在于3天
之后的工作量,因为人数减少5人,那么效率比为 20:(20-5)=4:3,那么时间比为3:
4,即12:16,因此多出4天完成,因此总时间就 多出4天,即15+4=19天。

习题6:小明每天早晨6:50从家出发,7:20到校 ,老师要求他明天提早6分钟到校。如
果小明明天早晨还是6:50从家出发,那么,每分钟必须比往常 多走25米才能按老师的要
求准时到校。问:小明家到学校多远?
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[天字1号解析]
在路程固定的情况下,时间最初时30分钟,后来提速后要求时30-6= 24分钟,时间比为
30:24=5:4,那么速度比为时间反比=4:5,相差1个比例点对应25米 。因此可知最初
速度为25*4=100,故而答案为100*30=3000米。
习题7: 王师傅要加工一批零件,若每小时多加工12个零件,则所用的时间比原计划少19;
若每小时少加工1 6个,则所用的时间比原来多35小时.这批零件有多少个?
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[天字1号解析]
不变的量时工作总量,则时间和效率成反比。
每小时多加工12个:则时间比为8:9(9是原计划时间)则原效率:现在效率=9:8 相差
1个比例点对应12,则原效率=12*8=96。
每小时少加工16个:即每小时加工 80个,那么效率之比为80:96=5:6,则时间之比为6:
5,差1个比例点对应3/5小时。那 么原计划时间为5*3/5=3小时。零件数量为3*96
=288个。
习题8:一辆汽车以 每小时40千米的速度从甲城开往乙城,返回时它用原速度走了全程的4
分之3多5千米,再改用每小时 30千米的速度走完余下的路程,因此,返回甲城的时间比
前往乙城的时间多用了10分钟,甲、乙两城 相距多远?
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[天字1号解析]
来回都是相同的路程,时间 的差别就在于最后改为每小时30千米速度的这段余下路程所多
出10分钟,因此就以这段余下的路程为 研究对象。
速度比40:30=4:3,则时间比3:4,差1个比例点对应10分钟,因此原速度走 剩下的这
段路程需要30分钟。即40*0.5=20千米。因此全程的1/4=20+5,即答案为2 5*4=100
千米。

习题9:某工程由小张小王两人合作刚好可以在规定的时间 里完成,如果小张的工作效率提高
20%,那么两人只需要用规定时间的910来完成工程,如果小王的 工作效率降低25%,那么两
人就需要延迟2.5小时来完成工程.问规定的时间是多少?
A.20小时 B.24小时 C.26小时 D.30小时
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[天字1号解析]
小张提高20% 即原效率:提高后的效率=5:6, 而原计划时间:提高效率后的时间=10:
9,我们知道效率和 之比=时间反比,即效率和之比=9:10。变化只有1个比例点,恰恰时
小张的变化量(也是一个比例 点:6-5=1),因此可以假设用5代表小张最初的效率,那
么小王最初的效率就是9-5=4。
根据第二个条件。小王降低25%,则原效率:降低后的效率=4:3, 那么效率之和比=9:(5+3)=9:8,则原计划时间:降低后的时间=8:9,差1个比例点对应2.5小时。原计
划时间是8个比例点,即答案为2.5*8=20小时
3、恒值比例法应用介绍

恒量比例法是比例问题当中一个比较突出的问题,在我们研究的比例关系中,如果某一个量
是恒定的, 他从头到尾都没有发生变化,那么我们就可以利用这样的一个对象所代表的比例
点来求解。一般情况下, 这种恒量对象在不同的情况下所代表的比例点不同,这个时侯我们
就要学会把这些不同的比例点化为相同 的数值来代替,这就可以建立不同的比例参照标准之
间的联系。

下面我们就通过几道真题来研究一下关于恒量比例关系的运用。

例题63:一种 溶液,蒸发掉一定量的水后,溶液的浓度变为10%,再蒸发掉同样多的水后,
溶液浓度变为12%,第 三次蒸发掉同样多水后,溶液浓度将变为多少?【09国考】
A.14% B.17% C.16% D.15%
【天字1号解析】参考答案D。
这个题目中“恒量”对象就是溶质,因为我们的溶质一直没有变化,而溶剂水在不断减少,
那么我们抓住溶剂的比例关系来寻找突破,第一次,溶质质量:溶液质量=10:100, 第二次,溶
质质量:溶液质量=12:100
这个时侯我们只需要将这两次代表溶质的比例点 10和12都变为相同的数值,这样就可以找
出这2个比例的关系。10:100=12:120, 我 们就发现溶液代表的比例点数值减少了120-
100=20,说明被蒸发了20的水。那么再次这样的 操作,即溶液质量就剩下80了。因此答案
是1280=15%.
例题64:一个袋子里放着 各种颜色的小球,其中红球占四分之一,后来又往袋子里放了10
个红球,这时红球占总数的三分之二, 问原来袋子里有多少小球?【08安徽】
A.8 B.16 C.20 D.44
【天字1号解析】参考答案A。
此题的变化情况发 现了一个“恒量”:非红色球(数量没变),刚开始非红色球:总数=3:4,再放进
10个红球后,非 红色球:总数=1:3, 则两个比例关系中的3和1均代表非红色球,寻找相同比
例点代替即最小公倍数3, 3:4和3:9, 我们发现总数增加了5个比例点即对应增加的10这个
数值,因此每个比例点就是105=2个。总数最 初的比例点是4,即答案为4*2=8个。

例题65:有银铜合金10公斤,加入铜后, 其中含银2份,含铜3份。如加入的铜增加1倍,
那么银占3份,铜占7份,试问初次加入的铜是多少公 斤?【09北京】
A.3 B.4 C.5 D.6
【天字1号解析】参考答案C。
此题中“恒量”是银的重量,第一次加入铜后,银: 铜=2:3,第二次加入铜后,银:铜=3:7,比例关
系中2和3均代表银,最小公倍数是6,我们统 一用6在2个比例关系中表示银,即2:3=6:9,
3:7=6:14,则可以看出铜增加了14-9 =5个比例点。那么第一次增加也是5个比例点,则第一
次之前9-5=4、因此第一次之前总共重量是 4+6=10个比例点对应10公斤,则1个比例点是
1公斤,答案每次是增加5个比例点即答案为5.

4、“凑变”比例关系

“凑变”关系是在上面讨论的基础上进一步 拓展开来的。数学不是算术,不仅仅是数值之间的
加减乘除,就好比逻辑里面一样,逻辑不可能单纯考你 几个逻辑对象之间是什么关系,逻辑
还会考察几种逻辑关系之间的是什么样的关系。同样数学也是如此, 除了对某一些特定对象
的数值进行分析之外,我们还需要能够对数学题目中数学关系与数学关系之间的联 系。说到
恒量关系比例法中,就要谈到的某一种关系的不变,然后利用这种恒定的比例关系切入题目,< br>要得到一种恒量比例关系,以后需要我们对题目进行适当的调整,使之满足题目理想状态的
一种比 例关系,这就是“凑变”的过程。通过这个“变”进而求解。

下面我们来看几个例题:

例题66:目前某单位女职工和男职工的人数之比为1:30。如果女职工的人数增加5人, 男
职工的人数增加50人。则两者之比变为1:25,则目前女职工的人数是( )人。【09上海】
A.8 B.10 C.15 D.25
【天字1号解析】参考答案C。
此题我们选择了一种“恒量”关系,那就是1:30,现在女 职工和男职工增加人数之比并不是
1:30,这个时侯就需要“凑变”,那么我们可以让男职工多增加1 00人,这样就是1:30,
其结果也就是1:30,而实际情况是1:25,减少了30-25=5个 比例点就对应这100个男
职工了,所以每个比例点就是20人。注意这个地方求出来的1个比例点是关 于最后形成的
1:30的比例点。也就是说女职工是在增加5人之后构成的1个比例点,即原来女职工人 数
是20-5=15人。

例题67:有黑白棋子一堆,黑子的个数是白子的2倍 ,如果从这堆棋子中每次同时取出黑
子4枚,白子3枚。问:几次以后,白子余1枚,黑子余18枚?
A.6 B.7 C.8 D.9
【天字1号解析】参考答案C。
题目涉及2个对象黑白棋子,题目没有告诉我们一个关于两个 未知数的总量固定值,而只是
告诉我们一个相对关系,即黑子是白子的2倍,那么我们就需要以这个关系 做为假设的关键
参照,比如我们每一次操作是拿掉黑子4枚,白子3枚。如果操作拿掉黑白子的数量也按 照
2:1的关系拿掉。那么剩余的棋子的数量之比也是2:1,利用这样的关系,黑子拿掉4个
不变,则要满足2:1的关系,即白子必须是拿掉2个。比实际情况少拿1个,我们剩余的
棋子就应该是 18:9=2:1,结果白子不是剩余9个,而是剩余1个,少了8个,那是因为
我们每一次操作多拿了 1个,所以少了8个白子,即应为前面操作了8次。



[天字专题]“牛吃草”类型问题介绍
牛吃草的问题
近年来的公务员考试出现了一 些较难的“牛吃草”问题,具有一定难度,需要引起考生重视。
我们先把这类问题所涉及到的量做一个分 析,“牛吃草”涉及到这样几个量:场地最初草的总
量a,草增加的量为b,草地草长速度k,m头牛n 天所吃的总草量c。则存在以下关系:
(1).a+b=c. (2). c=m×n (3). b=k×n (一头牛一天所吃草量为1个单位参照计算)。
解决这类问题的关键点是主要抓住草每天 的增长速度这个变量。至于其原本有多少不是我们
关心的内容,为什么这么说,因为在我们计算的时候, 实际上是根据差值求草长速度,那么
原有的草量都是一样的,在差量关系当中是被完全抵消的。
例题196:牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,可供15
头牛 吃10天。供25头牛可吃几天?
A.4 B.5 C.6 D.7
【天字1号解析】参考答案B。
设原有草量为A,草场每天生长的草量为B,每头牛每天吃的 草量为单位1,则可列出如下
两个方程:A+20×B=10×20;A+10×B=15×10;解得 B=5,A=100。再设25头牛可吃x天,
则可列方程:A+5x=25x。解得x=5天。 我们对比1和2两个等式,两者相减其实A就被抵消了。A表示的就是原始的草量,因此
我们可以直 接用差量关系来做。我们假设草长速度每天是a,这里所计算的所有数值的单位
均用一头牛一天所吃的草 量为1个单位。
10×20-15×10=(20-10)×a 解得a=5,再次假设25头牛需要 t天吃完。构建同样的差量关系,
可以任意选一种情况:10×20-25t=(20-t)×5 解得t=5。
例题197:有一池泉水,泉底均匀不断地涌出泉水。如果用8台抽水机10小时能把全 池泉
水抽干或用12台抽水机6小时能把全池泉水抽干。如果用14台抽水机把全池泉水抽干,则
需要的时间是【09江苏】
A.5小时 B.4小时 C.3小时 D.5.5小时
【天字1号解析】参考答案A。
按照上述例题的方法,采用差量法运算,假设水涌出的速度为 a,8×10-12×6=(10-6)×a 解得
a=2,假设用14台抽水机需要t小时,8×10 -14t=(10-t)×2,解得x=5小时。
例题198:一个水库在年降水量不变的情况下,能 够维持全市12万人20年的用水量,在该
市新迁入3万人之后,该水库只够维持15年的用水量,市政 府号召节约用水,希望能将水
库的使用寿命提高到30年。那么,该市市民平均需要节约多少比例的水才 能实现政府制定
的目标? 【09国家】
A.14 B.27 C.13 D.25
【天字1号解析】参考答案D。
12万人吃20年;15万人吃15年。则(12×20-1 5×15)÷(20-15)=3,这就是每年的降水量。如
果15万人需要30年,则每年15万人需 要节约k系数的水,则:
(1-K)×(15×30)-15×15=3×(30-15).解得1-K=35;K=25。
当然,从节约原则来看,节约的越多越好,不妨直接考虑最大节约系数选项。


[天字专题]十字交叉法介绍

我们常说的十字交叉法实际上是十字交叉相比法, 它是一种图示方法。十字交叉图示法实际
上是代替求和公式的一种简捷算法,它特别适合于两总量、两关 系的混合物的计算(即2—2
型混合物计算),用来计算混合物中两种组成成分的比值。
十字交叉法最初源自于化学学科的一种方法。是关于溶液浓度计算的,于是很多应试者都
认为这个方法是 针对溶液浓度类型的题目。此种说法是比较狭隘的观点。只要符合我们对十
字交叉法的基本定义和认识, 不管什么类型,只需满足十字交叉法的基本条件都可以使用。
接下来我们通过一个例题来说明其原理。

例题172:甲乙两个班级在一次数学模拟测试中平均成绩为80分,已知甲班的平均成绩为
72分,乙班的平均成绩为86分。则甲班人数与乙班人数之比为( )
A. 3:1 B. 1:3 C. 3:4 D. 4:3

【天字1号解析】参考答案C。
通过最简单的二元一次方程组先做个详细分析,假设甲班有a 人,乙班有b人。那么,两个
班级的总分数=平均分×总人数。80×(a+b)=72a+86b 转 换得到(80-72)×a=(86-80)×b,进而得
到a:b=(86-80):(80-72) =3:4。
通过上述的推导,我们发现两者人数之比
实则是各自的平均数与整体平均数的差值的反比。图解表现形式上:
甲班:72 86-80
80
乙班:86 80-72
十字交叉相比法就是因此图解形式而得名,十字交叉法一定是一个整体部分被分割成2个集
合,且2个集合的各自属性和整体的平均属性之间的关系构成十字交叉法的基础条件。如上
述例 题,甲乙2个班级是一个整体,他们有一个整体平均属性为平均成绩,同时这个整体又
分为甲、乙两个部 分,且各自有跟整体相同的属性-平均分。

关于十字交叉法的注意事项,大家需要注意三点:
(1). 十字交叉法既可以是诸如浓度之类的百分比的相减,也可以是实际数值的相减
(2). 表现形式是构成各自对象的属性值与整体的属性值关系的差值反比。
(3). 所得到的比例是反应这 些比值或者数值所对应的基数(参照数)的比例。也就是说,我
们看整体平均分=总分总人数,甲班平均 分=甲班总分甲班人数,乙班平均分=乙班总分
乙班人数。平均分是
相对于各班人数 而言。换个理解方式就是看我们应用在十字交叉法当中的属性值在求解通式
中对应的分母是什么。如这里 的分母是人数,因此最终的比例就是人数只比。

关于十字交叉法还有一些衍生规律,我们也有必要做一个了解,这样有助于考生快速判断答
案。
(1).当整体属性值偏向(靠近)某一个局部属性值,则该局部属性值所参照的基数比例点就
大。反之,当整体属性值远离某一个局部属性值,则该局部属性值所参照的基数比例点就小。
如上述例题 ,整体属性值80跟72和86相比,靠近86,那么86代表的乙班人数就多。
(2). 根据十字交叉法的表现形式: a:b=(p1-p):(p-p2),演化为a+b=(p1-p)+(p-p2)=p1-p2,
这里我们发现当两个局部的属性值相减差值所反映的就是比例点之和的倍数。如此例题86
-72=14 ,且属性值之间的差值为整数,则即可看出14=2×7,即比例点和不是2就是7,
即考虑CD选项。
下面我们通过几个例题来具体分析十字交叉法的应用。
例题173:某体育训练中心,教练员 中男占90%,运动员中男占80%,在教练员和运动员
中男占82%,教练员与运动员人数之比是() 【06江苏】
A. 2:5 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:5

【天字1号解析】参考答案C。
教练员中男性:90% 82-80=2
总人数中男性: 82%
运动员中男性:80% 90-82=8
因此教练员:运动员=2:8=1:4
这里90%=教练员男性人数教练员人数, 80%=运动员男性人数运动员人数,分母是关于教
练员人数和运动员人数的,所以最终的反比是关于他们的一个比值。
当然我们可以利用衍生的规律来 看,靠近运动员即运动员比例点大,其次90-80=10,因此,
比例点之和为10的因子,只有C选 项1+4满足。

例题174:某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2% ,其中本科毕业生比上年
度减少2%,而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年毕业 的本科生有()
【07国考】
A. 3920人 B. 4410人 C. 4900人 D. 5490人

【天字1号解析】参考答案C。 < br>整体属性是整体增长率为2%,其中2个局部是本科毕业生增长率为-2%,研究生毕业的增
长率 为10%,增长率的计算方式是2006年局部的增长率=2006年人数-2005年人数2005年
人数。因此通过十字交叉法得到的是2005年的人数只比,这里要留心。

2006年本科毕业生增长率:-2% 10-2=8
2006年总毕业生增长率: 2%
2006年研究生毕业生增长率:10% 2-(-2)=4
因此得到2005年本科毕业生:2005年研究生毕业生=8:4=2:1。接下 来我们通过估算来解决,
7650相比较去年只增长2%,可估算为7500来计算,这样2005年的 本科毕业生就是5000
人,则2006年减少2%即为5000×(1-2%)=4900,接近49 00的即为正确答案。
此题看到很多资料说是秒杀看49的倍数,事实上只是C选项容易直接看出49 的倍数,而A、
B、C均为49的倍数,这种判断方式是想当然了。

例题175: 某单位共有A.B.C.三个部门,三部门人员平均年龄分别为38岁,24岁,42岁,
A和B两部门 人员平均年龄为30岁,B和C两部门人员平均年龄为34岁,该单位全体人
员的平均年龄为多少岁?【 11国考】
A.34 B.36 C.35 D.37

【天字1号解析】参考答案C。
此题有2个十字交叉过程,如AB之间 ,BC之间,我们逐个分析,先观察AB之间的十字
交叉:
A: 38 30-24=6
AB: 30
B: 24 38-30=8
则AB人数之比为6:8=3:4,再看BC之间的十字交叉:
B: 24 42-34=8
BC: 34
C: 42 34-24=10
则BC人数之比为8:10=4:5,因此A:B:C=3:4:5,这是人数之比 ,要计算整体平
均年龄,[(3×38+4×24+5×42](3+4+5), 尾数计算法,得到尾数是02 不是0就是5,故而选C。

例题176:校长去机票代理处 为单位团购票10张,商务舱定价1200元张,经济舱定价700
元。由于买的数量多,代理商给予优 惠,商务舱按定价的9折付钱,经济舱按定价6折付钱,
如果他付的钱比按定价少31%,那么校长一共 买了经济舱几张()【10江苏】
A.6 B.7 C.8 D.9
【天字1号解析】参考答案C。
商 务舱和经济舱打折相当于百分比,即9折=现在购买总价原定总价,题目给出整体打折
为1-31%=6 9%,商务舱和经济舱分别是90%和60%,则根据十字交叉法所得比例应该是
关于原定总价的比例
商务舱:90% 69-60=9
整体: 69%
经济舱:60% 90-69=21
因 此,商务舱原价总价:经济舱原价总价=9:21=3:7,则数量之比为(31200):(7700)=1: 4,即得
到购买经济舱票数=10×4(1+4)=8张。






[天字专题]等差数列中的连续自然数极值问题应用探讨

关于连续自然数这样一种最简单的等差数列形式,在国家公务员考试中是每年必考的知识点 。
具体的应用特性,我想通过国家公务员考试的一组试题来介绍。
例题81-1:现有21朵 鲜花分给5人,若每个人分得的鲜花数各不相同,则分得鲜花最多的
人至少分得( )朵鲜花。【05国考B类】
A.7 B.8 C.9 D.10
【天字1号解析】参考答案A。
要问最多的人至少分得多少花,则就是说我要让其 他人在满足条件的情况下尽可能分得
多一些。这样剩下来的就最少了。那么要得其他人分得花尽可能多, 那么就要跟最大值接近。
因此其他所有的值都跟最大值靠近。但因为条件必须要求各不相同所以这就构成 了连续自然
数。我们来看215=4...1 根据和除以项数=中间数。因此这样一个数列就是2,3,4,5,6 ,
还有一个余数,这个余数要分 给某一个人必须保证相加之后的结果不会出现重复。因此余数
只能分给最大值。即6+1=7,答案就是 7了。
注:不管最后余数是多少。如果要求最大值至少是多少。其数列最大值只增加1。原因是:余数可以平均分配。将前n个人分别增加1。如:2,3,4,5,6 这样一个连续自然数,现
在 余数是3,那么是不是最大值就是6+3=9了呢?当然不是。我们可以这样分配。
2,3,4+1,5+1,6+1. 因此答案还是7.

例题81-2:五人的体 重之和是423斤,他们的体重都是整数,并且各不相同。则体重最轻
的人,最重可能重()。【06国 考B类】
A.80斤 B.82斤 C.84斤 D.86斤
【天字1号解析】参考答案B。
此题和上面一题基本相似,只不过这里问的是最 轻的人最重是多少。相当于问最小值最大是
多少。那么我们同样也就是尽量给其他人分配少一点,这样剩 余就最多。因此所有的其他数
值均向最小值靠拢。即构成连续自然数。4235=84....3, 因此该自然数序列为82,83,84,
85,86. 对于余数3,我们在上面分析中已经强调过只能 给最大值分配。而对最小值是无影
响的。所以答案就是82.
注:不管最后余数是多少。如果要求最少值最多是多少,其余数可以不管。
例题82:100 个人参加7个活动,每人只能参加一个活动,并且每个活动的参加人数都不一
样,那么参加人数第四多的 活动最多有多少人? 【09年国考】
A.22 B.21 C.24 D.23
【天字1号解析】参考答案A。
此题和上述题目基本类似。要得第四多活动参考人 数最多,则其他活动参加的人数尽可能少。
参考82-2例题,提问基本相同,通常只有当最小值才会问 最大是多少,最大值会问最少是
多少。我们完全可以把第四多活动置于一个最小值情境下。即就只看前四 名满足这样的要求。
后面3名尽可能少就为1,2,3人前四名之和为100-1-2-3=94人。这 样基本构成和82-2
的题目一样类型了。944=23.5 即中间2项是23和24,这组序列是22,23,24,25 .没有
余数。则第四名最多是22.
到这里我们差不多看出一些特点了。这类问题通常结合了项的值必须是整数且均不相同的要
求, 另外对于2种提问方式:最小值最多是多少,最大值最小是多少。我们要能够就具体题
目“搭建”适合提 问的环境。
例题83:某机关20人参加百分制的普法考试,及格线为60分,20人的平均成绩为8 8分,
及格率为95%。所有人得分均为整数,且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多
少分? 【10国考】
A.88 B.89 C.90 D.91
【天字1号解析】参考答案B。
题目跟我们想象中的一样:得分是整数且各不相同这些条件都 满足。看提问“排名第十的人
最低考了多少分”。也就是说根据我们上述总结。我们要把第十名置于一个 最大值来看,才
能求解它的最小值。那么前1~9名的得分就要尽可能大。即从100分~92分。而题 目也交
代有一个不及格,不及格的也要尽可能多即为59分。这样剩下来的第10~第19名就是一个连续自然数序列。满足我们理想的讨论模式。
总分是20×88=1760. 去掉前1~9名成绩和:96*9=864. 这样我们可以求出10~19名的成绩
和为1760-864-59=837. 根据上述题型解答方式83710=83.5 余数是2. 因此自然数序列
最大值是84+4=88. 因此答案就是88+1=89.
当然我们也可以围绕平均数做修正。假设第十名是88分即平均分。那 么前九名和11~19
名这2组相互围绕平均数比较多出92-88+1=3分即总共多出3×9=27 分。而不及格的人
59分比平均数少了29分。还差2分,这就要求我们的第十名和第九名做出调整各+ 1.即满
足89分。
习题:254个志愿者来自不同的单位,任意两个单位的志愿者人数之和 不少于20人,切任
意两个单位志愿者人数不同,问这些志愿者所述单位最多有几个?【10-4.25 联考】
A17 B 15 C 14 D12

【天字专题】关于页码问题的分类总结

页码与页数问题
页码页数问题也有很多不同类型,我们会分类来讨论这几种类型。
根据页码字数求解页数
根据页数求解含特定的页码字数
求解缺失的页码

对于这三个类型,接下来我通过三个例题介绍一些方法给大家。
【08国家】编一本书的书页 ,用了270个数字(重复的也算,如页码115用了2个1和1个
5共3个数字),问这本书一共有多 少页?
A.117 B.126 C.127 D.189
【解答】答案为B。可以直接计算,也可以粗略估计。
①1到9,共有9个个位数合计1×9=9个数字;
②10到99共有90个两位数合计2×90=180个数字;
剩下的都是三位数的,270 -180-9=81个三位数。也就是说这样的三位数有81÷3=27个。
注意这里的三位数是从10 0开始的,序号是0开始。因此答案应该是100+27-1=126。
也可以通过简单方程的方法来 解答。假设这本书有a页。那么所有页码都有个位数,也就是
说有a个个位数,除了1~9,其它的页码 都有十位数,因此有a-9个十位数。同理1~99
没有百位数,因此有a-99个百位数。即构成等式 为:
a+(a-9)+(a-99)=270 解得a=126。

【例题】
(1) 699页的书页码当中含有多少2?
(2) 699页码的书有多少不含2的页码?
(3) 699页的书有多少含2的页码?

问题(1):可以采用排列组合来做,我们将这1~999个数字按照这样的方式来看首先 001 表
示1,我们把百位、十位、个位单独来看百位是2:主要是取决于十位和个位的选择情况,
十位 有0~9 这十个数字可选择,个位有0~9十个选择即 10×10=100个。
十位是2:百位的选择是0~6,即7种选择,个位0~9这10个数字选择,即 7×10=70 个位
是2:百位的选择是0~6,即7种选择,十位0~9 这10个数字选择,即和十位是2的情况
一样 7×10=70 答案是 100+70×2=240个。

问题(2):这个题目跟(1)不一样,求的是页码,比如 说522这个页码虽然含有2个2,
但是这是一个页码。这个题目我们同样采用排列组合每个位置不是2 的种类选择,即都是
0~9 排除2, 9个数字可以选择,所以不含2的页码是 6×9×9=486 但是当三个位置都是0
时,即表示为0,页码当中没有0页码,所以最终答案是 486-1=485个页码不含2。

问题(3):借助上述问题(2)做法,含2的页码就是 699-485=214个页码。

注:例如
522
是含有
2

2


当百位是
0
十位是
2
个位是
2
的时候


022
表示的是页码
22



【 例题】一本书在算页码总和的时候有连续5页重复加了1次,算出的总和为5115。则重
复计算的5页 最大的页码是()
A.11 B.12 C.14 D.15
【解答】答案为D。这类问题属于连续自然数求和的问题,在页码问题当中也再次强调一下。
我们假设有N个页码,那么其页码之和为N×(N+1)÷2;求和是小于5100的。因此我们
只需求 出最接近5100的数。
N×(N+1)÷2<5115 解得N最大为100页。 (熟悉打百子的人知道 1~100的和为5050)
也就是说 多出了65. 即是5页的和 因此 这5页最大值655=13即中间项 所以五页中的最大
页码是13+2=15.





【分享】关于页码使用数字个数的问题演变解答分析

在了解这个题目之前我先从我的专题里面挑出一道题目让大家了解一下

2. 王先生在编一本书,其页数需要用6869个字,问这本书具体是多少页?
A.1999 B.9999 C.1994 D.1995
―――――――――――――――――――――――――
【天字一号解析】
这个题目是计算有多少页。
首先要理解题目
这里的字是指数字个数,比如 123这个页码就有3个数字
我们通常有这样一种方法。
方法一:
1~9 是只有9个数字,
10~99 是 2×90=180个数字
100~999 是 3×900=2700个数字
那么我们看剩下的是多少
6869-9-180-2700=3980
剩下3980个数字都是4位数的个数
则四位数有 39804=995个
则这本书是 1000+995-1=1994页
为什么减去1
是因为四位数是从1000开始算的!

方法二:
我们可以假设这个页数是A页
那么我们知道,
每个页码都有个位数则有A个个位数,
每个页码除了1~9,其他都有十位数,则有A-9个十位数
同理: 有A-99个百位数,有A-999个千位数
则: A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869
4A-1110+3=6869
4A=7976
A=1994
了解了这个题目之后,我对于一本书使用多少个页码 数字应该有了一个大概的印象,下面就
来看QZZN网友讨论的一个题目!
将所有自然数,从 1开始一次写下去得到:111213.........,试确定第206788个
位置上出现的数字 ?
A3 B0 C7 D4
----------------
这个题目大家仔细玩味一下 发现其实这206788 就是这本书使用的页码字数
根据上述公式通过对206788的判断可以知道这个连续自然数最后一个数字应该是万位数
则我们根据上述解法的第2个解法来做
实际上跟书页数字个数一样的题目
A+(A-9)+(A-99)+(A-999)+(A-9999)=206788
5A-(9+99+999+9999)=206788
A=43578 余数是4
说明 206788位置上的数就是第43579的第4个数字就是7





【天字专题】关于容斥原理A+2B+3T公式的理解与运用

容斥原理类型的题目的难点就在于在运算的时候,计数的重复,遗漏问题。容斥原 理的基
本思想:先不考虑重叠的情况,把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来,然后再把
计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结既无重复也无遗漏。
这种类型是目前国家、 各地区公务员考试的“常客”题型,对于大部分应试者来说,还是比
较头痛的一种类型。因此大家需要认 真去对待掌握。特别是对于基础的图形模型要了然于胸。
容斥原理类型我们一般通过两种方法 去解决,公式法和韦恩图解法。图解法是通过画图来
求解,相信大家都能做到,这里介绍的一下公式法。
核心公式:
(1)两个集合的容斥关系公式:
A+B=A∪B+A∩B
(2)三个集合的容斥关系公式:
A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

另外还将下面另外一种方程式的公式,首先请参考下图,通过一个例题来理解。


【例题】假设有100人参加了三个兴趣小组。其中参加数学兴趣小组的有55人,参加语文
兴 趣小组的有65人,参加英语兴趣小组的有70人,同时参加语文和数学兴趣小组的人数是
31人,同时 参加数学和英语兴趣小组的人数是40人,同时参加语文和英语兴趣小组的有25
人,则三个兴趣小组都 参加的人数是多少人?
(1) A+B+T=总人数(无重叠)
(2) A+2B+3T=至少参加其中一个兴趣小组的人数(含重叠部分)
(3) B+3T=至少参加两个兴趣小组的人数(含重叠)
这里介绍一下A、B、T分别是什么
A =x+y+z;表示只参加一个兴趣小组的人数,在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠
的部分。 < br>B=a+b+c;表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数,是图中两两相交的部分总和(不含
中间 的T区域)
T=全部都参加的人数。也就是图形当中最中间的部分T。
例题通过公式有如下解法:
(1) A+B+T=100;
(2) A+2B+3T=55+65+70=190
(3) B+3T=31+40+25=96
实际上我们要求的是T, (1)+(3)-(2)=T。即得到答案T=100+96-190=6

【09国家】如 图所示,X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片,覆
盖住桌面的总面积是 290,其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、
36,那么阴影部分的面积是 :
A.15 B.16 C.14 D.18


【解答】答案为B。这就是典型的容斥原理图 形。求解的阴影面积即为三个集合都相交的区
域。根据公式
(1) A+B+T=290
(2) A+2B+3T=64+180+160=404
(3) B+3T=24+70+36=130
(1)+(3)-(2)=T=290+130-404=16 故答案是16

【09江苏】某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查,有89人看过
甲片,有 47人看过乙片,有63人看过丙片,其中有24人三部电影全看过,20人一部也没
有看过,则只看过 其中两部电影的人数是
A.69人 B.65人 C.57人 D.46人 【解答】答案为D。根据公式,此题要求的实际上是B,剔除没有看电影的人数,也就是说
没有参与 这个集合的人数20人,实际参与这个集合的人数是125-20=105人
(1) A+B+T=105
(2) A+2B+3T=89+47+63=199
(3) T=24
B=(2)-(1)-2T=199-105-48=46

【例题】甲、乙、丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有
人解出。只有一人解出的题叫做难题,只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容
易题 ,则难题比容易题多()题?
A.6 B.5 C.4 D.3
【解答 】答案为C。稍微整理一下题目,难题也就是三个圆圈中不参与重叠的部分,也就是
公式当中的A所表示 的;中等题目是只重叠过1次,也就是公式当中的B,简单题则是公
式当中的T。
(1) A+B+T=20
(2) A+2B+3T=12×3=36
要求解的是A-T=?;通过上述两个表达式变型可得到:
(1)×2-(2)=A-T=20×2-36=4 故此题选C。


【分享】利用“中间项”概念解决一类方阵变型问题
对于方阵我们要有一个基本认识,实则是 一个等差数列,公差为8的等差数列,为什么是8
呢是因为方阵有4条边相邻层之间每边差2个,故而是 公差为8.
对于方阵求和我们基本的求和公式不讲了主要介绍一种叫做项数*“中间项”=和解法运用。
当项数是奇数时,如:1,2,3,4,5,6,7 那么中间数就是4,也就是第四项。
当项数是偶数时,如:1,2,3,4,5,6 那么中间项数就是介于3,4之间为3.5 也就是
3.5项虽然没有这种叫法,但是理论上可以。
下面我们看2个例题:
若干 个人排成一个7层空心方阵,现在要改为一个11层的空心方阵每层需要减少16人,则
总共有多少人?
A.616 B.560 C.550 D.420
这个题目我们技巧的东西不多讲,你们可 以根据中间数*项数=和可知项数分别可以是7和
11,即7和11的倍数。来快速求解。
这 里我们来具体运用求解。我们知道每层减少16人,则最初的7层就减少了16*7人。那么
我们把这些 人重新构建成新的四层。则在最里面。即从里面往外看就是
16*74=28人是里面四层的中间项即2.5项 11层的中间项是第6项相差3.5项这个等差数列
公差是8 则11层的第6项就是28+3.5*8=56
故而答案根据中间项*项数=56*11=616
在看一题:
有若干人,排成一个空心的四层方阵。现在调整阵型,把最外边一层每边人数减少 16人,
层数由原来的四层变成八层,则共有()人?
A、160 B、1296 C、640 D、1936
此题同样的道理:每层每边减少16人,那么说明每层减少16*4=64 人。从4层变成8层,
也就是新增四层即里面的四层。
故而共计减少了64*4个人全部用于 里面四层新建。则从里往外看,第2.5层就是64*44=64
人。而8层的中间项是4.5层。相差 2层,故而根据公差8
可得知8层的“中间项”4.5层=64+2*8=80人。据此可得到答案 80*8=640人











【总结】关于排列组合讲义新篇(2009-2-19编写)
一、排列组合定义

1、什么是C
公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列(即不排序)。
例 如:编号1~3的盒子,我们找出2个来使用,这里就是运用组合而不是排列,因为题目
只是要求找出2 个盒子的组合。即C(3,2)=3

2、什么是P或A
公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列(即排序)。
例如:1~3,我们取出2个数字 出来组成2位数,可以是先取C(3,2)后排P22,就构成
了 C(3,2)×P(2,2)=A(3,2)

3、A和C的关系
事实上通过我们 上面2个对定义的分析,我们可以看出的是,A比C多了一个排序步骤,
即组合是排列的一部分且是第一 步骤。

4、计算方式以及技巧要求
组合:C(M,N)=M!÷( N!×(M-N)!)条件:N<=M
排列:A(M,N)=M!÷(M-N)!条件:N<=M < br>为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求,我需要大家能够熟练的掌握1~7的
阶乘, 当然在运算的过程中,我们要学会从逆向思维角度考虑问题,例如C(M,N)当中
N取值过大,那么我 们可以看M-N的值是否也很大。如果不大。我们可以求C(M,[M
-N]),因为 C(M,N)=C(M,[M-N])

二、排列组合常见的恒等公式
1、C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+……+C(n,n)=2^n
2、C(m,n)+C(m,n+1)=C(m+1,n+1)
针对这2组公式我来举例运用

(1)有10块糖,假设每天至少吃1块,问有多少种不同的吃法?
解答:C(9,0)+C(9,1)+……+C(9,9)=2^9=512

(2 ),公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画,按照要求,甲比乙多选1副,
且已知甲按照 要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法之和为70,求,甲挑选了多少副参
加展览?
C(8,n)=70 n=4 即得到甲选出了4副。

三、排列组合的基本理论精要部分(分类和分步)

(1)、加法原理(实质上就是 一种分类原则):一个物件,它是由若干个小块组成的,我们
要知道这个物件有多重,实际上可以分来算 ,比如,我们知道每一个小块的重量,然后计算
总和就等于这个物件的重量了,这就是我们要谈的分类原 则。排列组合当中,当我们要求某
一个事件发成的可能性种类,我们可以将这个事件分成若干个小事件来 看待。化整为零,
例如:7个人排座位,其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。 我们可
以看,
第一类情况:甲坐在左边,乙坐在右边,其他人随便坐,A(5,5)
第二类情况:甲坐在右边,乙坐在左边,其他人随便坐,A(5,5)
我们分别计算出2种情 况进而求和即得到答案。这就是分类原则。这样就是A(5,5)+A
(5,5)=240

(2)、乘法原理(实质上就是一种分步原则):做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第
一 步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的
方法,那么完成 这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.
例如: 7个人排座位,其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法,按照分步原则,
第一步:我们先对甲乙之外的5个人先排序座位,把两端的座位空下来,A(5,5)
第二步:我们再排甲乙,A(2,2)
这样就是 A(5,5)×A(2,2)=240

如何区分两个原理:
我们知道分类原则也就是加法原则,每一个分类之间没有联系 ,都是可以单独运算,单独成
题的,也就是说,这一类情况的方法是独立的,所以我们采用了加法原理。 要做一件事,完
成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理; < br>我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只
有将分 成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.说
明其每一个步骤之间 都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。
这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来

(3)特殊优先,一般次要的原则

例题:
(1)从1、2、3、……、 20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等
差数列有___个。
第一步构建排列组合的定义模式,如果把数学逻辑转换的问题。

(2)在一块并排 的10垄田地中,选择二垄分别种植A,B两种作物,每种种植一垄,为有
利于作物生长,要求A,B两 种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有______种。
第一类:A在第一垄,B有3种选择;
第二类:A在第二垄,B有2种选择;
第三类:A在第三垄,B有一种选择,
同理A、B位置互换,共12种。

(3)从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析:显然本题应分步解决。
(一)从6双中选出一双同色的手套,有C(6,1)种方法;
(二)从剩下的5双手套中任选2双,有C(5,2)种方法。
(三)这2双可以任意取出其中每双中的1只,保证各不成双;
即 C(6,1)*C(5,2)*2^2=240

(4)身高互不相同的6个人排成2横行3 纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的
人个子矮,则所有不同的排法种数为_______。
分析:每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而每一纵列的排队方
法只 与人的选法有关系,共有三纵列,从而有C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)=90种。

四、解决排列组合问题的策略

1、逆向思维法:我们知道排列组合都是对一个元素 集合进行筛选排序。我们可以把这个集
合看成数学上的单位1,那么1=a+b 就是我们构建逆向思维 的数学模型了,当a不利于我
们运算求解的时候,我们不妨从b的角度出发思考,这样同样可以求出a= 1-b。
例题:7个人排座,甲坐在乙的左边(不一定相邻)的情况有多少种?
例题:一个正方体有8个顶点我们任意选出4个,有多少种情况是这4个点可以构成四面体
的。
例题:用0,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )
A.24个 B.30个 C.40个 D.60个

2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略:
(1)无关型:两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集
例题:用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?
(2)包含型:两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系
例题:用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?
P55×-P44=120-24=96
用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?
25,50 (3×3×2×1)+P4,4=18+24=42
(3)影响型:两个特殊位置上可取的元素既有相同的,又有不同的。
例题:用1,2,3, 4,5这五个数字,可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复
数字的五位数有多少个?

3、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略
例题: 平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直,则它们构成的矩形共有________
个。 简析:按构成矩形的过程可分为如下两步:第一步.先在4条平行线中任取两条,有C4取
2种取法 ;第二步再在5条平行线中任取两条,有C5取2种取法。这样取出的四条直线构
成一个矩形,据乘法原 理,构成的矩形共有6×10=60个
4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略
对于排列与组合的混合问题,可采取先选出元素,后进行排列的策略。
例:4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子,则恰有一个空盒的放法有___种。144

5、插板法
插板法的条件构成: 1元素相同,2分组不同,3必须至少分得1个
插板法的类型:
(1)、10块奶糖分给4个小朋友,每个小朋友至少1块,则有多少种分法 ?(典型插板法
点评略)
(2)、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法?(凑数插板法: 这个题目对照插板法的3
个条件我们发现至少满足1个这个条件没有,所以我们必须使其满足,最好的方 法就是用
14块奶糖来分,至少每人1块,当每个人都分得1块之后,剩下的10块就可以随便分了,< br>就回归到了原题)
(3)、10块奶糖放到编号为1,2,3的3个盒子里,每个盒子的糖数量 不少于其编号数,
则有几种方法?(定制插板法:已然是最后一个条件不满足,我们该怎么处理呢,应该 学会
先去安排使得每个盒子都差1个,这样就保证每个盒子必须分得1个,从这个思路出发,跟
第二个例题是姊妹题思路是一样的对照条件想办法使其和条件吻合!)
(4)、8块奶糖和另外3个不 同品牌的水果糖要放到编号为1~11的盒子里面,每个盒子
至少放1个,有多少种方法?(多次插空法 这里不多讲,见我排列组合基础讲义)

6、递归法(枚举法)
公考也有这样的类型,排错信封问题,还有一些邮票问题
归纳法:
例如:5封信一一对应5个信封,其中有3个封信装错信封的情况有多少种?

枚举法:
例如:10张相同的邮票分别装到4个相同的信封里面,每个信封至少1张邮票,有 多少种
方法?
枚举:
1,1,1,7
1,1,2,6
1,1,3,5
1,1,4,4
1,2,2,5
1,2,3,4
1,3,3,3
2,2,2,4
2,2,3,3
9种方法!

五、疑难问题

1、如何验证重复问题
2、关于位置与元素的相同问题,
例如: 6个人平均分配给3个不同的班级,跟 6个学生平分成3组的区别
3、关于排列组合里面,充分运用对称原理。
例题: 1,2,3,4,5 五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数?
例题:7个人排成一排,其中甲在乙右边(可以不相邻)的情况有多少种?
注解:分析2种对立情况的概率,即可很容易求解。当对立情况的概率相等,即对称原理。

4、环形排列和线性排列问题。(见我的基础排列组合讲义二习题讲解)
例如:3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。问有多少种方法?
例如:3对夫妇围坐在圆桌旁,男女间隔的坐法有多少种?
注解:排列组合中,特殊的地方在 于,第一个坐下来的人是作为参照物,所以不纳入排列的
范畴,我们知道,环形排列中每个位置都是相对 的位置,没有绝对位置,所以需要有一个人
坐下来作为参照位置。

【分享】排列组合基础知识及习题分析

在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式!
C5取3=(5×4×3)(3×2×1) C6取2=(6×5)(2×1)
通过这2个例子看出
CM取N 公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。以取值N
的阶层作为分母

P53=5×4×3 P66=6×5×4×3×2×1
通过这2个例子
PMN=从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N=M时即M的阶层

排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的
各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有二:
其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”;
其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”.

分类: “做一件事,完成它可以有n类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分
类时,首先要根据 问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;
其次,分类时要注意满足两条基 本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②
分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

分步:“做一件事,完成它需要分成n个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分
成n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设
置要 满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后,这件事才算最终完成.

两个原理的区 别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n
类办法彼此之间是相互独立 的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事,求完
成这件事的方法种数,就用加法原理;如 果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需
要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一 个步骤各有若干种不同的方法,求完
成这件事的方法种类就用乘法原理.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点:
1.有限制条件的排列问题常见命题形式:
“在”与“不在”
“邻”与“不邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:
⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处
理相邻最常用的方法.
⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.
⑶“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置.
⑷元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后,利用规定顺序的实情求
出结果.
2.有限制条件的组合问题,常见的命题形式:
“含”与“不含”
“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.
3.在处理 排列、组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重、不漏,按事
件的发生过程分步,正确 地交替使用两个原理,这是解决排列、组合问题的最基本的,也是
最重要的思想方法.
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提供10道习题供大家练习
1、三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为( C )
(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个
------------ ------------------------------------------
【解析】
根据三角形边的原理两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
可见最大的边是11
则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时是两边之和最大的时候
因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11,则另外一个边的长度是11,10,9,8,7,6,。。。。。。1
如果为10 则另外一个边的长度是10,9,8。。。。。。2,
(不能为1 否则两者之和会小于11,不能为11,因为第一种情况包含了11,10的组合)
如果为9 则另外一个边的长度是 9,8,7,。。。。。。。3
(理由同上,可见规律出现)
规律出现总数是11+9+7+。。。。1=(1+11)×6÷2=36


2、
(1)将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投法?
---------- --------------------------------------------------
【解析】每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信,有3种可
能性 。接着再放第2封,也有3种可能性,直到第4封,所以分步属于乘法原则即3×3×3×3
=3^4

(2)3位旅客,到4个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法?
-------- -------------------------------------------------- ---
【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系不够成分类关系。属于分步关系。如:我们先安排第一个旅客是4种,再安排第2个旅客是4种选择。
知道最 后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系即 4×4×4=4^3

(3)8本不同的书,任选3本分给3个同学,每人一本,有多少种不同的分法?
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【解析】分步来做
第一步:我们先选出3本书即多少种可能性 C8取3=56种
第二步:分配给3个同学。 P33=6种
这里稍微介绍一下为什么是P33 ,我们来看第一个同学可以有3种书选择,选择完成后,
第 2个同学就只剩下2种选择的情况,最后一个同学没有选择。即3×2×1 这是分步选择符
合乘法原则。最常见的例子就是 1,2,3,4四个数字可以组成多少4位数?也是满 足这样
的分步原则。用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压
缩。
所以该题结果是56×6=336

3、七个同学排成一横排照相.
(1)某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种?(3600)
---------------------------------------------
【解析】
这个题目我们分2步完成
第一步:先给甲排应该排在中间的5个位置中的一个即C5取1=5
第二步:剩下的6个人即满足P原则 P66=720
所以总数是720×5=3600

(2)某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种?(1440)
------- ------------------------------------------
【解析】
第一步:确定乙在哪个位置排头排尾选其一 C2取1=2
第二步:剩下的6个人满足P原则 P66=720
则总数是 720×2=1440

(3)甲不在排头或排尾,同时乙不在中间的不同排法有多少种?(3120)
- --------------------------------------------------
【解析】特殊情况先安排特殊
第一种情况:甲不在排头排尾并且不在中间的情况
去除3个位置剩下4个位置供甲选择 C4取1=4,剩下6个位置先安中间位置即除了甲乙2
人,其他5人都可以即以5开始,剩下的5个位置满足P原则即5×P55=5×120=600 总数
是4×600=2400
第2种情况:甲不在排头排尾,甲排在中间位置
则剩下的6个位置满足P66=720
因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即 2400+720=3120

(4)甲、乙必须相邻的排法有多少种?(1440) -----------------------------------------------
【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人,7个位置变成6个位置,即分步讨论
第1:选位置 C6取1=6
第2:选出来的2个位置对甲乙在排即P22=2
则安排甲乙符合情况的种数是2×6=12
剩下的5个人即满足P55的规律=120
则最后结果是 120×12=1440

(5)甲必须在乙的左边(不一定相邻)的不同排法有多少种?(2520)
------- ------------------------------------------------
【解析】
这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的 。所以
我们不考虑左右问题则总数是P77=5040 ,根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数
是5040÷2=2520

4、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数.
(1)能组成多少个四位数?(300)
----------------------- ---------------------------------
【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0。则只有5种可能性
接下来3个位置满足P53原则=5×4×3=60 即总数是 60×5=300

(2)能组成多少个自然数?(1631)
---------------------- -----------------------------------
【解析】自然数是从个位数开始所有情况
分情况
1位数: C6取1=6
2位数: C5取2×P22+C5取1×P11=25
3位数: C5取3×P33+C5取2×P22×2=100
4位数: C5取4×P44+C5取3×P33×3=300
5位数: C5取5×P55+C5取4×P44×4=600
6位数: 5×P55=5×120=600
总数是1631
这里解释一下计算方式比如说2位数: C5取2×P22+C5取1×P11=25
先从不是0的5个数字中取2个排列即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中
选一个和0搭配成2位数即C5取1×P11 因为0不能作为最高位所以最高位只有1种可能

(3)能组成多少个六位奇数?(288)
---------------------------------------------- -----
【解析】高位不能为0 个位为奇数1,3,5 则先考虑低位,再考虑高位即 3×4×P44=12×24
=288

(4)能组成多少个能被25整除的四位数?(21)
----------------- -----------------------------------
【解析】能被25整除的4位数有2种可能
后2位是25: 3×3=9
后2位是50: P42=4×3=12
共计9+12=21

(5)能组成多少个比201345大的数?(479)
---------------- --------------------------------
【解析】
从数字201345 这个6位数看是最高位为2的最小6位数所以我们看最高位大于等于2的6
位数是多少?
4×P55=4×120=480 去掉 201345这个数即比201345大的有480-1=479

(6)求所有组成三位数的总和. (32640)
---------------------------------------------
【解析】每个位置都来分析一下
百位上的和:M1=100×P52(5+4+3+2+1)
十位上的和:M2=4×4×10(5+4+3+2+1)
个位上的和:M3=4×4(5+4+3+2+1)
总和 M=M1+M2+M3=32640



5、生产某种产品100件,其中有2件是次品,现在抽取5件进行检查.
(1)“其中恰有两件次品”的抽法有多少种?(152096)
【解析】也就是说被抽查的5件中有3件合格的,即是从98件合格的取出来的
所以即C2取2×C98取3=152096

(2)“其中恰有一件次品”的抽法有多少种?(7224560)
【解析】同上述分析,先从2件次品中挑1个次品,再从98件合格的产品中挑4个
C2取1×C98取4=7224560

(3)“其中没有次品”的抽法有多少种?(67910864)
【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5=67910864

(4)“其中至少有一件次品”的抽法有多少种?(7376656)
【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1种的
C100取5-C98取5=7376656

(5)“其中至多有一件次品”的抽法有多少种?(75135424)
【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的
C100取5-C98取3=75135424

6、从4台甲型和5台乙型电视机 中任意取出3台,其中至少要有甲型和乙型电视机各1台,
则不同的取法共有()
(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种
------------- -------------------------------------------
【解析】根据条件我们可以分2种情况
第一种情况:2台甲+1台乙即 C4取2×C5取1=6×5=30
第二种情况:1台甲+2台乙即 C4取1×C5取2=4×10=40
所以总数是 30+40=70种

7、在50件产品中有4件是次品,从中任抽5件,至少有3件是次品的抽法有__种.
-- -------------------------------------------------- ---
【解析】至少有3件则说明是3件或4件
3件:C4取3×C46取2=4140
4件:C4取4×C46取1=46
共计是 4140+46=4186

8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这
三项任务, 不同的选法共有( C )
(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种
---------------------------
【解析】分步完成
第一步:先从10人中挑选4人的方法有:C10取4=210
第二步:分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1=6×2×1=12种情况
则根据分步原则乘法关系 210×12=2520

9、12名同学分别到三个不 同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方
案共有__
C(4,12)C(4,8)C(4,4)
___种
------------------------
【解析】每个路口都按次序考虑
第一个路口是C12取4
第二个路口是C8取4
第三个路口是C4取4
则结果是C12取4×C8取4×C4取4
可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P3 3吗其实不是这样的在我们从12人中任意
抽取人数的时候,其实将这些分类情况已经包含了对不同路的 情况的包含。如果再×P33 则
是重复考虑了
如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则 情况又不一样因为我们在分配人数的时候考
虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况所以在上述结 果的情况下要÷P33
10、在一张节目表中原有8个节目,若保持原有节目的相对顺序不变,再增加 三个节目,求
共有多少种安排方法? 990
------------------------
【解析】
这是排列组合的一种方法叫做2次插空法
直接解答较为麻烦,故可先用一个节目去插9个空位 ,有P(9,1)种方法;再用另一个节目去
插10个空位,有P(10,1)种方法;用最后一个节目 去插11个空位,有P(11,1)方法,由乘法
原理得:所有不同的添加方法为P(9,1)×P(1 0,1)×P(11,1)=990种。
另解:先在11个位置中排上新添的三个节目有P(11,3 )种,再在余下的8个位置补上原有的
8个节目,只有一解,所以所有方法有P311×1=990种。

【讨论】由3,4,5,11,14浅谈如何认识数字推理

3,4,5,11,14,()
A104,B105 C106 D107
-------------
这个题目,相信大家都看到了刚才有个帖子的讨论。楼主没有给出选项以至于产生了很多的
讨论
绝大多数人认为27比较正规或者是最符合正确的。

首先就这个题目
3^2-4=5
4^2-5=11
5^2-11=14
11^2-14=107

而27的做法是
3+4-2=5
4+5+2=11
5+11-2=14
11+14+2=27

首先我需要说明的是 大家在练习做数字推理的时候,其认识上不能有一些另类想法。虽< br>然现在的题目不乏另类的题目。但国考才是王道 考试还是很具有科学性的。
27这个结论我并不认为具有合理性首先这是一个摇摆数理即加减2,这应该是成组出现
的 现在只有1组即推出第2组显然缺乏规律普骗性的依据。
在寻找规律的时候,我们必须遵循规 律的固有的性质:规律的普遍性和延续性。在这几年
公务员考试的过程当中,数字推理的题型发生了很大 的变化,从最初简单的等比,等差,差
值的数字特性规律渐渐发展到了复合运算,隔项运算,移动运算, 甚至是数字本身拆项运算
这样复杂的规律。但其规律的基本性质还是必须遵循的,一组数列一般需要满足 三项已知的
规律状态,从而推导出第四项数字规律。 但就目前公务员考试的题目中来讲这样的情况一
般是很少发生的,除非是具备特殊性,这里所谓的特殊性是具有复杂的复合运算构成的规律,
可 以是两项推导出第三项

例如:
2,3,13,175,()
解:
2×2+(3的2次方)=13
3×2+(13的2次方)=175
推导出:
13×2+(175的2次方)=30651

切忌谨慎不实用的规律我大体上说一下(数字推理中)
1、数字中文笔画(图形推理可以有)
2、自残法(例如 83-8-3=72 这种做法是非常愚蠢的 因为任何数减去自身各个位置上
的数字其结果都是9的倍数,83,86,87,88,89 都是一样)
3、余数组合规律(比如0,0,2,0,0,? ) 不过可以是余数都是相同的或者更多组合
说明规律,判断余数跟判断奇偶性实则是类似性质 慎用!
4、首尾法 在国考里面到目前位置尚未出现。我个人认为国考不会采用这种规律考察大家。
因为这个所谓的规律是具有无法延展性的。


【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析
所谓临界点问题 我们也可看作是青蛙跳井问题, 这类问题的特征是 将2次具有结果上互
斥(相反)的操作看作1组操作的运算

例如典型的青蛙跳井,每跳上去5米会滑下来3米 5米和3米的2个结果对应的操作就是
互斥操作。

对于这样的类型问题 其考查的要点是: 我们最终要求的结果有可能是在某一组互斥操作的
上半部分的操作时就已经达到目 的或者说已经完成任务。如果仍然看作一组来结果就会使其
从到达目的得位置上被互斥操作得另一个相反 操作给拖回去。所以不对最后一组临界点情况
做提前判断就容易产生结果变大得情况!

下面我们结合3个例题来看这个类型的题目!

例一: 一个数是20 现在先加30,再减20,再加30 ,再减20,反复这样操作 请问至少
经过多少次操作结果是500?
---------------------------------
我们先找最后一组达到500的临界点也就是我们把+30,-20 2次操作看作1组,我们必
须看+30的时候是否能够达到500

先找临界点
最后一次增加是需要+30 基数是20 每一组操作是增加10
那么计算是这样的(500-30-20)10=45 组 也就是说经过45组即90次操作达到了470
答案就是91次

例二:小明的爸 爸在高山上工作,那里的气温白天和夜晚相差很大,他的手表由于受气温的影
响走得不正常,白天快12 分钟,夜里慢13分钟,他10月1日白天对准时间,问到哪一天手表
正好快5分钟?( )
A 10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日
--------------------------
我们知道白天和晚上为一组即一天 整体情况是可以块12-13=16分钟
要得结果是快5分钟 即我们必须最后一个白天情况进行判断
即我们找出临界点是 5-12=4.5天
按照每天快16 则要快4.5天需要4.5(16)=27天 这时候我们发现此时再加上一个白天
即可完成 说明经过了28天快了5分钟
答案就是10月28日。

例三:机场上停着10架飞机,第一架起飞后,每隔4分 钟就有一架飞机接着起飞,而在第
一架飞机起飞后2分钟,又有一架飞机在机场上降落,以后每隔6分钟 就有一架飞机在机场
上降落,降落在飞机场上的飞机,又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么,从第 一架飞
机起飞之后,经过多少分钟,机场上第一次没有飞机停留?
A 104 B 108 C 112 D 116
-------------------------------
这个题目类似于“青蛙 跳井”问题,我们不能直接求最终结果,否则我们会忽略在临界点状态
的一些变化。
碰到这种问题首先就是求临界点是在什么时候发生,发生时的状况怎么样。这样才好判断。
例如“青蛙跳井”问题, 10米深的井,青蛙每次跳5米就会下滑4米。问几次能够跳上来。
这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口!也就是说我们只需研究到
青蛙跳到10 -5=5米的地方,这里都是常规计算(10-5)(5-4)=5次。最后一次的时候我
们就无需考虑 下滑了因为已经到顶了。
同样这个题目很多人做出116分钟,其原因就是犯了这个错误。我们必须先求临界点。
所谓的临界点就是
当机场剩下1架飞机的时候
假设是N分钟剩下一架飞机!
N4 +1= (N-2)6 + 1 +(10-1)
为什么两边都+1 那是因为这是植树问题。从0分钟开始计算的所以要多加1次
解得N=104分钟
所以我们知道104分钟的时候是临界点飞机场只有1架飞机没有起飞。
当108分钟的时候,飞机起飞了。而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候,
所以从108~110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象!
答案应该选B


【讨论】半径为25厘米的小铁环沿着半径为1米的大铁环的内侧

半径为25厘米的小铁环沿着半径为1米的大铁环的内侧做无滑动的滚动,当小铁环沿大铁
环滚动一周回 到原位时,小铁环自身转了多少圈?
A、1 B、2 C、3 D、4

此题选C 3圈
理解了原理就很简单 主要看小圆圆心运动的轨迹
内侧运动是一个圆圆半径是100-25=75 所以是3个小圆
外侧运动是一个大圆圆半径是100+25=125 是5个小圆
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这个问题我在另外的一个帖子上看到过各种讨论,但是没有看到合理的解释
这题目如果要从理论上证明,可以这样分析:
一。首先要明确,小环上任意一点的速度V1是 圆心速度V0和该点相对圆心的速度V2(也
就是自转的线速度)的叠加
(用公式来表示就是V1=V0+V2。这几个V都是矢量,不了解的可以不管)
所以,我们 要计算小环自传了多少角度,必须用相对速度V2来计算,而不能拿接触点的运
动速度来计算。
但怎么计算这个V2呢,先来看一个简单的例子(见下图)。我们在平地上放一个环,让
它以V0作匀速直线运动,某一时刻这个环的最高点A的运动速度为V1 ,则在该时刻,A
点是以环 和平面的切点B为圆心,AB为直径在作转动,而且根据角速度相等,可以知道,
V1=2V0; 那么A相对圆心O的速度V2=2V0-V0=V0; 换句话就是说,小环自转的线速度就
是等于圆心 的运动速度。这个结论可以推广到小环在大环上运动的情况,因为平面可以看作
是半径无限大的圆,其实 是一样的。




二。知道了V2=V0,就可以来看角度的关 系了,设小环自传了θ2度,圆心转了θ0度,小环半
径r,圆心运动半径R,则
θ2θ0=ω2ω0=(v2r)(V0R)=Rr
在这题中,Rr=(100-25)25=3 那么θ2=3*θ0=3*360度=3圈
如果是换成在外面运动,那么Rr=(100+25)25=5 那么θ2=5*θ0=3*360度=5圈


【经验分享】浅谈mn(m+n)公式的由来(盐水交换问题)
有甲乙两杯含盐率不同的盐水 ,甲杯盐水重120克,乙杯盐水重80克.现在从两杯倒出
等量的盐水,分别交换倒入两杯中.这样两 杯新盐水的含盐率相同.从每杯中倒出的盐水是
多少克?
公式: mn(m+n)=120*80(120+80)=48
公式的由来是通过2个十字交叉法得到的
你假设交换的部分是a克盐水
假设120克的盐水浓度是P1, 80克的盐水浓度是P2, 交换混合后相同的浓度是P
那么对于120克的盐水来讲建立十字交叉法

120-a(P1) P-P2
P
a(P2) P1-P

我们得到

(120-a):a=(P-P2):(P1-P)

那么对于80克的盐水来讲建立十字交叉法

80-a(P2) P1-P
P
a(P1) P-P2

我们得到
(80-a):a=(P1-P):(P-P2)
根据这2个比例的右边部分我们可以得到
(120-a):a=a:(80-a)
化简得到 a=120×80(120+80) 说明跟各自的浓度无关!

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补充方法:
因为2种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将2种溶液直接混合 ,在按照比例分开成
2部分。
所以我们假设交换了a克
a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例 跟原始的参照质
量也是同一比例。

(120-a)a=12080 a=48克
或者
(80-a)a=80120 a=48克


【开会时间分针时针互换问题】新题型的2道问题的解析

小王去开会,会前会后都看了表,发现前后时钟和分钟位置刚好互换,问会开了1小时几分
()
A.51 B 49 C47 D45

这个题目我刚才做了一下我是这么做的
分针时针互换
因为时间不超过2小时也就是说。分针转动的时间不超过120分钟
我们根据位置互换,可以发现时针走的度数+分针走的度数是360度×n
要得在大于1小时小于2小时则 n=2
根据路程之和可知2者的路程是360×2=720度
答案是 720÷(6+0.5)=1小时51分钟(估算值)
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会议开始时,小李看了一下表,会议结束时,又看了一下表,结果分针与时针恰好对调了位置.
会议在3 点至4点之间召开,5点至6点之间结束,请问会议何时召开?
【解析】
首先可以确定顺时针方向分针在时针的前面。否则时针要转大半圈才能到达分针的位置。
其次可以发现分针时针走的路程之和是 360度×N 因为时间是控制在1~2个小时内则N=2
720÷(6+0.5)=144013分钟 说明会议时间是这么多分钟
根据时间的比例 开始时的分针是5~6之间说明时针在3~4之间还没有过半即最后分针停留
的位置应该不超过17~1 8分钟
那我们按照5点17分-144013分钟应该是3点26分钟左右



【讨论】裴波纳契数列的另类运用(补充完整了)
先说典型的裴波纳契数列:
裴波纳契数列 就是移动求和A+B=C
因为第一个月这对小兔长成大兔所以第一个月还是1对 即A从1开始。第2个月开始剩下
一对小兔 合计2对 B从2开始。
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
小明家住二层,他每 次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16
级台阶,那么小明从一层到二层共 有多少种不同的走法?
A:54 B:64 C:57 D:37
-------------------
这个题目刚刚看到讨论我也用排列组合的办法参与了讨论 现在我再来说说裴波纳契数列的
解法
楼梯级数:1,2,3,4,5,6........
走法情况:0,1,1,1,2,2........
这是一个裴波纳契的间隔运用 因为他没有走1步的情况
即A+B=D
0,1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37
在举例1题 :小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈一级,两级或三级台阶。已知
相邻楼层之间有10级台 阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
因为是1,2,3级都可以所以可以采用
A+B+C=D的裴波纳契数列变式!
列举前3个 分别是1,2,3
则 10个是 1,2,4,7,13,24,44,81,149,274
练习题目:小明家住二层, 他每次回家上楼梯时都是一步迈一级或三级台阶。已知相邻楼层
之间有10级台阶,那么小明从一层到二 层共有多少种不同的走法?



【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析
所谓临界点问题 我们也可看作是青蛙跳井问题, 这类问题的特征是 将2次具有结果上互
斥(相反)的操作看作1组操作的运算

例如典型的青蛙跳井,每跳上去5米会滑下来3米 5米和3米的2个结果对应的操作就是
互斥操作。

对于这样的类型问题 其考查的要点是: 我们最终要求的结果有可能是在某一组互斥操作的
上半部分的操作时就已经达到目 的或者说已经完成任务。如果仍然看作一组来结果就会使其
从到达目的得位置上被互斥操作得另一个相反 操作给拖回去。所以不对最后一组临界点情况
做提前判断就容易产生结果变大得情况!

下面我们结合3个例题来看这个类型的题目!

例一: 一个数是20 现在先加30,再减20,再加30 ,再减20,反复这样操作 请问至少
经过多少次操作结果是500?
---------------------------------
我们先找最后一组达到500的临界点也就是我们把+30,-20 2次操作看作1组,我们必
须看+30的时候是否能够达到500

先找临界点
最后一次增加是需要+30 基数是20 每一组操作是增加10
那么计算是这样的(500-30-20)10=45 组 也就是说经过45组即90次操作达到了470
答案就是91次

例二:小明的爸 爸在高山上工作,那里的气温白天和夜晚相差很大,他的手表由于受气温的影
响走得不正常,白天快12 分钟,夜里慢13分钟,他10月1日白天对准时间,问到哪一天手表
正好快5分钟?( )
A 10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日
--------------------------
我们知道白天和晚上为一组即一天 整体情况是可以块12-13=16分钟
要得结果是快5分钟 即我们必须最后一个白天情况进行判断
即我们找出临界点是 5-12=4.5天
按照每天快16 则要快4.5天需要4.5(16)=27天 这时候我们发现此时再加上一个白天
即可完成 说明经过了28天快了5分钟
答案就是10月28日。

例三:机场上停着10架飞机,第一架起飞后,每隔4分 钟就有一架飞机接着起飞,而在第
一架飞机起飞后2分钟,又有一架飞机在机场上降落,以后每隔6分钟 就有一架飞机在机场
上降落,降落在飞机场上的飞机,又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么,从第 一架飞
机起飞之后,经过多少分钟,机场上第一次没有飞机停留?
A 104 B 108 C 112 D 116
-------------------------------
这个题目类似于“青蛙 跳井”问题,我们不能直接求最终结果,否则我们会忽略在临界点状态
的一些变化。
碰到这种问题首先就是求临界点是在什么时候发生,发生时的状况怎么样。这样才好判断。
例如“青蛙跳井”问题, 10米深的井,青蛙每次跳5米就会下滑4米。问几次能够跳上来。
这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口!也就是说我们只需研究到
青蛙跳到10 -5=5米的地方,这里都是常规计算(10-5)(5-4)=5次。最后一次的时候我
们就无需考虑 下滑了因为已经到顶了。
同样这个题目很多人做出116分钟,其原因就是犯了这个错误。我们必须先求临界点。
所谓的临界点就是
当机场剩下1架飞机的时候
假设是N分钟剩下一架飞机!
N4 +1= (N-2)6 + 1 +(10-1)
为什么两边都+1 那是因为这是植树问题。从0分钟开始计算的所以要多加1次
解得N=104分钟
所以我们知道104分钟的时候是临界点飞机场只有1架飞机没有起飞。
当108分钟的时候,飞机起飞了。而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候,
所以从108~110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象!
答案应该选B



【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析

在说这2 道关于“插板法”的排列组合题目之前,我们需要弄懂一个问题:
插板法排列组合是需要什么条件下才可以使用?这个问题清楚了,我们在以后的答题中 就
可以尽量的变化题目使其满足这个条件。

这个条件就是: 分组或者分班等等 至少分得一个元素。 注意条件是 至少分得1个元素!
好我们先来看题目,

例题1:某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出,共演出18个节目,如果每个年
级至少演出4 个节目,那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种?
-------------------------------
【解析】
这个题目是Q友出的题目,题目中是不考虑节目的不同性你可以视为18个相同的节目不区
分!

发现3个年级都是需要至少4个节目以上! 跟插板法的条件有出入,插板法的条件是至少
1个,这个时候对比一下,我们就有了这样的思路,为什么我们不把18个节目中分别给这3
个 年级各分配3个节目。
这样这3个班级就都少1个,从而满足至少1个的情况了
3×3=9 还剩下18-9=9个
剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。 9个节目排成一排共计8个间隔。分别选取其
中任意2个间隔就可以分成3份(班级)!
C8取2=28
练习题目:
有10个相同的小球。分别放到编号为1,2,3的盒子里 要使得每个盒子的小球个数不小于
其编号数。那么有多少种放法?
------------ ---------------------------
----
【解析】
还 是同样的原理。每个盒子至少的要求和插板法有出入那么我们第一步就是想办法满足插板
法的要求。
编号1的盒子是满足的至少需要1个,
编号2至少需要2个,那么我们先给它1个,这样就差1个
编号3至少需要3个,那么我们先给它2个,这样就差1个
现在三个盒子都满足插板法的要求了 我们看还剩下几个小球?
10-1-2=7
7个小球6个间隔再按照插板法来做 C6,2=15种!

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本文更新与2020-12-26 18:38,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/489234.html

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