高等数学极限概念引入探究及极限求解方法-教育文档

2021年1月14日发(作者：鞠杰)
高等数学极限概念引入探究及极限求解方法

一、极限概念的引入
关于极限概念的引入，很多高等数学的教材采用求圆的周长
的例子，这本身是一个很好的例子，但总是用 同一个例子，缺乏
创新性，并且，也缺乏趣味性，也非常“数学性”。教学过程中，
本人发现， 学生在理解极限的概念时，往往存在困难。为了让学
生更好地理解极限的概念，本人考虑了以下几个例子 ，通过多次
的教学实践，收效不错。以下将这些例子详细陈明。
（一）超导体
一般材料在温度接近绝对零度的时候，物体分子热运动几乎
消失，材料的电阻趋近于0，此 时称为超导体，达到超导的温度
称为临界温度。随着各国代代科学家的不懈努力，能实现超导现
象的材料陆续被发现，发生超导现象的温度逐渐提高。超导材料
的用途非常广阔，如超导发电机、磁流体 发电机、超导输电线路、
超导计算机、超导天线、超导微波器件、磁悬浮列车和热核聚变
反应堆 等。这里主要涉及两个变量，一个是温度，用T表示，另
一个是电阻，用R表示，并且温度是自变量，电 阻是因变量。通
过控制材料的温度，使它的温度不断降低，在这个过程中，该被
测材料的电阻不 断改变，当温度降低到临界温度时，材料的电阻
变为零。电阻为零是一个确定的数值，不再是变量，这是 控制温
度到临界温度时，所得的极限值。以上过程用数学符号表示为：
■R（T）=0。R（T ）是变量，但是加上极限符号■之后，■R（T）
是一个确定的量，在这个例子中，极限等于0。
（二）配件组装
日本本田的摩托车和汽车配件是在零下十几度组装的，买来后，大多数使用环境都是在零度以上，金属热胀冷缩的属性使得
本田汽车和摩托车非常牢固。这里主 要涉及两个量，一个是温度
T，另一个是金属的体积V。温度T是自变量，体积V是因变量，
当 环境温度改变时，金属的体积也跟着改变。装配时，零部件金
属在零下十几度时，设此时温度为T1，受 冷收缩，设此时的体
积为V（T1），可以表示为■V（T）＝V（T1）；装配好的成品
在常 温下使用时，设常温为T2，此时，金属体积为V（T2），可
以表示为■V（T）＝V（T2）。其中 T1＜T2，V（T1）＜V（T2）。
V（T）是变量，但是加上极限符号之后■V（T）和■V（T ）就称
为一个确定的量，分别记为V（T1）和V（T2）。
（三）忍无可忍
每个人的忍受力是有限度的。再好脾气的人，也会有忍无可
忍之时。设晓明受到小宝的欺负 ，晓明忍气吞声，就这样一天、
两天，一个月、两个月……一年、两年.……，再好的脾气终有
爆发的一天。这件事上，主要涉及两个变量，一个是时间，一个
心情。时间是自变量，心情是因变量。设 时间为t，心情为f。
当晓明处于忍受小宝的过程中，他即便没有爆发，心情却不能说
是好的， 而是不断地在积蓄能量，这个能量当然是负能量，也就
是f（t）是个变量。但是，当晓明忍无可忍而爆 发的那一时刻，
记这一时刻为t0，心情状态已经发生了质的变化，原先可以看
上去和气，但是 这爆发的一刻，恐怕至少怒目相视了，甚至动起
手脚，把这个爆发的状态记为F，可以表示为■f（t） ＝F。即f
（t）是一个变量，但是加上极限符号■之后，■f（t）就是一
个极限的状态，是 一个确定的量。
（四）尺缩效应
爱因斯坦的广义相对论解释了物体以光速运动 ，在地面上的
人看那以光速运动的物体的长度变短了，这就是著名的尺缩效
应。当运动物体的速 度不够大时，地面上的人用肉眼是不容易察
觉到尺缩效应的，但是它却是真实存在的。这里主要讨论两个 变
量，一个是速度，记作v，另一个是物体的长度，记作l，速度
v是自变量，物体长度l是因 变量。随着物体运动速度v不断增
加，l不断变小，即l（v）是一个变量。物体的最大运动速度是光速c，当物体加速到光速c时，其长度也达到了极限值■l（v），
这个极限值是一个确定的数， 记为l0，即■l（v）=l0。
二、极限的求解
以上对极限概念的理解有所 帮助，都是通过控制自变量、因
变量最终达到一个极限值。但是，要特别提出的是，极限有时存
在，有时是不存在的。存在时，极限值是一个确定的量；不存在
的时候，又有多种情况，有时是因为极限 为无穷大，有时是因为
存在两个极限值，即极限不唯一，有时是因为遇到震荡极限。下
面将通过 具体的例子来说明极限的求解。下面给出的例子，尽量
简单明了，更注重的是方法的理解。遇到比较复杂 的例子，只要
把它们转化成下列各类型加以处理即可。
（一）连续函数求极限
1.特别地，常值函数
■c=c。（其中x0可以是一个有限量，也可以是无穷大量）
例1.■8=8；
例2.■3=3；
2.一般的连续函数
例3.■（x2+3）=3；
例4.■（sinx+1）=2
例5.■（3x-5）=4
（二）自变量趋于无穷大时，多项式比值的极限
自变量趋于无穷大时，求多项式比值的极限，关 键看分子和
分母的最高次。当分子和分母的最高次相同时，极限值是分子和
分母系数的比值；当 分子的最高子高于分母的最高次时，极限值
为无穷大；当分子的最高次小于分母的最高次时，极限值为0 。
例6.■■=■；
例7.■■=∞
例8.■■=0
（三）通分法
两分式之差为无穷大减无穷大时，可以考虑先通分再求极
限。
例9.■（■-■）
解：原极限=■■-■
=■■=-■■=-■
（四）消去法
当自变量趋于有限值，函数是零比零时，可以考虑用消去法。
这可以和前面所述“2. 自变量趋于无穷大时，多项式比值的极
限”做比较。
例10.■■
解：原极限=■■=■■=■
（五）分母有理化与分子有理化
当函数含有根式，极限又不易确定时，可以考虑分子有理化
或分母有理化。
例11. ■■-■（运用分子有理化）
解：原极限
=■■
＝■■＝0
例12. ■■（自变量趋于0）（运用分母有理化）
解：原极限
＝■■
=■■=1+■
（六）特殊极限
（1）■■=1型或■■=1型，x的位置可以是一串连续的函
数表达式。
例13.■■=1
例14. ■■=1
（2）■（1+■）x＝e型或■（1+x）■＝e型，x的位置
可以是一串连续的函数表达式。
例15.■（1+■）x＝■［（1+■）3x］■＝e■
例16.■（1-x）■=■｛［1+（-x）］■｝=e■
（七）无穷小量替换
当且仅当分子和分母都是乘积式的无穷小量时，才可以用无
穷小量替换。下列给出一些常用 的等价替换公式：
当x→0时，x～sinx，x～tanx，x～ln（1+x），x～（e x-1），
x～arcsinx，x～arctanx，■x2～（1-cosx），2x～［（1+x ）
2-1］。
以上x的位置可以是一串具有连续性的函数表达式。实际
上，只 要能证明两个量是同一过程（即自变量趋于相同的路径）
的等价无穷小量，就可以进行等价替换。
例17. ■■
解：因为当x→0时，x～sinx，x～arcsinx，所以
■■=■■=1。
例18.■■
解：因为当x→0时，■x2～（1-cosx），x～arctanx，所
以■■=■■=0。
例19.■■
解：因为当x→0时，x～ln（1+x），x～（ex-1 ），且
当x→1时，（x-1）→0，x-1～ln［1+（x-1）］，x-1～（ex-1-1），
所以■■=■■＝1。
例20.■■
解:因为x→0，所以5x→0 ，7x→0，3x→0，2x→0，则：sin
（5x）～5x，arctan（7x）～7x，tan （3x）～3x，（e2x-1）～
2x，于是原极限=■■=■■。
（八）洛必达法则
对■或■的比值型极限，可以考虑用洛必达法则。前面介绍
的“2. 自变量趋于无穷大时，多项式比值的极限”和“7. 无穷
小量替换”都可以用洛必达法则求解，对具体的例子可以选择相
对简单的方法。
例21. ■■（也可以使用无穷小量替换）
解：原极限■■=■=■=■
例22.■■（也可以使用“2.自变量趋于无穷大时，多项式
比值的极限”所介绍的方法 ，直接给出答案）
解：原极限=■■＝■■＝■■＝■
例23. ■■
解: 原极限■＝■
=■＝■
=■＝6
（九）对数法
对00型，a∞型（其中a是非零常数），∞0型等幂指函数
求极限，可以考虑对数法。具体如下。
例24.■（tanx）2x（00型）
解：令：y=（tanx）2x ，则lny=2x?ln（tanx）=■
■lny=■■=■■■=■■=0
于是■y=■（tanx）2x=e0=1。
例25.■x■（2∞型）
解：令：y=x■，则lny=lnx■，于是■lny=■■■■■=2。
即■y=■x■=e2。
例26.■（■）x （∞0型）
解：令：y=（■）x，则lny=-x?ln（5x），■lny＝
-■■■-■■=0。
即■y＝■＝（■）x=e0=1
（十）极限不存在的情况
1.极限不唯一
例27.■＝（-1）n=1，n取正偶数-1，n取正奇数，因极限
若存在，则必唯一，可见，该极限不存在。
2.极限为无穷大
如前面的例7.■■＝∞和例12.■■＝∞，都是极限为无穷
大的情况。
3.震荡极限
经常涉及正弦函数sinx、余弦函数cosx、正切函数tanx、
余 切函数cotx等三角函数及其连续的混合函数。
例28.■sin（11x） 和■cos■，当x→∞时，两者的极限
都是震荡的，不确定的。因此极限也是不存在的。
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