热爱生命手抄报资料-萌小希
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2016
年山东省高考数学试卷（理科）
一 、选择题：本大题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分，每 小题给出四个选项，
只有一个选项符合题目要求
.
1
．
（
5
分）若复数
z
满足
2z
+
=3
﹣
2i
，其中
i
为虚数单位，则
z=
（
）
A
．
1
+
2i B
．
1
﹣
2i
C
．﹣
1
+
2i
D
．﹣
1
﹣
2i
2
．
（
5
分）设集合
A=
{
y
|
y=2
x
，< br>x
∈
R
}
，
B=
{
x
|
x
2
﹣
1
＜
0
}
，则
A
∪
B=
（
）
A
．
（﹣
1
，
1
）
B
．
（
0
，
1
）
C
．
（﹣
1
，
+
∞）
D
．
（
0
，
+
∞）
3
．
（
5
分）某高校调查了
200
名学生每周的自习时间（单位：小时 ）
，制成了如
图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是
[
17.5< br>，
30
]
，样本数据分组为
[
17.5
，
2 0
）
，
[
20
，
22.5
）
，
[
22.5
，
25
）
，
[
25
，
2 7.5
）
，
[
27.5
，
30
]
．根据直 方图，
这
200
名学生中每周的自习时间不少于
22.5
小时的人数 是（
）
A
．
56
B
．
60
C
．
120
D
．
140
4
．
（
5
分）若变 量
x
，
y
满足
A
．
4
B
．
9
C
．
10
D
．
12
，则
x
2
+
y
2
的最大值是（
）
5
．
（
5
分）一个由半球和四棱锥组成的几何 体，其三视图如图所示．则该几何体
的体积为（
）
A
．
+
π
B
．
+
π
C
．
+
π
D
．
1
+
π
6
．
（
5
分）已知直线
a
，
b
分别在两个不同的平面
α
，< br>β
内．则
“
直线
a
和直线
b
相交
”
是
“
平面
α
和平面
β
相交
”
的（
）
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
sinx
+
cosx
）
（
cosx
﹣
sinx
）的最小正周期是（
）
7
．
（
5
分）函数
f
（x
）
=
（
A
．
B
．
π
C
．
D
．
2π
8
．
（
5
分）
已知非 零向量
，
满足
4
|
|
=3
|
|
，
cos
＜
，
＞
=
．
若
⊥
（
t
+
）
，
则实数
t
的值为（
）
A
．
4
B
．﹣
4
C
．
D
．﹣
9
．
（
5
分）已知函数
f
（
x
）的定义域为
R
．当
x
＜
0
时，
f
（
x
）
=x
3< br>﹣
1
；当﹣
1
≤
x
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≤
1
时，
f
（﹣
x
）
=
﹣
f
（
x
）
；当
x
＞
时，
f
（
x< br>+
）
=f
（
x
﹣
）
．则
f
（
6
）
=
（
）
A
．﹣
2
B
．
1
C
．
0
D
．
2
10
．
（
5
分）若函数
y=f
（
x
）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的
切线 互相垂直，则称
y=f
（
x
）具有
T
性质．下列函数中具有
T
性质的是（
）
A
．
y=sinx
B
．
y=lnx
C
．
y=e
x
D
．
y=x
3
二、填空题：本大题共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分
.
11
．
（
5
分）执行如图的程序框图，若 输入的
a
，
b
的值分别为
0
和
9
，则输出 的
i
的值为
．
12
．
（
5
分）若（
ax
2
+
）5
的展开式中
x
5
的系数是﹣
80
，则实数
a =
．
﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
，若矩形
ABCD
的四个顶点
13
．
（
5
分）已知双曲线< br>E
：
在
E
上，
AB
，
CD
的中点为
E
的两个焦点，
且
2
|
AB
|
=3
|
BC
|
，
则
E
的离心率是
．
2
+
y
2
= 9
14
．
（
5
分）
在
[
﹣
1，
1
]
上随机地取一个数
k
，
则事件
“
直线
y=kx
与圆
（
x
﹣
5
）
相交”
发生的概率为
．
15
．
（
5
分）已知函数
f
（
x
）< br>=
，其中
m
＞
0
，若存在实数
b
，
使得关于
x
的方程
f
（
x
）
=b
有三个不 同的根，则
m
的取值范围是
．
三、解答题
,
：本大题共
6
小题，共
75
分
.
16
．
（
12
分）
在 △
ABC
中，
角
A
，
B
，
C
的对 边分别为
a
，
b
，
c
，
已知
2
（
tanA
+
tanB
）
=
+
．
（
Ⅰ
）证明：
a
+
b=2c
；
（
Ⅱ
）求
cosC
的最小值．
17
．< br>（
12
分）在如图所示的圆台中，
AC
是下底面圆
O
的直径，
EF
是上底面圆
O′
的直径，
FB
是圆台的一条母 线．
（
I
）已知
G
，
H
分别为
EC
，
FB
的中点，求证：
GH
∥平面
ABC
；< br>
（
Ⅱ
）已知
EF=FB=
AC=2
，
AB =BC
，求二面角
F
﹣
BC
﹣
A
的余弦值．
18
．
（
12
分）
已知数列
{
an
}
的前
n
项和
S
n
=3n
2
+
8n
，
{
b
n
}
是等差数列，
且a
n
=b
n
+
b
n
+
1
．< br>
（
Ⅰ
）求数列
{
b
n
}
的通项公 式；
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（
Ⅱ
）令
c
n
=
，求数列
{
c
n
}
的前
n
项和
T
n
．
19
．
（
12
分）甲、乙两人 组成
“
星队
”
参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一
个成语，在 一轮活动中，如果两人都猜对，则
“
星队
”
得
3
分；如果只 有一个人猜
对，则
“
星队
”
得
1
分；如果两人都没 猜对，则
“
星队
”
得
0
分．已知甲每轮猜对的
概率 是
，乙每轮猜对的概率是
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮
结果亦互不影响 ．假设
“
星队
”
参加两轮活动，求：
（
I
）
“
星队
”
至少猜对
3
个成语的概率；
（
II
）
“
星队
”
两轮得分之和为
X
的 分布列和数学期望
EX
．
20
．
（
13
分）已知
f
（
x
）
=a
（
x
﹣
l nx
）
+
（
I
）讨论
f
（
x
）的 单调性；
（
II
）当
a=1
时，证明
f
（
x
）＞
f′
（
x
）
+
对于任意的
x
∈
[
1
，
2
]
成立．
21
．
（
14
分）平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C< br>：
是
+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心率
，
a
∈
R
．
，抛物线
E
：
x
2
=2y
的焦点
F
是
C
的一个顶点．
（
I
）求椭圆
C
的方程；
（
Ⅱ
）设
P
是
E
上的动点，且位于第一象限，
E
在点
P
处的切线
l
与
C
交于不同
的两点< br>A
，
B
，线段
AB
的中点为
D
，直线
OD
与过
P
且垂直于
x
轴的直线交于点
M
．
（
i
）求证：点
M
在定直线上；
（
ii
）
直线
l
与
y
轴交于点
G
，
记△
PFG
的面积为
S
1
，
△
PDM
的 面积为
S
2
，
求
最大值及取得最大值时点
P
的坐标 ．
的
2016
年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共
10
小题，每小题5
分，共
50
分，每小题给出四个选项，
只有一个选项符合题目要求.
1
．
（
5
分）若复数
z
满足2z
+
=3
﹣
2i
，其中
i
为虚数单位，则< br>z=
（
）
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A
．
1
+
2i B
．
1
﹣
2i
C
．﹣
1
+
2i
D
．﹣
1
﹣
2i
【分析】
设出复数
z
，通过复数方程求解即可．
【解答】
解：复数
z
满足
2z
+
=3
﹣
2i
，
设
z=a
+
bi
，
可得：
2a
+
2bi
+
a
﹣
bi=3
﹣
2i< br>．
解得
a=1
，
b=
﹣
2
．
z=1
﹣
2i
．
故选：
B
．
【点评】
本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
2
．
（
5
分）设集合
A=
{
y
|
y=2
x
，
x
∈
R
}
，
B=
{
x|
x
2
﹣
1
＜
0
}
，则
A< br>∪
B=
（
）
A
．
（﹣
1
，
1
）
B
．
（
0
，
1
）
C
．
（﹣
1
，
+
∞）
D
．
（
0
，
+
∞）
【分析】< br>求解指数函数的值域化简
A
，求解一元二次不等式化简
B
，再由并集运
算得答案．
【解答】
解：∵
A=
{
y
|
y=2
x
，
x
∈
R
}
=
（
0
，
+
∞）
，
B=
{
x
|< br>x
2
﹣
1
＜
0
}
=
（﹣
1
，
1
）
，
∴
A
∪
B=
（
0
，
+
∞）∪（﹣
1
，
1
）
=
（﹣
1
，
+
∞）
．
故选：
C
．
【点评】
本题考查并集及其运算，
考 查了指数函数的值域，
考查一元二次不等式
的解法，是基础题．
3
．
（
5
分）某高校调查了
200
名学生每周的自习时间（单位：小时 ）
，制成了如
图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是
[
17.5< br>，
30
]
，样本数据分组为
[
17.5
，
2 0
）
，
[
20
，
22.5
）
，
[
22.5
，
25
）
，
[
25
，
2 7.5
）
，
[
27.5
，
30
]
．根据直 方图，
这
200
名学生中每周的自习时间不少于
22.5
小时的人数 是（
）
A
．
56
B
．
60
C
．
120
D
．
140
【分析】
根据已知中的频率分布直方图，先计 算出自习时间不少于
22.5
小时的
频率，进而可得自习时间不少于
22.5
小时的频数．
【解答】
解：自习时间不少于
22.5
小时 的频率为：
（
0.16
+
0.08
+
0.04
）×
2.5=0.7
，
故自习时间不少于
22.5
小时的频率 为：
0.7
×
200=140
，
故选：
D
．
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【点评】
本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
4
．
（
5
分）若变量
x
，
y
满足
A
．
4
B
．
9
C
．
10
D
．
12
，则
x
2
+
y
2
的最大值是（
）
【分析】
由约束条件作出可行域，然后结合
x
2
+
y
2
的几何意义，即可行域内的动
点与原点距离的平方求得
x< br>2
+
y
2
的最大值．
【解答】
解：由约束 条件
∵
A
（
0
，﹣
3
）
，
C（
0
，
2
）
，
∴
|
OA< br>|
＞
|
OC
|
，
联立
∵
∴
x
2
+
y
2
的最大值是
10
．
故选：
C
．
【点评】
本题考查简单的线性规划，
考查了数形结合的解题思想方法和数学转化
思想方法，是中档题．
5
．（
5
分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体
的体 积为（
）
A
．
+
π
B
．
+
π
C
．
+
π
D
．
1
+
π
，解得
B
（
3
，﹣
1
）
．
，
作出可行域如图，
【分析】
由已知中的三视图可得：
该几何体上部是一个半球，
下部是一个四棱锥，
进而可得答案．
【 解答】
解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四
棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为
1
，可得
2R=
故
R=
，故半球的体积为：
．
=
π
，
棱锥的底面面积为：
1
，高为
1
，
故棱锥的体积
V=
，
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故组合体的体积为：
+
故选：
C
．
π
，
【点评】
本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根 据已知的三视图，
判断几何体的形状是解答的关键．
6
．
（
5
分）已知直线
a
，
b
分别在两个不同的平面
α
，
β
内．则
“
直线
a
和直线
b
相交
”
是
“
平面
α
和平面
β
相交
”
的（
）
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
【分析】
直线
a
，< br>b
分别在两个不同的平面
α
，
β
内，则
“
直 线
a
和直线
b
相交
”
?
“
平面
α
和平面
β
相交
”
，反之不成立．
【解答】
解：直线
a
，
b
分别在两个不同的平面
α
，
β< br>内，则
“
直线
a
和直线
b
相
交
”< br>?
“
平面
α
和平面
β
相交
”
，
反之不成立．
∴
“
直线
a
和直线
b
相交
”
是
“
平面
α
和平面
β
相 交
”
的充分不必要条件．
故选：
A
．
【点评】
本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属
于基础题．
7
．
（
5
分）函数
f
（
x
）
=
（
A
．
B
．
π
C
．
sinx
+
cosx
）
（
cosx
﹣
sinx
）的最小正周期是（
）
D
．
2π
【分析】
利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【解答】
解：函数
f
（
x
）
=
（
（< br>x
+
）
=2sin
（
2x
+
）
，< br>
sinx
+
cosx
）
（
cosx
﹣sinx
）
=2sin
（
x
+
）
?2cos< br>∴
T=π
，
故选：
B
．
【点评 】
本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，
三角函数的周期，
难度中档．
8
．
（
5
分）
已知非零向量
，
满足
4
|
|
=3
|
|
，
cos
＜
，
＞
=
．
若
⊥
（
t
+
）
，
则实数
t
的值为（
）
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A
．
4
B
．﹣
4
C
．
D
．﹣
【分析】
若
⊥（
t
+
）
，则
?
（
t
+
）
=0
，进而可得实数
t
的值．
【解答】
解：∵
4
|
|
=3
|
|
，
cos
＜
，＞
=
，
⊥（
t
+
）
，
∴< br>?
（
t
+
）
=t
?
+
2
= t
|
|
?
|
|
?
+|
|
2
=
（
解得：
t=
﹣
4
，
故选：
B
．
【点评】
本题考查的知识点是平面向量数量积 的运算，
向量垂直的充要条件，
难
度不大，属于基础题．
9
．
（
5
分）已知函数
f
（
x
）的定义域为
R
．当
x
＜
0
时，
f
（
x
）< br>=x
3
﹣
1
；当﹣
1
≤
x
≤
1
时，
f
（﹣
x
）
=
﹣
f
（< br>x
）
；当
x
＞
时，
f
（
x
+
）
=f
（
x
﹣
）
．则
f
（6
）
=
（
）
A
．﹣
2
B
．
1
C
．
0
D
．
2
）
|
|
2
=0
，
【分析】
求得 函数的周期为
1
，再利用当﹣
1
≤
x
≤
1
时，
f
（﹣
x
）
=
﹣
f
（
x）
，得到
f
（
1
）
=
﹣
f
（ ﹣
1
）
，当
x
＜
0
时，
f
（x
）
=x
3
﹣
1
，得到
f
（﹣
1
）
=
﹣
2
，即可得出结
论．
【解答 】
解：∵当
x
＞
时，
f
（
x
+
）
=f
（
x
﹣
）
，
∴当
x
＞
时，
f
（
x
+
1
）
=f
（< br>x
）
，即周期为
1
．
∴
f
（6
）
=f
（
1
）
，
∵当﹣
1
≤
x
≤
1
时，
f
（﹣
x
）=
﹣
f
（
x
）
，
∴
f（
1
）
=
﹣
f
（﹣
1
）
，< br>
∵当
x
＜
0
时，
f
（
x
）
=x
3
﹣
1
，
∴
f
（﹣
1
）
=
﹣
2
，
∴
f
（
1
）
=
﹣
f
（﹣
1
）
=2
，
∴
f
（
6
）
=2
．
故选：
D
．
【点评】
本题考查函数值的计算，考查函数的 周期性，考查学生的计算能力，属
于中档题．
10
．
（
5
分）若函数
y=f
（
x
）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两 点处的
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切线互相垂直，则称
y=f
（
x
）具有
T
性质．下列函数中具有
T
性质的是（
）
A
．
y=sinx
B
．
y=lnx
C
．
y=e
x
D
．
y=x
3
【分析】
若函数
y=f
（
x
）的图象上存在两点，使得函数 的图象在这两点处的切线
互相垂直，则函数
y=f
（
x
）的导函数上 存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣
1
，
进而可得答案．
【解答 】
解：函数
y=f
（
x
）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两 点处的切
线互相垂直，
则函数
y=f
（
x
）的导 函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣
1
，
当
y=sinx
时，
y′=cosx
，满足条件；
当
y=lnx
时，
y′=
＞
0
恒成立，不满足条件；
当
y=e
x
时，
y′=e
x
＞
0< br>恒成立，不满足条件；
当
y=x
3
时，
y′=3x
2
＞
0
恒成立，不满足条件；
故选：
A
．
【点评】
本题考查的知识点是利用导数研究曲 线上某点切线方程，
转化思想，
难
度中档．
二、填空题：本大题共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分
.
11
．
（
5
分）执行如图的程序框图，若输入的
a
，< br>b
的值分别为
0
和
9
，则输出的
i
的值为< br>
3
．
【分析】
根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变
量
i
的值，模拟程序的运行过程，可得 答案．
【解答】
解：∵输入的
a
，
b
的值分别为
0
和
9
，
i=1
．
第一次执行循环体后 ：
a=1
，
b=8
，不满足条件
a
＞
b
， 故
i=2
；
第二次执行循环体后：
a=3
，
b= 6
，不满足条件
a
＞
b
，故
i=3
；
< br>第三次执行循环体后：
a=6
，
b=3
，满足条件
a
＞
b
，
故输出的
i
值为：
3
，
故答案为：
3
【点评】
本题考查的知识点是程序框图，当循环次数 不多，或有规律可循时，可
采用模拟程序法进行解答．
12
．
（< br>5
分）若（
ax
2
+
）
5
的展开式中
x
5
的系数是﹣
80
，则实数
a=
﹣
2
．
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【分析】
利用二项展开式的通项公式
T
r
+
1
=
的系数．
【解答】
解：
（
ax
2
+
r
（
a x
2
）
5
﹣
r
，化简可得求的
x
5
）
5
的展开式的通项公式
T
r
+
1
=
（
ax
2
）
5
﹣
r
=
a
5
﹣
，
=5
，解得
r=2
．
）
5
的展开式中
x
5
的系数是﹣
80
< br>令
10
﹣
∵（
ax
2
+
∴
a
3
=
﹣
80
，
得
a=
﹣
2
．
【点评】
考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．
13
．
（
5
分）已知双曲线
E
：
﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
， 若矩形
ABCD
的四个顶点
在
E
上，
AB
，
CD
的中点为
E
的两个焦点，
且
2
|
AB
|
=3
|
BC
|
，
则
E
的离心率是
2
．
【分析】
可令
x=c
，代 入双曲线的方程，求得
y=
±
，再由题意设出
A
，
B
，
C
，
D
的坐标，由
2
|
AB
|
=3
|
BC
|
，可得
a
，
b
，
c
的方程，运用离心率公式计算即可得
到所求值．
【解答】
解：令
x=c
，代入双曲线的方程可得
y=
±
b
由题意可设
A
（﹣
c
，
由
2
|
AB
|
=3
|
BC
|
，可得
2?
=3?2c
，即为
2b
2
=3ac
，
）
，
B
（﹣
c
，﹣
）
，
C
（
c
，﹣
=
±
，
）
，
）
，
D
（
c
，
由
b
2
=c< br>2
﹣
a
2
，
e=
，可得
2e
2﹣
3e
﹣
2=0
，
解得
e=2
（负的舍去）
．
故答案为：
2
．
【点评】
本题考查双曲线的离心率的求法 ，注意运用方程的思想，正确设出
A
，
B
，
C
，
D
的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
2
+
y
2
=9
14
．
（
5
分）
在
[
﹣
1
，
1
]
上随机地取一个数
k
，
则事件< br>“
直线
y=kx
与圆
（
x
﹣
5
）
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