关于道德的作文-外厉内荏
二
次
函
数
与
三
角
形
最
大
面
积
的
3
种
求
法
一．解答题（共
7
小题）
1
．（
2012?广西）已知抛物线
y=ax
2
+2x+c
的图象与
x
轴 交于点
A
（
3
，
0
）和点
C
，
与
y
轴交于点
B
（
0
，
3
）．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）在抛物线的对 称轴上找一点
D
，使得点
D
到点
B
、
C
的 距离之和最小，并求出
点
D
的坐标；
（
3
）在第 一象限的抛物线上，是否存在一点
P
，使得△ABP
的面积最大？若存在，
求 出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
2
．
（
2013?
茂名）如图，抛物线
C
，已知点
B
的坐标为（
3
，
0
）．
（
1
）求
a
的值和抛物线的顶点坐标；
（
2
）分别连接
AC
、
BC
．在
x
轴下方的抛物线 上求一点
M
，使△AMC
与△ABC
的面积
相等；
（
3
）设
N
是抛物线对称轴上的一个动点，
d=|AN
﹣
CN|
．探究：是否存在一点
N
，使
d
的值最大？若存在， 请直接写出点
N
的坐标和
d
的最大值；若不存在，请简单说
明理由．
与
x
轴交于点
A
和点
B
，与
y
轴交于点
3
．
（
2011?
茂名）
如图，在平面直 角坐标系
xoy
中，已知抛物线经过点
A
（
0
，
4
）
，
B
（
1
，
0
），
C
（
5
，
0
），抛物线对称轴
l
与
x
轴相交 于点
M
．
（
1
）求抛物线的解析式和对称轴；
（
2
）点
P
在抛物线上，且以
A
、
O、
M
、
P
为顶点的四边形四条边的长度为四个连续
的正整数，请 你直接写出点
P
的坐标；
（
3
）连接
AC
．探索：在直线
AC
下方的抛物线上是否存在一点
N
，使△NAC
的面积
最大？若存在，请你求出点
N
的坐标；若不存在，请你说明理由．
< br>4
．（
2012?
黔西南州）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知抛物线经过点
A
（
0
，
4
），
B
（
1
，
0
），
C
（
5
，
0
），抛物线的对称轴
l
与
x
轴相交于点
M
．
（
1
）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；
（
2
）设点
P
为抛物线（
x
＞
5
）上的一点，若以
A
、
O
、
M
、
P
为顶点的四边形的四条
边的 长度为四个连续的正整数，请你直接写出点
P
的坐标；
（
3
）连接
AC
，探索：在直线
AC
下方的抛物线上是否存在一点
N< br>，使△NAC
的面积
最大？若存在，请你求出点
N
的坐标；若不存在， 请说明理由．
5
．（
2013?
新疆）如图，已知抛物线
y=ax
2
+bx+3
与
x
轴交于
A
、
B
两点，过点
A
的
直线
l
与抛物线交于点
C
，其中
A
点的坐标是（
1
，
0
），
C
点坐 标是（
4
，
3
）．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）在（
1
）中抛物线的对称轴上是否存在点
D
，使△BCD
的周长最小？若存在，求
出点
D
的坐标，若不存在，请说明理由；
（
3
） 若点
E
是（
1
）中抛物线上的一个动点，且位于直线
AC
的 下方，试求△ACE
的
最大面积及
E
点的坐标．
6
．（
2009?
江津区）如图，抛物线
y=
﹣
x
2
+bx+c
与
x
轴交于
A
（
1
，
0），
B
（﹣
3
，
0
）
两点．
（
1
）求该抛物线的解析式；
（
2
）设（
1
）中的抛物线交
y
轴与
C
点，在该抛物线的对称轴上是否存在点
Q
，使
得△QAC
的周长最小？若存在，求出
Q
点的坐标； 若不存在，请说明理由；
（
3
）在（
1
）中的抛物线上的 第二象限上是否存在一点
P
，使△PBC
的面积最大？若
存在，求出点
P
的坐标及△PBC
的面积最大值；若没有，请说明理由．
7
． 如图，已知二次函数
y=ax
2
+bx+c
经过点
A
（1
，
0
），
C
（
0
，
3
）， 且对称轴为直
线
x=
﹣
1
．
（
1
）求二次函数的表达式；
（
2
）在抛物线上 是否存在点
P
，使△PAB
得面积为
10
，请写出所有点
P
的坐标．
二次函数与三角形最大面积的
3
种求法
参考答案与试题解析
一．解答题（共
7
小题）
1
．（
2012?
解：
（
1
）
∵抛物线
y =ax
+2x+c
的图象经过点
A
（
3
，
0
）
和点
B
（
0
，
3
）
，
广
西
）
解
答：
∴抛物线的解析式为：
y =
﹣
x
2
+2x+3
．
（
2
）对称轴为
x=
=1
，
∴
，解得
a=
﹣
1
，
c=3
，
2
令
y=
﹣
x
+2x+3=0
，解得
x< br>1
=3
，
x
2
=
﹣
1
，∴C（﹣< br>1
，
0
）．
如图
1
所示，连接
A B
，与对称轴
x=1
的交点即为所求之
D
点，由于
A
、
C
两点关于对称轴对称，则此时
DB+DC=DB+DA=AB
最小．< br>
设直线
AB
的解析式为
y=kx+b
，由
A
（
3
，
0
）、
B
（
0
，
3）可得：
，解得
k=
﹣
1
，
b=3
，
2
∴直线
AB
解析式为
y=
﹣
x+3
．
< br>当
x=1
时，
y=2
，∴D
点坐标为（
1
，
2
）．
（
3
）结论：存在．
如图2
所示，设
P
（
x
，
y
）是第一象限的抛物线 上一点，
过点
P
作
PN⊥x
轴于点
N
， 则
ON=x
，
PN=y
，
AN=OA
﹣
ON=3< br>﹣
x
．
S
△ABP
=S
梯形
PN OB
+S
△PNA
﹣
S
△AOB
=
（< br>OB+PN
）
?ON+
PN?AN
﹣
OA?OB
< br>=
（
3+y
）
?x+
y?
（
3
﹣< br>x
）﹣
×3×3
=
（
x+y
）﹣
，
∵P（
x
，
y
）在抛物线上，∴y=﹣
x
2
+2x+3
，代入上式得：
S
△ABP
=
（
x+y
）﹣
=
﹣
（
x
2
﹣
3x
）
=
﹣
（
x
﹣
）
2
+
∴当
x=
时，
S
△ ABP
取得最大值．
当
x=
时，
y=
﹣
x
2
+2x+3=
，∴P（
，
）．
，
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点
P
，使得△ABP
的面积最大；P
点的坐标为（
，
）．
2
．（
2013?
茂名）
解
答：
解：（
1
）∵抛物线
y=ax
﹣
x+2
经过点
B
（
3
，
0
），
∴9a﹣
×3+2=0，
解得
a=
﹣
，
∴y=﹣
x
2
﹣
x+2
，
∵y=﹣x
2
﹣
x+2=
﹣
（
x
2
+3x）
+2=
﹣
（
x+
）
2
+
，
∴顶点坐标为（﹣
，
）；
（
2
）∵抛物线
y=
﹣
x
2
﹣
x+2
的对称轴为直线
x=
﹣
，
2
与
x
轴交于点
A
和点
B
，点
B
的坐标为（
3
，
0
），
∴点
A
的坐标为（﹣
6
，
0
）．
又∵当
x=0
时，
y=2
，
∴C
点坐标为（
0
，
2
）．
设直线
AC
的解析式为
y=kx+b
，
则
，解得
，
∴直线
AC
的解析式为
y=
x+2
．
∵S
△AMC
=S
△ABC
，
∴点
B
与点
M
到
AC
的距离相等，
又∵点
B
与点
M
都在
AC
的下方，
∴BM∥AC，
设直线
BM
的解析式为
y=
x+n
，
将 点
B
（
3
，
0
）代入，得
×3+n=0，
解得
n=
﹣
1
，
∴直线
BM
的 解析式为
y=
x
﹣
1
．
由
，
解
得
，
，
∴M
点的坐标是（﹣
9
，﹣
4
）；
（< br>3
）在抛物线对称轴上存在一点
N
，能够使
d=|AN
﹣CN|
的值最大．理由如下：
∵抛物线
y=
﹣
x2
﹣
x+2
与
x
轴交于点
A
和点
B< br>，
∴点
A
和点
B
关于抛物线的对称轴对称．
连接< br>BC
并延长，交直线
x=
﹣
于点
N
，连接
A N
，则
AN=BN
，此时
d=|AN
﹣
CN|=|BN﹣
CN|=BC
最大．
设直线
BC
的解析式为
y=mx+t
，将
B
（
3
，
0
），
C< br>（
0
，
2
）两点的坐标代入，
得
，
，
∴直线
BC
的解析式为
y=
﹣
x+2
，
当
x=
﹣
时，
y=
﹣
×（﹣
）
+ 2=3
，
∴点
N
的坐标为（﹣
，
3
），
d
的最大值为
BC=
=
．
3
．（
2011?
茂名）
解
答：
解：（
1
）根据已知条件可设抛物线的解析式为
y=a
（
x﹣
1
）
（
x
﹣
5
），
把点
A
（
0
，
4
）代入上式得：
a=
，
∴y=
（
x
﹣
1
）
（
x
﹣< br>5
）
=
x
2
﹣
x+4=
（
x
﹣
3
）
2
﹣
，
∴抛物线的对称轴是：
x=3
；
（
2
）
P
点坐标为：（
6
，
4
），
由题意可知以
A
、
O
、
M
、
P
为顶点的四边形有两条边
AO=4
、
OM=3
，
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