盘子装饰判别式法求值域

2021年1月19日发(作者：裴澈)
关于判别式法求值域增根的研究

文章来源：
2008
年下半年度《试题与研究》


我们都知道对于形如
f ( x ) =
的二次分
式函数我们通常使用判别 式来求其值域。但这是在分子分母没
有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先
约去公因式，化成
f(x) =
的形式，然后再求出其值域。
但如果我们用判别式法 求这类函数的值域时，会出现什么情况
呢？让我们比较吧！

例：求二次分式函数
y =
的值域．

方
法

判别式法

化简为一次分式法

∵
y =

∵
y =
=

∴
( x
–
1 ) y = x
–
2x - 3
∴

①

当
x
≠

－
1
时，

∴
( y
－
1 ) x
+ 2x + 3
–
y = 0 ----------*
①

当
y
≠
1
时，

y =
△
= b
–
4 a c = 2
–
4 ( y
–
1 ) ( 3
–
y )
2
2
2
2
2
，

即：
y
≠
1
解

题

过

程


= 4 y
–
16 y + 16
②

当
x =
－
1
时，

= 4 ( y
–
2 )
≥
0
(
△
= 0
时，
y = 2 )

2
2
∴
y
∈
R ,
且
y
≠
1
y =
②当
y = 1
时

，代入
*
式得：


∵

函数的定义域为：

2 x + 3
–
1 = 0
{x
∈
R | x
≠
1
且
x
≠

－
1 }
∴
x =
－
1

∵

函数的定义域为：

∴
y
≠
2
{ x
∈
R | x
≠
1
且
x
≠

－
1 }


∴
y
≠
1
由

①

②

得函数的值域为：

由①②得函数的值域为：

=
= 2
结
果

{ y
∈
R | y
≠
1 }
{y
∈
R | y
≠
1
且
y
≠
2 }
通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果 ，比先化成
一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值
y
=
2
。
这就是说，
用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首
先来研究一 下用判别式法来求值域的原理吧！