我好想哭如何求解二次函数中的面积最值问题

2021年1月19日发(作者：奚业胜)

如何求解二次函数中的面积最值问题






从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与
二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方
法，供同学们在 解决这类问题时参考．





题目


（重庆市江津区）





如图
1，抛物线
y
＝－
x
2
＋
bx
＋
c与
x
轴交于
A(1
，
0)
，
B(
－< br>3
，
0)
两点．





(1)
求该抛物线的解析式；





(2)
设
(1)
中的抛物线交
y
轴于
C
点，
在该抛物线的对称轴上是否存在点
Q
，
使得△
QAC
的周长最小？ 若存在，求出
Q
点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)
如图< br>2
，
在
(1)
中的抛物线上的第二象限上是否存在一点
P，使△
PBC
的面积最大？
若存在，求出点
P
的坐标及△
PBC
的面积最大值；若没有，请说明理由．






解答


(1)
抛物线解析式为







y
＝－
x
2
－
2x
＋
3
；





(2)Q(
－
1
，
2)
；





下面着重探讨求第
(3)
小题中面积最大值的几种方法．





一、补形、割形法





几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅
助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或
割，变成有利于 表示面积的图形．





方法一

如 图
3
，设
P
点（
x
，－
x
2
－< br>2x
＋
3
）
(
－
3．




1


方法二

如图
4
，设
P
点
(x
，－
x
2
－
2x
＋
3)(
－
3．



（下略．
）





二、
“铅垂高，水平宽”面积法





如图
5
，过△
ABC
的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两 条直线之间

的距离叫△
ABC
的“水平宽”
(a)
，中间 的这条直线在△
ABC
内部线段的长度叫△
ABC
的

“铅 垂高
(h)
”
，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：
S
△
ABC
＝
面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．





根据上述方法，本题解答如下：





解


如图
6
，作
PE
⊥x
轴于点
E
，交
BC
于点
F
．




设
P
点（
x
，－
x
2
－
2x
＋
3
）
（－
3）．

1
ah
，即三角形
2




2