再苦再累就当自己是二百五初三数学二次函数解析式的求法

2021年1月19日发(作者：林德宏)

初三数学二次函数解析式的求法



求二次函数表达式 的基本方法是待定系数法，二次函数的表
达式有三种形式，每种形式都有三个待定系数，于是只要有三个
条件即可得到相应的方程，组成方程组，从而通过解方程〔组〕
获得问题的【答案】
.

当条件是图象上三个点坐标时选择一般式方程：
y=ax2+bx+c
〔a ≠0〕
；


当抛物线与
x
轴的两交点坐标时选择交点式方 程：
y=a
〔
x-x1
〕
〔
x-x2
〕
〔 a≠0〕
；


当二次函数图象顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值时选
择顶点式方程：
y=a
〔
x-h
〕
2+k
〔a≠0 〕
.
1.
根据代数条件求二次函数【解析】式


【例
1
】抛物线经过点〔
1
，
0
〕
，
〔
-5
，
0
〕
，且顶点纵坐标为

，
求这个二次函数的【解析】式
.

【分析】

设一般式，将条件直接代入将得到一个三元一次方程
组，计算较繁，进一步分析，
〔
1
，
0
〕
，
〔
-5
，
0
〕是抛物线 与
x
轴
两交点，由此可知抛物线对称轴为直线
x=-2
，

所以顶点坐标为
〔－
2
，

〕
.

解：∵ 点〔
1
，
0
〕
，
〔
-5
，
0
〕是抛物线与
x
的两交点
,

∴ 抛物线对称轴为直线
x=-2
，


∴ 抛物线的顶点坐标为〔－
2
，

〕
，


设抛物线的【解析】式为
y
＝
ax2
＋
bx
＋
c< br>，那么有




∴ 所求二次函数【解析】式为

2.
根据几何图形的性质求二次函数的【解析】式


【例
2
】

开口向下的抛物线
y=ax2+bx+c
与
x
轴交于
A
〔
x1
，
0
〕
，
B
〔
x2
，
0
〕
〔
x1
【分析】

我们可把点
C
〔
0
，
5
〕代入函数【解 析】
式，再由
a+b+c=0
和
S△ABC=15
这两个条件进行求 解
.

解法
1
：∵ C〔
0
，
5
〕
，

∴ c=5，
OC=5
，


∵ a+b+c=0，


∴ a+b+5=0，

∴ b=
-5-a.

∴ 【解析】式为
y=ax2+
〔
-5-a
〕
x+5
，∵
S△ABC=
×AB·5=15.


∴ AB=6，即
|x1-x2|=6.

又
x1
两边平方得〔
x2-x1
〕
2=36
，


∴ 〔
x1+x2
〕
2-4x1x2=36
，
=36
，
7a2+2a-5=0.

解得


∵ 抛物线开口向下，∴ 舍，


∴ a2=
-1
，

∴ y=
-x2-4x+5.

解法
2
：由解法
1
可得
AB=6
，


∵ a+b+c=0，


∴ 〔
1
，
0
〕在抛物线上
.

又抛物线开口向下且过〔
0
，
5
〕
，


∴ B〔
1
，
0
〕
，

∴ OB=1，


那么
OA=AB- OB=5
，
A
在
x
轴负半轴上，∴ A〔
-5
，
0
〕
.

设
y=a
〔
x-1
〕
〔
x+5
〕
，把〔
0
，
5
〕代入得
-5a=5
，∴ a=
-1.