独坐敬亭山的意思华东师大版九年级数学下册教案：26.2.3.求二次函数的表达式

2021年1月19日发(作者：苗振华)
课
3.
求二次函数的表达式

授课人


题

教

学

目

标



1.
会利用已知条件设立恰当的函数表达式，用待定系数法求二次函
知识技能

数的表达式
.
2.
学会利用二次函数解决实际问题．

数学思考

问题解决

情感态度

教学

重点

教学

难点

授课

类型

教具

教学

步骤



通过一题多解和不同形式不同解答的教学方式和方法，培养学生的
思维能力和转化能 力．



让学生在经历方程与识图的过程中，培养学生独立分析问题、解决
问题的能力，提升数学思维意识．



让学生感受数学的美，激发 学生学习数学的兴趣，让学生体验数学
这一工具在解决实际问题中的作用．



掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情境选择适当的形式
求二次 函数表达式．



能灵活运用三种表达式来求二次函数的表达式．

新授课

课时

多媒体

教学活动

师生活动

设计意图


回顾

(
展示问题
)
1.
求下列函数的表达式：

(1 )
一个正比例函数的图象经过点
(2
，－
4)
；

(2)
一个一次函数的图象与
x
轴交于点
(3
，
0)
，与
y
轴交于点
(0
，
6).
在学生解决两个问题
2.
用待定系数法求函数表达式的基本步骤有哪些？

的基础上进一步体验
3.
我们学习过哪几种形式的二次函数表达式？

知识，
有利于学生在最
师生活动：
学生独立完成并进行口述，
教师对学生的 解答情
近发展区得到提升，
为
况进行评价并总结：

后面的学习做好铺垫
.
用待定系数法求函数表达式：
设出表达式，
列出方程组，
解
方程组，代入
.
二次函数的表达式有：一般式，
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
；顶点
式，
y
＝
a
(
x
－
h
)
2
＋
k
；交点式，
y
＝
a
(
x
－
x< br>1
)(
x
－
x
2
)
．

【课堂引入】

问题：有一个抛物线形的立交桥
拱，
这个桥拱的最大高度为
16 m
，
跨度为
40 m
，现把它的图形放在
坐标系中，
请求出这条抛物线的函
数表达式．

通过实际问题设疑，
使
学生感受数学来源于
实际，
用数学又可以解< br>答实际问题，相得益
彰
.
活动

一：

创设

情境

导入

新课

第
1
页
/
共
9
页

师生活动：学生感知问题，独立思考．




图
26
－
2
－
85


一、新知探究：

(
展示问题
)
问题
1
：已知二次函数的图象的顶点坐标求其表达式

一个二次函数 的图象经过点
(0
，
1)
，它的顶点坐标为
(8
，
9)
，
求这个二次函数的表达式．

分析：因为这个二次函数的图象的顶点坐 标为
(8
，
9)
，因此，
可以设函数表达式为
y
＝
a
(
x
－
8)
2
＋
9
，根据其图 象经过点
(0
，
1)
可以确定
a
的值．

学生活动：
学生讨论得出形如
y
＝
a
(
x
－
h
)
2
＋
k
的函数表达式的
一般解题过程，小组间思考用 此类方法的前提是什么？

教师点拨：
二次函数
y
＝
ax< br>2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)
通过配方 可得
y
＝
a
(
x
－
h
)
2
＋
k
的形式称为顶点式，
其中
(
h
，
k
)
为抛物线的顶点坐标，
由此再运用一个点的坐标即可求出
a
的值．

问题
2
：已知图象上三点求二次函数的表达式

一个二次函数的图象 经过
(0
，
1)
，
(2
，
4)
，
(3
，
10)
三点，求这
个二次函数的表达式．

教师活动 ：引导学生回顾一次函数表达式的求法，运用类比
的方法可得此题可以根据待定系数法求此函数表达式．

学生活动：学生小组讨论解题中遇到的问题，并相互交流讨
论，合作完成此题．

二、归纳总结

请学生小组内讨论总结求二次函数表达式的思路和方法，讲
给大家听！

师生活动：教师指个别学生回答，其他同学进行补充，教师
订正、总结：

( 1)
已知图象上三个点或三对
x
，
y
的值，通常选择一般式：
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
，
把条 件代入得到三元一次方程组，
解方程即可
求出待定系数；

(2)
已 知图象的顶点，通常选择顶点式：
y
＝
a
(
x
－
h
)
2
＋
k
，先把
顶点坐标代入，再把另一点的坐标代入求出
a
的值，最后一
般化为一般式．

(3)
已知图象与
x
轴的两个交点时，通常选择交点式：
y
＝
a
(
x
－
x
1
)(
x
－
x
2
)
，先把 两交点的横坐标代入，再把另一点的坐标
代入求出
a
的值，最后一般代入一般式．
活动

二：

实践

探究

交流

新知

1
．
在给定顶点坐标时，
不 能通过设成一般式
求解问题，
所以引导学
生采用顶点式即可解
答，
这 样学生对于不同
类型的问题有不同的
解答方案，
利于学生的
思维活跃以及善于 总
结的习惯养成．

2
．在复习用待定系数
法求一次函数表达式的方法后，
运用类比的
思想，运用一般式求
解
.






第
2
页
/
共
9
页

(
续表
)
【应用举例】

例

“
课堂引入
”
问题：

师生活动：教师选派两名同学选择不 同的解答方式进行板演，
其他同学在练习本上书写解答过程，教师做好指导和评价．

解法
1
：
设抛物线的函数表达式为
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
，
根据题意得，
抛物线经过点
(0
，
0)
，
(20
，
16)
，
(40
，
0)
三点
，得方程组
活动

三：

开放

训练

体现

应用

通过课前设疑，
激发
学生的学习兴趣，
运

用学习的知识，
从不
1
2
8
同的角度进行解答，
所以抛物线的函数表达式为
y
＝－
x
＋
x
.
25
5
既训练 了学生的一
教师评析：通过利用给定的条件列出关于
a
，
b
，
c
的三元一次
题多解、思维灵活
方程组，求出
a
，
b，
c
的值，从而确定函数的表达式．

性，
又培养了学生深解法
2
：设抛物线的函数表达式为
y
＝
a
(
x
－
20)
2
＋
16
，

层次的思维能力
.
根据题意得，点
(0
，
0)
在抛物线上，

1所以
0
＝
400
a
＋
16
，
解得a
＝－
，

25
所以抛物线的函数表达式为
y
＝－
1
(
x
－
20)
2
＋
16
，

25
1
8
即
y
＝－
x
2
＋
x
.
25
5
教师评价：通过利用条件中的图象的顶点和图象过 原点选用顶
点式．

变式训练

1.
如图
26－
2
－
86
所示，
在平面直角坐标系中，
二次函数y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图象的顶点 为
A
(
－
2
，－
2)
，且过点
B
(0
，
2)
，则
y
与
x
的函数表达式为
(
D
)

























图
26
－
2
－
86
A
．
y
＝
x
2
＋
2







B
．
y
＝
(
x
－
2)
2
＋
2
C
．
y
＝
(
x
－
2)
2
－
2

< br>D
．
y
＝
(
x
＋
2)
2
－
2
2
．
已知：
抛物线
y
＝－
x
2
＋
bx
＋
c
经过
A
(
－
1，
0)
，
B
(5
，
0)
两点，
第3
页
/
共
9
页

顶点为
P
.
(1)
求
b
，
c
的值；

(2)
求
△
ABP
的面积．

解：
(1)
设抛物线的函数表达式为
y
＝－
(
x
＋
1)(x
－
5)
，所以
y
＝
－
x
2
＋
4
x
＋
5
，所以
b
＝
4
，c
＝
5.
(2)
y
＝－
x
2
＋4
x
＋
5
＝－
(
x
－
2)
2
＋
9
，顶点
P
的坐标为
(2
，
9)
，所
1
以
△
ABP
的面积＝
×
6
×9
＝
27.
2
第
4
页
/
共
9
页