职工养老二次函数与三角形最大面积的3种求法

2021年1月19日发(作者：田光涛)
精心整理

二次函数与三角形最大面积的
3
种求法

一．解答题（共
7
小题）

1
．
（
201 2?
广西）已知抛物线
y=ax
2
+2x+c
的图象与
x< br>轴交于点
A
（
3
，
0
）和点
C
，与
y
轴交于点
B
（
0
，
3
）
．
（
1
）求抛物线的解析式；

（
2
）在抛物 线的对称轴上找一点
D
，使得点
D
到点
B
、
C的距离之和最小，并求出
点
D
的坐标；

（
3
）在第一象限的抛物线上，是否存在一点
P
，使得
△
ABP
的面积最 大？若存在，
求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．

2
．
（
2013?
茂名）
如图，
抛物线
已知点
B< br>的坐标为（
3
，
0
）
．

（
1
）求
a
的值和抛物线的顶点坐标；

（
2
）分别连接
AC
、
BC
．在
x
轴下方的抛物线 上求一点
M
，使
△
AMC
与
△
ABC
的< br>面积相等；

（
3
）设
N
是抛物线对称轴上的一个动 点，
d=|AN
﹣
CN|
．探究：是否存在一点
N
，使d
的值最大？若存在，
请直接写出点
N
的坐标和
d
的最 大值；
若不存在，
请简单说明
理由．

3
．
（2011?
茂名）如图，在平面直角坐标系
xoy
中，已知抛物线经过点
A
（
0
，
4
）
，
B
（
1
，
0
）
，
C
（
5
，
0
）
，抛物线对称轴
l
与
x
轴相交于点
M
．

（
1
）求抛物线的解析式和对称轴；

（
2
）点< br>P
在抛物线上，且以
A
、
O
、
M
、
P
为顶点的四边形四条边的长度为四个连续
的正整数，请你直接写出点
P
的坐 标；

精心整理

与
x
轴交于点
A
和点< br>B
，
与
y
轴交于点
C
，
精心整理

（
3
）连接
AC
．探索：在直线
AC
下方的抛物线 上是否存在一点
N
，使
△
NAC
的面
积最大？若存在，请你 求出点
N
的坐标；若不存在，请你说明理由．

4
．
（2012?
黔西南州）
如图，
在平面直角坐标系
xOy
中，已知抛物线经过点
A
（
0
，
4
）
，
B
（
1
，
0
）
，
C
（
5
，
0
）
，抛物线的对称轴
l
与
x
轴相交于点
M
．

（
1
）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；
（
2
）设点
P
为抛物线（
x
＞
5
）上 的一点，若以
A
、
O
、
M
、
P
为顶点的四 边形的四条
边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点
P
的坐标；
（
3
）连接
AC
，探索：在直线
AC
下方的抛物线上是 否存在一点
N
，使
△
NAC
的面
积最大？若存在，请你求出 点
N
的坐标；若不存在，请说明理由．

5
．
（
2 013?
新疆）如图，已知抛物线
y=ax
2
+bx+3
与
x
轴交于
A
、
B
两点，过点
A
的直
线l
与抛物线交于点
C
，其中
A
点的坐标是（
1
，
0
）
，
C
点坐标是（
4
，
3
）
．

（
1
）求抛物线的解析式；

（
2< br>）在（
1
）中抛物线的对称轴上是否存在点
D
，使
△
BCD
的周长最小？若存在，
求出点
D
的坐标，若不存在，请说明理由；
（
3
）若点
E
是（
1
）中抛物线上的一个动 点，且位于直线
AC
的下方，试求
△
ACE
的最大面积及
E
点的坐标．

6
．
（
2009?
江津区）如图，抛 物线
y=
﹣
x
2
+bx+c
与
x
轴交于< br>A
（
1
，
0
）
，
B
（﹣
3
，
0
）
两点．

（
1
）求该抛物线的解析式；

（
2
）设（
1
）中的抛物线交
y
轴与
C
点，在该抛物线的对称轴上是否存在点
Q
，使
得
△
QAC
的周长最小？若存在，求出
Q< br>点的坐标；若不存在，请说明理由；

（
3
）在（
1
）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点
P
，使
△
PBC
的面积最 大？若
存在，求出点
P
的坐标及
△
PBC
的面积最大值；若 没有，请说明理由．

精心整理

精心整理

7
． 如图，已知二次函数
y=ax
2
+bx+c
经过点
A
（1
，
0
）
，
C
（
0
，
3）
，且对称轴为直线
x=
﹣
1
．

（
1
）求二次函数的表达式；

（
2
）在抛物线上 是否存在点
P
，使
△
PAB
得面积为
10
，请写出 所有点
P
的坐标．

二次函数与三角形最大面积的
3
种求法

参考答案与试题解析

一．解答题（共
7
小题）

1
．（
2012?
广
解：（
1
）∵抛物线
y=ax
+2x+c
的图象经过点
A
（
3
，
0
）和 点
B
（
0
，
3
），

西）
解答：

∴
，解得
a=
﹣
1
，
c=3
，

∴抛物线的解析式为：
y=
﹣
x
+2x+3
．
< br>（
2
）对称轴为
x=
2
2
2
=1
，

令
y=
﹣
x
+2x+3=0
，解得
x< br>1
=3
，
x
2
=
﹣
1
，∴
C
（﹣
1
，
0
）．

如图
1
所示 ，连接
AB
，与对称轴
x=1
的交点即为所求之
D
点，由于
A
、
C
两点关于对称轴对称，
则此时
DB+DC=DB+D A=AB
最小．

设直线
AB
的解析式为
y=kx+b，由
A
（
3
，
0
）、
B
（
0
，
3
）可得：

，解得
k=
﹣
1
，
b=3
，

∴直线
AB
解析式为
y=
﹣
x+3
．
< br>当
x=1
时，
y=2
，∴
D
点坐标为（
1< br>，
2
）．

（
3
）结论：存在．

如图
2
所示，设
P
（
x
，
y
）是第一象限 的抛物线上一点，

过点
P
作
PN
⊥
x
轴 于点
N
，则
ON=x
，
PN=y
，
AN=OA﹣
ON=3
﹣
x
．

S
△
ABP=S
梯形
PNOB
+S
△
PNA
﹣
S
△
AOB

=
（
OB+PN
）
?ON+
P N?AN
﹣
OA?OB
=
（
3+y
）
?x+y?
（
3
﹣
x
）﹣
×
3
×
3
=
（
x+y
）﹣
，

∵
P
（x
，
y
）在抛物线上，∴
y=
﹣
x
+2x+3
，代入上式得：

S
△
ABP
=
（
x+y
）﹣
=
﹣
（
x
﹣
3x
）
=
﹣
（
x
﹣
）
+
∴当
x=
时，
S
△
ABP
取得最大值．

当
x=
时，
y=
﹣
x
+2x+3=
2
2
2
2
，

，∴
P
（
，
）．

）
．

所以，在第一象限的抛物线上，存在一点
P
，使得
△
ABP
的面积 最大；
P
点的坐标为
（
，
精心整理

精心整理

2
．
（
2013?
茂名）

解答：

解：（
1
）∵抛物线
y=ax
﹣
x+2
经过点
B
（
3
，
0
），

∴
9a
﹣
×
3+2=0
，

解得
a=
﹣
，

∴
y=
﹣
x
﹣
x+2
，

∵y=
﹣
x
﹣
x+2=
﹣
（
x
+3x< br>）
+2=
﹣
（
x+
）
+
，

∴顶点坐标为（﹣
，
）；

（
2
）∵抛物线
y=
﹣
x
﹣
x+2
的对称轴为直线
x=
﹣
，

与
x
轴交于点
A
和点
B
，点
B
的坐标为（
3
，
0
），

∴点
A
的坐标为（﹣
6
，
0
）．

又∵当
x=0
时，
y=2
，

∴
C
点坐标为（
0
，
2
）．

设直线
AC
的解析式为
y=kx+b
，

则
，解得
，

2
2
2
2
2
2
∴直线
AC
的解析式为
y=
x+2
．

∵
S
△
AMC
=S
△
ABC
，

∴点
B
与点
M
到
AC
的距离相等，

又∵点
B
与点
M
都在
AC
的下方，

∴
BM
∥
AC
，

设直线
BM
的解析式为
y=
x+n
，

将 点
B
（
3
，
0
）代入，得
×
3+n=0< br>，

解得
n=
﹣
1
，

∴直线BM
的解析式为
y=
x
﹣
1
．

由
，解得
，
，

∴
M
点的坐标是（﹣
9
，﹣
4
）；
（
3
）在抛物线对称轴上存在一点
N
，能够使
d=|AN
﹣
值最大．理由如下：

∵抛物线
y=
﹣
x
﹣< br>x+2
与
x
轴交于点
A
和点
B
，

精心整理

2
CN|
的