再见小时候方向余弦矩阵

2021年1月20日发(作者：华谭)
变换部分文字

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概述

原则上，
所有图象处理 都是图像的变换，
而本章所谓的图象变换特指数字图象经过某种数学
工具的处理，
把原 先二维空间域中的数据，
变换到另外一个

变换域

形式描述的过程。< br>例如，
傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域的能量分布描述。

任何图象信 号处理都不同程度改变图象信号的频率成分的分布，
因此，
对信号的频域
（变换
域）分析和处理是重要的技术手段，
而且，有一些在空间域不容易实现的操作，可以在频域
（ 变换域）中简单、方便地完成。


Pp
如上所述，图象变换是将

维空间图象数据变换成另外一组基向量空间（通常是正交向量空
间）的坐标参数，我们希望这些 离散图象信号坐标参数更集中地代表了图象中的有效信息，
或者是更便于达到某种处理目的。下图描述了 数字图象处理中空域处理与变换域处理的关
系。

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图象变换的实质就是 将图象从一个空间变换到另一个空间，
各种变换的不同之处关键在于变
换的基向量不同。以下给 出几种不同变换基向量的变换示例。

例如，由直角坐标系变化到极坐标系，见下图

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同样，一幅彩色图象可以按照某种准则，分解成若干个基本色彩分量图象的和。

傅立叶变换可以将一维信号从时间域变换到频率域，
例如下图，
一个正弦信号经过傅立 叶变
换后，得到它的频率分布零频（直流分量）和基频。

一维傅立叶变换的定义：

一维傅立叶反变换定义：

F(u)包含了正弦和余弦项的无限项的和，
u
称为频率变量，它的每一个值确定了所对应的正弦
-
余弦对的频率。

根据尤拉公式


傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式
:

其中：

傅立叶谱（幅值函数）为

相角为

能量谱为

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连续二维函数的傅立叶变换对定义

二维函数的傅立叶正变换

二维函数的傅立叶逆变换

二维函数的傅立叶谱

二维函数的傅立叶变换的相角

二维函数的傅立叶变换的能量谱


pp
2
离散傅立叶变换

由于实际问题的时间或空间函数的区间是 有限的，
或者是频谱有截止频率。
至少在横坐标超
过一定范围时，函数值已趋于

而可以略去不计。将

和

的有效宽度同样等分为

个小间隔，
对连续傅立叶变换进行近似的数值计算，得到离散的傅立叶变换定义。

其中，一维离散傅立叶正变换


一维离散傅立叶逆变换



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二维离散傅立叶变换：对于

图象



对于

图象



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1.3
离散傅立叶变换的性质

性质
1
：可分离性


二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。

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性质
2
：平移性

空间域平移：


频率域平移：


pp
当

时有：



可以简单的用

乘以

将

的傅立叶变换的原点移动到相应

频率方阵的中心。

（图）

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性质
3
：周期性及共轭对称性

离散的傅立叶变换和它的反变换具有周期为

的周期性：


傅立叶变换也存在共轭对称性：


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性质
4
：旋转性质

平面直角坐标改写成极坐标形式：


做代换有：

如果

被旋转

则

被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：


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（图）

性质
5
：线性性质

如果：

则有：


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性质
6
：

与图象均值的关系

二维图象灰度均值定义：


而傅立叶变换变换域原点的频谱分量：


所以有：

即

数值

倍于图象灰度均值。

Pp
性质
7
：图象拉普拉斯算子处理后的傅立叶变换

图象拉普拉斯算子处理的定义：


则图象拉普拉斯算子处理后的傅立叶变换对为：


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性质
8
：卷积与相关定理

卷积定理

一维序列的卷积运算定义为：


当

则有

注意在用傅立叶变换计算卷积时，

由于函数被周期化，为了保证卷积结果正确，计算 过程
中两个序列长度
N1
，
N2
都要补零加长为
N1+ < br>N2-1
。二维图象序列卷积定理的定义和计算
过程与一维情况相同。
*
为卷积符号。


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相关定理：

一维、二维两个离散序列的相关可以写作



则有相关定理




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4
快速傅立叶变换

由一维傅立叶变换入手，换一种表示方法





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定义：


则：

因为：



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傅立叶变换的快速计算示意图：

（图）

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一维傅立叶变换：


其逆变换为：

R
则有：

对于二维情况：


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§
2
离散余弦变换（
DCT
）

从第一节内容我们 可以看到，
傅立叶变换是用无穷区间上的复正弦基函数和信号的内积描述
信号中总体频率分布，
或者是将信号向不同频率变量基函数矢量投影。
实际上，
基函数可以
有其它不 同类型，相当于用不同类型基函数去分解信号（图象）
。余弦变换是其中常用的一
种。

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设离散序列

，为一离散序列，根据下式延拓成偶对称序列

：


其中

。

是关于

为中心的偶对称序列如下图所示。

（图）


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以

代入在

范围内作

点的傅立叶变换：


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余弦变换的变换核为：

表示成矩阵形式为：
（其中各列模为
1
）


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定义偶余弦变换（
EDCT
）和逆变换为：