丁俊晖吧如何培养孩子的几何空间思维

2021年1月20日发(作者：项华)
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如何培养孩子的几何空间思维

几何初步知识是小学数学的主要内容之一，通过对几何 图形最基础的知识的教学，使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相
互位置关系的表象，能够识别 所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。


学生对几何形体特征的理解，对周长、面积、体积的计算，往往是离开了这些几何实体，而依赖于头脑中对物体 的形状、大小和相
互位置关系的形象的反映，这就要求学生具有一定的空间观念。因此，我们在进行几何 初步知识的教学时，要充分利用各种条件，
运用各种手段，引导学生通过对物体、模型、图形的观察、测 量、拼摆、画图、制作、实验等活动，让学生获取和运用几何初步知
识，并在运用几何初步知识的过程中 培养初步的空间观念。



本文就这一问题，谈一些粗浅的看法。


一、通过观察、演示、操作等感知活动，使学生逐步形成几何形体的表象



要认识几何形体，必须理解几何形体的本质属性，形成正确、清晰的几何概念。几何概念是人 们在长期的生活、生产实践中，
通过对大量的现实世界的空间形式进行高度的抽象概括后得到的。所以我 们要重视引导学生进行观察等感知活动，使学生形成几何
形体的表象，得到正确清晰的几何概念。



例如怎样认识长方体和正方体？教材没有给长方体下定义，而是通过课本中图 形的观察，指出某些物体的形状是长方体。但是
由
6
个面、
12
条棱 、
8
个顶点所组成的立体不一定都是长方体，所以在教学时，就要拿出学生熟悉的日常生活中的 实物，如装食品
的纸盒、铅笔盒、保健箱等，引导学生仔细观察这些实物的面、棱、顶点的情况。然后把 作为教具的空纸盒展开成平面图（相对的
面和相对的棱课前分别涂上不同的颜色，见图
47），让学生观察、比较一下，着重加深对长方体的
“6
个面都是长方形（也可能有
两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等
”
、
“
相对的棱的长度相等< br>”
的认识，使具体事物的形象在头脑里得到全面的反映，从
而使学生对长方体的理解更加 深刻。接着再引入正方体的知识，学生通过对实物和平面展开图的观察，突出正方体这一属概念所具
有的 ，区别于其它属概念的性质是长、宽、高都相等，并且能了解正方体和长方体之间的关系。



有些几何形体的概念，
不仅要借助教具的演示，
而且还要通过学生自己动手 实际操作和测量，
来理解它的本质涵义。
例如
“
体积
”
的概 念，本身是抽象的、先验性的。教学时，教师请学生观察教室里墙角的书柜之类的物品，想一想，这块地方不把书 柜搬走，还

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能放别 的东西吗？还可在讲桌上出示一个盛水的玻璃容器，把一块金属块放入容器中，水面为什么会上升？通过这样的演 示，使学
生理解了这是因为书柜或容器中的金属块占据了一定大小的空间，把抽象的概念转换成看得到摸 得着的感知活动，使学生初步理解
“
空间
”“
体积
”
的实际 意义，获取一定的空间观念。又如教学长方形的周长时，教师把一张长方形纸的周长贴上彩色纸条后，再拉直展开成相连的
4
条线段（长和宽用不同的颜色区别），让学生到黑板前实际测量后列出不同 的算式计算，让学生思考：一个长方形
有几条长和几条宽？怎样计算周长比较方便？从而使学生获得长方 形
“
周长
”
的表象，并掌握长方形周长的计算公式。接着，让学生
自 己动手操作测量某些实物的长和宽，计算出它们的周长，如教室中的玻璃窗、数学课本的封面、桌面等。



学生要得到一个正确清晰的几何概念，需要借助于直观演示、动手操作等感知活动 来完成。如三角形面积公式的教学之前，学
生对长方形、正方形、平行四边形、三角形等基本图形的表象 已有所认识。我们把所有三角形作为一个整体来看，那么，锐角三角
形、直角三角形和钝角三角形便都是 这个整体的一部分。三角形面积公式的教学，教材中是通过数三角形和平行四边形的方格，再
将两个锐角 三角形拼摆成平行四边形来推导出面积公式。但教师在课前让学生自行准备好的两个形状、大小完全一样的三角形 ，并
不一定都是两个锐角三角形，因此我们在课堂上让学生自己动手拼摆时，学生完全可能由两个全等的 直角三角形、锐角三角形或钝
角三角形拼摆出长方形、正方形或平行四边形（见下列三组拼摆图形，图< br>48
、
49
、
50
）。所以在公式的推导过程中，还需要考虑
到知识的完整性和方法的多样性，最后再归纳推导出三角形的面积公式
=
底
×
高
÷
2
。





二、在运用几何知识的过程中，加深学生对几何概念的理解，培养初步的空间观念


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在学生 运用几何初步知识的过程中，教师还应引导学生运用图形的分解、组合、平移、旋转等数学方法，加深对几何形体 的感
知，培养初步的空间观念。



例如，
“
计算图形阴影部分的面积。
”


学生从图形的直觉感知中，已知图
51
中
4
块小阴影部分的面积是相等的 ，空间观念较弱的学生一般只会从两个角度去思考，
或按步就班地先算出
1
块阴影部分 的面积，再算出
4
块阴影部分的面积；或者从大长方形面积里减去空白部分的面积，得到阴影部
分的面积，但这样就不能两次计算十字空白交叉处的面积（
2×
2
）。如何化 静为动，从运动的观点出发，启发学生通过想象图形中
空白十字的移动，使它们变换成图
52< br>的样子，从而就可以较简便地计算出图形阴影部分的面积是（
20-2
）
×（
10-2
）
=144
（平
方米）




分解、组合平面图形和进行图形的变换，不仅对学习、推导平面图形的面积公式是 重要的，而且在测量、计算几何图形的面积
时，也有着重要的意义，可以看出学生空间知觉能力的水平。 如果学生掌握了图形的本质特征，不论图形的形状、大小、方位等如
何变化，都能正确地求得解答。


又如下面一题，
“
如图
53
求图中两个 圆的阴影部分的面积之差。
”




学生虽然已经学过了 圆面积的求积公式，但是大圆和小圆的阴影部分的面积是不易于直接求得的。这就需要学生具有一定的空
间观念，特别是对空间关系的知觉与想象能力。可以让学生自己动手操作，通过平移小圆或翻转小圆的实践活动， 变成下面三种情
况：见图
54
，小圆向右平移，两圆相切，缩小相等的空白部分，同时 扩大相等的阴影部分。



小圆向左平移，圆心重叠，扩大相等的空白部分，同时缩小相等的阴影部分。



小圆向左翻
180°
，扩大相等的空白部分，同时缩小相等的阴影部分。


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虽然两圆的相互位置关系起了变化，阴影部分和空白部分的大小边起了变化，但是可以看出，两个圆的阴影部 分的面积之差实
质上就是两个圆的面积之差。所以答案是（
3
2
-2
2
）×
3.14
＝
15.7
（平方厘米）。




再如，我们在圆柱和圆锥知识教学之后，出了这样一道题目如图
55
：



“在一只底面半径是
10
厘米的圆柱形玻璃瓶中，水深
8
厘米。要在瓶中放入长和宽都是
8
厘米，高是
15
厘米的一块铁块 ，



（
1
）如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？



（
2
）如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？（得数保留整厘米数）”



对此题的解答，需要引导学生实验演示，或让学生想象出铁块浸没在水中的两种情 况之下的不同的形状、方位、大小，培养学
生的空间观念。




第（
1
）小题，学生容易理解把铁块横放在水中，将会全部浸没。上升的容积就是铁块 的体积。若用算术方法解：



15
×
8
×8
÷（
10
2
×
3.14
）≈
3
（厘 米）



水面上升的

圆柱底面积

水面上升



容积

的高度


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（也就是铁块体积）



第
（
2
）小题 ，
学生首先要考虑，
把铁块竖放在水中，铁块能全部浸没吗？显然不能。
因为横放在水 中，
水面只上升了约
3
厘米，
而竖放在水中，铁块的体积不变，底面积变小了 ，所以水面不可能上升到
15
厘米这一高度。进而再考虑，把铁块竖放在水中，水面
是 肯定要上升的，因为有部分铁块将浸没在水中。若用方程解：



解：设把铁块竖放在水中，水面上升到
x
厘米。



10
2
×
3.14
×
x- 8
2
×
x= 10
2
×
3.14
×
8



水面上升后的浸没在水中的那水面上升前的



容积部分铁块的体积容积



x
≈
10


10-8
＝
2
（厘米）→水面上升
2
厘米。

三、沟通几何知识的内在联系抓住综合运用，提高空间观念的积累水平



在学生掌握了部分几何知识，且具有初步的空间观念以后，如何进一步沟通几何知识的内在联系，我认为 还应抓住综合运用，
启发学生从多角度去思考问题，采用多种方法去解决问题，以利于提高空间观念的积 累水平。



如在学生对于平行四边形、三角形和梯形的面积具有初步的空 间观念之后，要求学生运用多种方法解答下题：



“求平行四边形
ABCD
中阴影部分的面积”。（见图
56
）




（单位：厘米）



首先，平行四边形中的阴影部分不 是直接可以用求积公式计算的基本图形；其次必须先对整个图形的结构作粗略的视觉分析，
找出可分解为 哪几个基本图形；然后再寻找出各个小图形（基本图形）中各自隐蔽的条件。这就要求学生具有较强的综合分析能 力，