政变22年数一考研大纲

2021年1月20日发(作者：输液)

考试科目


高等数学、线性代数、概率论与数理统计


考试形式和试卷结构



1
、试卷满分及考试时间




试卷满分为
150
分，考试时间为
180
分钟
.



2
、答题方式




答题方式为闭卷、笔试
.



3
、试卷内容结构




高等教学

56%



线性代数

22%



概率论与数理统计

22%



4
、试卷题型结构




试卷题型结构为：




单选题

8
小题，每题
4
分，共
32
分




填空题

6
小题，每题
4
分，共
24
分




解答题
(
包括证明题
) 9
小题，共
94
分


考试内容之高等数学



函数、极限、连续




考试要求




1.
理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系
.



2.
了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
.



3.
理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念
.



4.
掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念
.



5.
理解极限的概念，
理解函数左极限与右极限的概 念以及函数极限存在
与左、右极限之间的关系
.



6.
掌握极限的性质及四则运算法则
.



7 .
掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要
极限求极限的方法
.



8.
理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的 比较方法，会用等
价无穷小量求极限
.



9.
理解函数连续性的概念
(
含左连续与右连续
)
，会判别函数间断点的类型
.



10.
了解连续函数的性质和初等函数的 连续性，理解闭区间上连续函数
的性质
(
有界性、最大值和最小值定理、介值定理)
，并会应用这些性质
.



一元函数微分学




考试要求




1.
理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意
义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导
数描述一些物理量，理 解函数的可导性与连续性之间的关系
.



2.
掌握导 数的四则运算法则和复合函数的求导法则，
掌握基本初等函数
的导数公式
.
了 解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数
的微分
.



3.
了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数
.



4.
会求分段函数的导数，
会求隐函数和由参数方程所确定的函 数以及反
函数的导数
.



5.
理解并会用罗 尔
(Rolle)
定理、拉格朗日
(Lagrange)
中值定理和泰勒(Taylor)
定理，了解并会用柯西
(Cauchy)
中值定理
.



6.
掌握用洛必达法则求未定式极限的方法
.



7.
理解函数的极值概念，
掌握用导数判断函数的单 调性和求函数极值的
方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用
.



8.
会用导数判断函数图形的凹凸性
(
注：在区间

内，设函数

具有二阶
导数。当

时，

的图形是凹的
;
当

时，

的图形是凸的
)
，会求函数图形的拐
点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形
.



9.
了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径
.



一元函数积分学




考试要求




1.
理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念
.



2.
掌握不定积分的基本公式，
掌握不定积分和定积分的性质及定积分中< br>值定理，掌握换元积分法与分部积分法
.



3.
会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分
.



4.
理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿
-
莱布尼茨公 式
.



5.
了解反常积分的概念，会计算反常积分
.


6.
掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量
(
平面图形的面积、平
面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、
功、引力、压力、质心、形心 等
)
及函数的平均值
.



向量代数和空间解析几何




考试要求




1.
理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示
.



2.
掌握向量的运算
(
线性运算、数量积、向量积、混合积
)
，了解两个向
量垂直、平行的条件
.



3.
理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标
表达式进行向量运算的 方法
.



4.
掌握平面方程和直线方程及其求法
.



5.
会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平
面、直线的相互关系< br>(
平行、垂直、相交等
)
解决有关问题
.



6.
会求点到直线以及点到平面的距离
.



7.
了解曲面方程和空间曲线方程的概念
.



8.
了解常用二次曲面的方程及其图形，
会求简单的柱面和旋转曲面的方
程
.



9.
了解空间曲线的参数方程和一般方程
.了解空间曲线在坐标平面上的
投影，并会求该投影曲线的方程
.



多元函数微分学




考试要求




1.
理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义
.



2.
了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性
质
.



3.
理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解 全微分存在
的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性
.



4.
理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法
.



5.
掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法
.



6.
了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数
.



7.
了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概 念，
会求它
们的方程
.



8.
了解二元函数的二阶泰勒公式
.



9.
理解多元函数极值和条件极值的概念，
掌握多元函数极值存在的必要
条件，了解二元函 数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉
格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最 大值和最小值，并会解
决一些简单的应用问题
.



多元函数积分学




考试要求




1.
理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分
的中值定理
.



2.
掌握二重积分的计算方 法
(
直角坐标、
极坐标
)
，
会计算三重积分
(直角
坐标、柱面坐标、球面坐标
).



3.理解两类曲线积分的概念，
了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分
的关系
.



4.
掌握计算两类曲线积分的方法
.



5.
掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，
会 求二元函
数全微分的原函数
.



6.
了解两 类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两
类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲 面积分的方法，并会用斯托克
斯公式计算曲线积分
.



7.
了解散度与旋度的概念，并会计算
.



8.
会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量
(
平面图形
的面 积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、
功及流量等
).



无穷级数




考试要求




1.
理解常数项级数收敛、发散 以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基
本性质及收敛的必要条件
.



2.
掌握几何级数与

级数的收敛与发散的条件
.



3.
掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法
.



4.
掌握交错级数的莱布尼茨判别法
.



5.
了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的
关系
.



6.
了解函数项级数的收敛域及和函数的概念
.



7.
理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及
收敛域的求法
.



8.
了解幂级数在其收敛 区间内的基本性质
(
和函数的连续性、逐项求导
和逐项积分
)
，会求 一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些
数项级数的和
.



9.
了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件
.



10.
掌握

，

，

，

及

的麦克劳林
(Maclaurin)
展开 式，会用它们将一些
简单函数间接展开成幂级数
.



11.
了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，
会将定义在

上的函数
展开为傅里叶级数，会将定义在

上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会
写出傅里叶级数的和函数的表达式
.



常微分方程




考试要求




1.
了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念
.



2.
掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
.



3.
会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换
解某些微分方程
.



4.
会用降阶法解下列形式的微分方程：

.



5.
理解线性微分方程解的性质及解的结构
.



6.
掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，
并会解某些高于二阶的常< br>系数齐次线性微分方程
.



7.
会解自由项为 多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和
与积的二阶常系数非齐次线性微分方程
.



8.
会解欧拉方程
.



9.
会用微分方程解决一些简单的应用问题
.

考试内容之线性代数



第一章：行列式




考试内容：




行列式的概念和基本性质

行列式按行（列）展开定理




考试要求：




1
．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．




2
．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．




第二章：矩阵




考试内容：




矩阵的概念

矩阵的线性运算

矩阵的乘法

方阵的幂

方阵乘积的行列
式

矩阵的转置

逆矩阵的概念和性质

矩阵可逆的充分必要条件

伴随矩阵

矩阵的初等变换

初等矩阵

矩阵的秩

矩阵等价

分块矩阵及其运算




考试要求：




1
．理解矩阵的概念，了解单 位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、
对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．




2
．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵< br>的幂与方阵乘积的行列式的性质
.



3
．理解 逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条
件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求 逆矩阵．




4
．理解矩阵的初等变换的概念，了解初 等矩阵的性质和矩阵等价的概
念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．< br>



5
．了解分块矩阵及其运算．




第三章：向量




考试内容：