抛弃-切尼
数轴上的行程问题及其新的解法
指导老师;伍兴友
将传统的行程问题和数轴有机 的结合,既体现了传统行程问题的特点,又增
加了数轴性质在解题中的综合运用,
赋予题目更多 的灵性和想象空间。
我们通过
探索和研究得出了数轴上行程问题一些新的解法和思维方式,现表 述如下;
数轴上的行程问题离不开数轴上两点之间的距离。
对于我们初一年级学生来
说,要先明确以下几个问题:
1
.如何用数轴上两个点的坐标表示两点间的 距离,数轴上的两个点总有一
个在左,
一个在右,
用右边的点的坐标减去左边点的坐标 就可以表示这两点间的
距离了。也可以用左边的点的坐标减去右边的点的坐标的绝对值来表示。
2
..如何表示数轴上的点运动一段距离后坐标。由于数轴向右的方向为正
方向,因此向右运动
b
个单位看作
+b
,
而向左运动
b
个单位看着
-b
。
这样在起点
坐标的基础上加上点的运动路程就可以直接得 到运动后点的坐标。
如一个起始点
的坐标为
a
,
向左运动
b
个单位后表示的数为
a
—
b
;
向右运动
b
个单位后所表示
的数为
a+b
。
3
.数轴是数形结合的产 物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点
在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系 。
数轴上的相遇问题;
例
1
.已知数轴上有
A
、
B
、两点,分别代表—
24
,
10
,它们同时 相向而行,
A
每秒向右运动
3
个单位,
B
每秒向左运动2
个单位。问多少秒后
A
与
B
相遇?相遇
时的坐标位置 是多少?
按传统习惯解法是;
解;
设
x
秒后
A
与
B
相遇,依题意可列方程得;
3x+2x=10-(-24)
解得;
x=6.8
秒
由
A
向右运动了
6.8x3=20.4
个单位,
可推出
A
与
B
相遇在
-3.6
的位置。
按新的解法;
其解题思路是;若
A
与
B
相遇 ,那么
A
与
B
的坐标就相同。
可以依此列方程。其解题过程如下;< br>
解;
设
x
秒后
A
与
B
相遇,相遇时
A
运动了
3x
个单位,
可知
A
点到达的 坐标
位置是
(-24+3x)
。
相遇时B
运动了
2x
个单位,可知
B
点到达的坐标
位置是(10-2x)
。
依据
A
与
B
相遇是的坐标相同的原理列方程如下;
-24+3x=10-2x
解得;
x=6.8
秒
再把
x=6.8
代入 方程的左边或者右边,
都可以得
出相遇时的坐标位置是
-3.6
。
数轴上的追击问题;
例题
2
;已知数轴上有
C
,D两点,它们的坐标分别是-
12
和
8.
它们同时
出 发,C点已每秒
2
个单位的速度向右运动。
D
点则已每秒
4
个单位的速度向右运
动。问多少秒后在什么坐标位置
D
点追上
C
点?
按传统解法是;
解;
设
x< br>秒后
D
点追上C点;
根据
D
点运行的路程
=C
点运行的路程
+D
与
C
相距的路程。可列方程如下;
4x=2x+(8+12)
解得;
X=10
秒。
再把
X=10
代入方程的左边,可知
D
点运动了
40
个单位记着
-40
, 由
D
点的
起始坐标是
8
,依据
8+
(
-4 0
)
=-32.
可以推出
D
点在
-32
的位置追上
C
点。
按新的解法
;
其解题思路 是;
D
点追上
C
点时它们处在同一位置,
而且坐
标相同,可 以依据这一特点列出方程求解
其解题过程如下;
解;设
x
秒后
D
点追上
C
点,则
D
点走的路程为
4x.
由
D
点的起始坐标
8
可
以推出
D
点到达的 位置坐标是
8-4x
则
C
点走的路程为
2x, < br>由
C
点的起始坐标
-12
可以推出C点到达的位置坐
标是-12-2x
依据
D
点追上
C
点时处在同一位置, 坐标相同的特点可列方程如下;
8-4x=-12-2x
解得;
x=10
秒
把
x=10
秒代入方程的左边或者右边便可以推出
D
的
在坐 标为
-32
的地方追上
C
点。
以上新的解题方法是传统的 行程问题解题中所不具有。
它将行程问题和数轴
有机地结合在一起,
既体现了传统行程 问题的特点,
又增加了数轴的性质的综合
运用,赋予了题目新的灵性,给予学生更多的思考空间 。
例
3
.如图,已知
A
、
B
分别为数轴 上两点,
A
点对应的数为—
20
,
B
点对应
的数为
100
。
⑴求
AB
中点
M
对应的数;
⑵现有一只电子蚂蚁
P
从
B
点出发,以
6
个单位
/
秒的速度向 左运动,同时另
一只电子蚂蚁
Q
恰好从
A
点出发,
以
4
个单位
/
秒的速度向右运动,
设两只电子蚂
蚁在数轴上的
C
点相遇,求
C
点对应的数;
⑶若当电子蚂蚁
P
从
B
点出发时,以
6
个单位
/
秒的速度向左运动,同时另 一
只电子蚂蚁
Q
恰好从
A
点出发,
以
4
个 单位
/
秒的速度也向左运动,
设两只电子蚂
蚁在数轴上的
D
点相遇,求
D
点对应的数。
分析:⑴设
AB
中点
M
对应的数为
x
,由
BM=MA
所以
x—(—
20
)
=100
—
x
,解得
x=40
即
AB
中点
M
对应的数为
40
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