cape距离之和最小

2021年1月21日发(作者：assets)
距离之和最小问题

一、教学目标

1.
初步学会利用三角形、轴对称性质等知识，求线段和的最小值
;
2.
经历问题探究的过程，培养画示意图的习惯
;
3.
感受图形变换、转化、数形结合等思想方法，体验数学思考的严
谨性；

4.
学会用网络和信息技术手段获取知识，解决简单问题。

二、教学重难点

重点
:1.
求线段和的最小值

；

2.
感受数学思想方法。

难点
:1.
网络和信息技术手段的应用；

2.
理解利用轴对称的性质将折线段和的问题转化为求一条线段
长的问题。

三、教学过程

1.
创设情境、激发兴趣

请说出：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句。

如果不熟悉，请从网络上获取。

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句：白日登山望 烽火，黄昏饮
马傍交河。诗中隐含着一个有趣的数学问题：

将军在观望烽火后从山脚 下的点
A
出发，走到小河边的
P
处给马喝
水后再到河岸对面的点B
宿营，他想怎么走才能使路程最短呢？


Ａ

Ｂ

Ａ






Ｂ

拓 展：将军在观望烽火后从山脚下的点
A
出发，走到小河边的
P
处
给马 喝水后再到河岸同侧的点
B
宿营，他怎么走才能使路程最短呢？

2.
导入新课，明确模型

Y
今天我们来学习如何解决中考数学中的


Ｂ

一类问题
--
距离之和最小问题
.
为了让大家

对距离之和最小问题有一个更充分的了解，

Ａ

我们先从生活实际来感受一下这个问题的

本意。

若要在街道旁修建一个奶站，向居民

P
ｘ

区
A
、
B
提供牛奶，奶站应建在什么地方，


ｏ

P
′

才能使从
A,B
到它的距离之和
最短
?
小聪根

据实际情况，以街道旁为
x
轴，建立了如图

A
′

所示的平面直角坐标系，测得
A
点的坐标为
(0
，
3),
Ｂ点的坐标为
（
6,5
）
,
求从
A,B
两 点到奶站距离之和的最小值。那么，除去实际的背
景，这个问题实际上可以描述为：已知两个定点
A,B
和
x
轴上的一个动
点
P
，求
AP+BP< br>最小值问题。

3.
合作探究，提炼方法

我们利用轴对称 的性质以及两点之间线段
最短
的的性质，可将求折
线段和的问题转化为求一条线段长的 问题。

故我们选
x
轴为对称轴，画出顶点
A
的对称点
A
′，联结对称点

A
′与另一点
B< br>，则交
x
轴于点
P
为所求动点。构造
Rt
△
BA
′
D
，求
BA
′
的长即为
AP+BP
的最小值。

原因
:
在
x
轴上任取一点
P′，那么
AP
′
+BP
′必定＞
A
′
B(三角形两
边之和大于第三边
)
，

只有当
A
′
PB
共线时，
A
′
P
′
+BP
′
=A
′
B
，所以
此时
P
点为满足条件的点。

由此可得，
BA
′
2
=B D
2
+A
′
D
2
=10
2
所以
P A+PB=BA
′
=10
，从
A,B
到奶站
距离之和的最小 值为
10.
由此题教师引导学生总结出求线段和最小值的一般步骤
:
①选点
P
所在直线
l
为对
称轴
;
②画出点
A
的对称点
A
′
;
③联结对称点
A
′与
B
之间的线段，则交直线
l
于点
P
即
为所求。

4.
构建模型，实现转化

（
1
）⊙
O
中
AB
⊥
OC,P
为
OC
上的动点，使
PA+PD< br>最小

（
2
）
N
为正方形
ABCD
对角线
AC
上的动点，使
DN+MN
最小

（
3< br>）
P
为正△
ABC
的高
AD
上的动点，使
P E+PC
最小

（
4
）
P
为菱形
ABCD
对角线
AC
上的动点，使
PE+PB
最小

让学生思考，并动手画图。

5.
举一反三、拓展思维

利用上面的结论，可以解决一些关联题，下面试举几例
:
【例
1
】如图，菱形
ABCD
的两条对角线分别长
6和
8
，点
P
是对角
线
AC
上的一个动点，点< br>M,N
分别是边
AB
、
BC
的中点，则
PM+PN
的最小
D
值是
_____________.


P

A
C

M
B
N