vanity小学最大值与最小值

2021年1月21日发(作者：压抑)




知识网络

人们经常考虑有关
< br>最

的问题，
如最大、
最小、
最多、
最少、
最 快、
最慢等。
这类求最大值、
最小值的问题是一类重要典型的问题，我们在实际生产和 生活中经常遇到。

在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论：

（
1
）两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。
（
2
）三个数
a
、
b
、
c
，如果a+b+c
一定，只有当
a=b=c
时，
a
×
b
×
c
的积才能最大。

（
3
）两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。

（
4
）在所有周长相等的
n
边形中，以正
n
边形的面积最 大。

（
5
）在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。

（
6
）在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最 大。

（
7
）在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。





重点·难点

本节所涉及的题型较多，但 一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。
如何根据题意，
灵活运用不同的 方法来求出表达式，
再求最值，
或直接求最值是本讲的重点。
这就要求我们不能太急于 入手，
不妨从一些比较简单的现象或数字开始，
找出规律，
进而解
决问题。< br>




学法指导

解决本节问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：

（1
）从极端情形入手。
（
2
）枚举比较。
（
3
）分析推理。
（
4
）构造。

[
例
1]
不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少？





思路剖析

两个最小的不同的奇合数为< br>9
和
15
，
9+15=24
，因此小于
24
的偶数都不能写成两个不同的
奇合数之和。
下面我们只需要考虑大于
24
的偶 数即可。
15
后面的一个奇合数为
21
，
9+21=30
，
所以比
24
大比
30
小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。< br>32
也不能，
34=9+25
，
36=9+27
，
3 8
不能，
40=15+25
，
42=15=27
，
44=9 +35
，
...
此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和
的最大偶数为< br>38
。





解答

根据以上分析，我们初步确定所求的最大偶数为
38
，下面我们给予证明。

比
38
大的个位为
0
的数（
40
，
50< br>，
60
，
...
）
，可以用下面形式的两个奇合数表示出来：

40=15+25
，
50=15+35
，
60=15+4 5
，
...
比
38
大的个位为
2
的数（
42
，
52
，
62
，
...
）
，可以用下 面形式的两个奇合数表示出来：

42=27+15
，
52=27+25，
62=27+35
，
...
比
38
大的个位为4
的数（
44
，
54
，
64
，
...
）
，可以用下面形式的两个奇合数表示出来：

44=9+35
，< br>54=9+45
，
64+9+55
，
...
比
38
大的个位为
6
的数（
46
，
56
，
66< br>，
...
）
，可以用下面形式的两个奇合数表示出来：

46 =21+25
，
56=21+35
，
66=21=45
，
. ..
比
38
大的个位为
8
的数（
48
，
58
，
68
，
...
）
，可以用下面形式的两个奇合数表示 出来：

48=33+15
，
58=33+25
，
68=3 3+35
，
...
这样就证明了比
38
大的任何一个偶数都可写成两个不同的奇合数之和。

所以
38
是不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数。

[
例
2]
已知两个四位数的差是
8921
（如图
1
所示）< br>，
那么这两个四位数的和的最大值是多少？





图
1




思路剖析

由数 字可知减数的千位上不能为零，而其对应的差为
8
，所以被减数与减数的千位数必定分
别为
9
与
1
。同样百位上的数分别是
9
与
0
。要求两个四位数的和的最大值，在千位与百位
已确定的情况下，十位，个位上的数字差一定，只需其 和最大即可。





解答

据以上分 析知，被减数与减数十位上的数字分别为
9
和
7
，个位上的数字为
9
和
8
，所以这
两个数为
9999
与
1078
。

因为
9999+1078=11077
所以，这两个四位数的和的最大值是
11077
。

[
例< br>3]
用
20
米的长的篱笆围成一个长方形的鸡舍，若长方形一面靠墙，长和宽各 为多少时，
鸡舍面积最大，最大面积是多少？






思路剖析

我们知道，
当一个长方形周长一定时，
如长与 宽相等则面积最大。
因为此题由于靠墙部分没
有篱笆，
不能直接运用以上结论。
通过观察，
我们想到把这个长方形关于墙对称到墙的另一
侧（如图
2
虚线所 示）
，则这两个长方形就转化成了一个较大的长方形。问题也就转化成用
40
米长的篱 笆围成一个长方形，
当长方形的长和宽各为多少时，
面积最大，
最大值为多少？





解答

作出这个长方形关于墙对称到 墙另一侧的部分，
得到一个新的长方形，
此时大长方形周长为
40
米，大长方 形的长
+
宽
=20
米。

我们知道当长方形周长一定时，长和宽相等时，面积最大。

所以当大长方形长、宽均 为
10
米时，大长方形面积最大。也就是说原长方形长为
10
米，宽
为
5
米时，鸡舍面积最大，这个最大面积是
50
平方米。

[
例
4]
有一路公共汽车，
包括起点站和终点站共有
10
个 停车站。
如果这辆公共汽车从起点站
开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘 客从这一站坐到以后的每一站。
为了使乘客都有座位，那么这辆公共汽车上至少要有多少个座？





思路剖析

根据题意，在起点有
9
个乘客上了车，
第二站又上来
8
个乘客，
下去一个乘客，
我们列表写
出具体情况：

站次

1
(
起点
)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(
终点
)
上车人数

9
8
7
6
5
4
3
2
1


下车人数



1
2
3
4
5
6
7
8
9
因此，
这辆车至少应有的座位数应该按上车人数最少的情况来考虑，
也就 是说按表所列上车
人数的情况下，应保证每位乘客均有座位。

从表上看出，
前五站上车人多下车人少，
后五站上车人少下车人多，
因此车上乘客最多时是
在第五站 乘客上下车后的人数。





解答

车上的乘客在第五站时最多，此时汽车上的乘客人数为

（
9+8+7+6+ 5
）
-
（
1+2+3+4
）
=35-10=25
（ 个）

因此，车上至少要有
25
个座位，才能保证每个乘客都有座位。

[
例
5]
求同时满足
a+b+c=6
，
2a-b+c=3，且
b
≥
c
≥
0
的
a
的最大值及最小 值。





思路剖析

本题有三个未 知量，
给出了两个等式及一个不等式，
而要求出
a
的最大值及最小值，
因此要