力学性能-connector
.
确定磁场最小面积的方法
电磁场容历来是高考中的重点和难点。近年来 求磁场的问题屡屡成为高考中的热点,而
这类问题单纯从物理的角度又比较难求解,下面介绍几种数学方 法。
一、几何法
例
1.
一质量为
m
、电荷量为
+q
的粒子以速度
,从
O
点沿
y
轴正方 向射入磁感应强度
为
B
的圆形匀强磁场区域,
磁场方向垂直纸面向外,
粒子飞出磁场区域后,
从
b
处穿过
x
轴,
速度方向与x
轴正方向的夹角为
30
°,
同时进入场强为
E
、方向沿与
x
轴负方向成
60
°
角斜向下的匀强电场中,通过了< br>b
点正下方的
c
点,如图
1
所示,粒子的重力不计,试
求:
(
1
)圆形匀强磁场区域的最小面积;
(
2
)
c
点到
b
点的距离。
图
1
解析:
(
1
)先找圆心,过
b
点逆 着速度
v
的方向作直线
bd
,交
y
轴于
d
,由于粒子在磁
场中偏转的半径一定,且圆心位于
Ob
连线上,距
O
点距离为圆的半径,据牛顿第二定律
有:
①
解得
②
过圆心作
bd
的垂线,
粒子在磁场中运动的轨迹如图< br>2
所示:
要使磁场的区域有最小面积,
则
Oa
应为磁场区域的 直径,由几何关系知:
图
2
.
.
③
由
②③
得
所以圆形匀强磁场的最小面积为:
(
2
)带电粒子进入 电场后,由于速度方向与电场力方向垂直,故做类平抛运动,由运动
的合成知识有:
④
⑤
而
⑥
联立
④⑤⑥
解得
二、参数方法
例
2.
在
xOy
平面有许多电子
(质量为
m
、
电荷量为< br>e
)
,
从坐标原点
O
不断地以相同的速
率
沿 不同方向射入第一象限,如图
3
所示。现加一个垂直于
平面向里,磁感应强
度 为
B
的匀强磁场,要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于
x
轴向
x
轴正向运动。求
符合该条件磁场的最小面积。
图
3 < br>解析:由题意可知,电子是以一定速度从原点
O
沿任意方向射入第一象限时,先考察速< br>.
.
度沿
+y
方向的电子,其运动轨迹是圆心在
x
轴上的
A1
点、半径为
的圆。该电
子沿圆弧
OCP
运动至 最高点
P
时即朝
x
轴的正向,可见这段圆弧就是符合条件磁场的上
边 界,见图
5
。当电子速度方向与
x
轴正向成角度
时,作出轨迹图4
,当电子达到磁场
边界时,速度方向必须平行于
x
轴方向,设边界任一 点的坐标为
,由图
4
可知:
图
4
,消去参数
得:
可以看出随着
的变化,
S的轨迹是圆心为(
0
,
R
)
,半径为
R
的圆, 即是磁场区域的下
边界。
上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图
5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形
面积减去等腰直角三角形面积的
2
倍。< br>
图
5
带电粒子在磁场中运动之磁场最小围问题剖析
.
.
近年来在考题中多次出现求磁场的最小围问题,这类题对学生的平面几何知识与物
理 知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆,其进
入边界未知的磁场后 一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界,运动过程中的临界点(如
运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场 的边界点等)难以确定。下面我们以实例对此类
问题进行分析。
一、磁场围为圆形
例
1
一质量为
、
带电量为
的粒子以速度
从
O
点沿
轴正方向射入磁感强度为
的 一圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面,粒子飞出磁场区后,从
处穿过
轴,
速度方 向与
轴正向夹角为
30
°,如图
1
所示(粒子重力忽略不计)
。
试求:
(
1
)圆形磁场区的最小面积;
(2
)粒子从
O
点进入磁场区到达
点所经历的时间;
(
3
)
点的坐标。
解析:
(
1
)由题可知,粒子不可能直接由O点经半个圆周偏转到
点,其必在圆周运动
不到半圈时离开磁场 区域后沿直线运动到
点。可知,其离开磁场时的临界点与O点都
在圆周上,到圆心的距离必相等 。如图
2
,过
点逆着速度
的方向作虚线,与
轴相
交,
由于粒子在磁场中偏转的半径一定,
且圆心位于
轴上,
距
O
点距离 和到虚线上
点
垂
直
距
离
相
等
的
.
点
即
为
圆
周
运
动
的
圆
心
,
圆
的
半
径
.
。
由
,得
。弦长
为:
,
要使圆形磁场区域面积最小,半径应为
的一半,即:
,
面积
(
2
)粒子运动的圆心角为
1200
,时间
。
(
3
)
距离
,故
点的坐标为(
,
0
)
。
点评:此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点,注意圆心必在两临
界点速度垂线的交 点上且圆心到这两临界点的距离相等;还要明确所求最小圆形磁场的
直径等于粒子运动轨迹的弦长。
二、磁场围为矩形
例
2
如图
3
所示,直角坐标系
有一质量为
第一象限的区域存在沿
(
,
轴正方向的匀强电场。现
)以初速度
沿
轴的
,电量为
的电子从第一 象限的某点
(
负方向开始运动,经过
轴上的点
,
0
)进入第 四象限,先做匀速直线运动然后进
轴、
轴重合,电子偏
轴
的
正
方
向
运
动
,
不
计
电
子
的
重
力
。
求
入垂直纸面的矩形匀强磁场区域,磁场左边界和上边界分别与转
后
恰
好
经
过
坐
标
原
点O
,
并
沿
(
1
)电子经过
点的速度
;
和磁场的最小面积
。
(
2
)该匀强磁场的磁感应强度
.
.
解析:
(
1
)电子从
点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到
点,可知竖 直方向:
,水平方向:
。
解
得
。< br>而
,
所
以
电
子
经
过
点
时< br>的
速
度
为
:
,设
与
300
。
(
2
)如图
4
,电子以与
一定在X轴上,且
的垂直距离相等,找出
边界就确定了。
方向的夹角为θ,可知
,所以θ=
做匀速直线运动,然后进入
成
30
°进入第四象限后先沿
点到
O
点的距离与到直线
匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿
轴向 上的速度经过O点。可知圆周运动的圆心
上
M
点(
M
点即为磁场的边 界点)
点,画出其运动的部分轨迹为弧
MNO
,所以磁场的右边界和下
设偏转半径为
,
直纸面向里。
矩形磁场的长度
,由图知OQ=
=
,解得
,方向垂
,宽度
。
矩形磁场的最小面积为:
点评:此题中粒子进入第四象限后的运动即为例
1
中运动的逆过程,解题思路相似,关
键要注意矩形磁场边界的确定。
三、磁场围为三角形
例
3
如图
5
,一个质量为
.
,带
电量的粒子在
BC< br>边上的
M
点以速度
垂直于
BC
边飞入正三角形
ABC
。
为了使该粒子能在
AC
边上的
N
点
(
C M
=
CN
)
垂真于
AC
边飞出
ABC
,< br>.
可在适当的位置加一个垂直于纸面向里,磁感应强度为
B
的匀强磁场。若此 磁场仅分布
在一个也是正三角形的区域,且不计粒子的重力。试求:
1
)粒子在磁场里运动的轨道半径r及周期
T
;
(
2
)该粒子在磁场里运动的时间
t
;
(
3
)该正三角形区域磁场的最小边长;
解析:
(
1
)由
和
,
得:
,
(
2
) 由题意可知,粒子刚进入磁场时应该先向左偏转,不可能直接在磁场中由
M
点
作圆周运 动到
N
点,当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时,其速度方向应该沿着轨迹的切
线方向并 垂直于半径,如图
6
作出圆
O
,粒子的运动轨迹为弧
GDEF
,圆弧在G点与初速
度方向相切,在
F
点与出射速度相切。画出三角形
,其 与圆弧在
D
、
E
两点相切,并
与圆O交于
F
、G
两点,此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知∠
FOG
=
60 0
,所
以粒子偏转的圆心角为
3000
,运动的时间
.
.
(
3
)连接
并延长与
交与H点,由图可知
,
,
=
点评:这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界 点的确定比较困难,必须将射入速度
与从
AC
边射出速度的反向延长线相交后根据运动 半径已知的特点,
结合几何知识才能确
定。另外,在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹 并不是三角形磁场的切圆。
四、磁场围为树叶形
例
4
在
平面有许多电子(质量为
、电量为
)
,从坐标
O
不断以相同速率
平面向、磁感强度为
的
沿不同方向射入第一象限,如图
7
所示。现加一个垂直于
匀强磁场,要求 这些电子穿过磁场后都能平行于
轴向
正方向运动,求符合该条件磁
场的最小面积。
.
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