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三条线段之和最小值问题
三条线段之和最小值问题
.
重庆南开中学初
2013
级
l1
班周华吴朱泓郦
0
重庆南开中学初
20i3
级
I2
班王丁刘珈言
.
指导教师
:
张克
近几年
,
中考数学试卷中出现了
求三条线段之和最小值的试题
.
题目
多变
,
风格清新
,
但万变不离其宗
.
下
面举三例
:
霸
(2009
福建彰州改编
)
如
图
1,
厶
40B-- 450r
腥厶
4OB
内一点
.
E
图
13
(1)--
角板绕点
0
旋转
.acoFfl
邑
否成为等腰直角三角形
?
若能
,
指出所
有情况
(
即给出
ACO
腥等腰直角三
角形时B
珀勺长
);
若不能
,
请说明理由
.
(2)---
角板绕点
0
旋转
,
线段
OE
和
0
间有什么数量关系
?
用图
l2
或
图
13
加以证明
.
(3)
若将三角板的直角顶点放在
斜边上的点
P
处
(
如图
14),
当
:
AC4
时
.
和贿怎样的数量关系
?
证明
你发现的结论
222012/02
图
14
C
Q-..?
.
.
图
1
A
PO=IO,Q,R
分别是
,OB
上的动点
,
求
PQ+PR+RQ
的最小值
点跟角内部的一个定
点
.
要在角的两边各确定一点使这三
点连成的三角形周长最小
.
只需将这
三边的和转化为以两定点为端点的
藤
(1)
△
c
匕成为等腰直
角三角形
.
包括
:
当点雕曰
C
中点时
,
CF=OF,
曰÷
;
当点
B
与点腹合时
,Z
OF=0.
(2)
如图
12,
连结
DB,
则对于
△
OEB
和△
OFC.
有
OB=OC;OBE=
/0CF--45..
因为
E0
露
+/--BOF=
/-COF+L_BOF=90..
所以
/_EOB=
C0F
所以△
D
朋△
OFC.
所以
DEl_D(
图
13
的证明方法与此类似
)
(3)
如图
14,
过点尸作肼上
AB,
垂
足为
._LBC.
垂足为点因为
厶
EPM+
厶
EPN=
厶
EPN+/_FPN=90~.
所以厶
EPM=FpN.
叉因为
EMP=
FNP=90~.
所以
AEPM'-
所
以—
PM
—
:
丝
.
因为
AAMP~APNC:BJ
PP}
为等腰直角三角形
,
所
~'XRt
△
PMA
RtAPNC.
所以
:.
又因为一
AP
pNPCAC
一
1
所以一
PE
::
三
4PPC
以上试题建立在三角板旋转的
基础上
.
同学们在解题过程中通过实
验操作
,
观 察
,
猜想
,
论证
,
可发现图
形
(
三角板
)
旋转过程中几何基本元
素之间的数量关系
.
涉及的主要知识
有三角形旋转后构造的重叠部分的
面积
,
有关线段和角的数量关系
(
相
等
)
或位置关系
(
垂直或平行
),
三角
形全等与相似的判定和性质
,
直角三
角形的性质和圆的有关内容
.
以上试题
.
突出体现了以下特点
:
第一
.
试题结合三角板的具体情
境
,
考查了同学们对基本几何图形的
形状
,
大小
,
位置关系及变换的认识
,
对重要几何基本事实
(
核心概念
)
的
理解和应用
.
第二
,
试题注重让同学们在应试
过程中经历操作
,
观察
,
推理
,
想象等
探索过程
.
强调在图形运动
(
重叠
,
旋
转
,
平移
)
变化过程中研究几何图形
的基本要素及其关系的能力
.
第三
.
试题更加突出
合情推
理
与
演绎推理
相辅相成的关系
.
考查了同学们优化解题途径及方法
的能力
.
囝
一
条直线即可
.
鬟分别作点
P
关于∞
,OA
的对称点尸
I,P2,
连结
PlP2,
根据轴对称
性易知
DP=OP2=OP=IO,PlO=
2AOB=90.,
因而
P,=l0'2,
故
PQ+PR+RQ
的最小值为
10,/2.
(2010
福建宁德
)
如图
2,
四边形
ABCD
是正方形
.&ABE
是等
边三角形
,
为对角线
BD(
不含
B
点
)
上任意一点
,
将嗍点逆时针旋转
60o
得到
BN,
连结
EN,AM,CM.
E
.
图
2
(1)
求证
:AAMB~AENB.
(2)
①当点臃何处时
,AM+CM
的值最小
?
②当点在何处时
,A
肘
+8
肘
r+c
的值最小
?
说明理由
.
(3)
当
AM+BM+CM
的最小值为
,/
了
+1
时
,
求正方形的边长
嘲易证△
AAENB,
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