功能确定磁场最小面积的方法

2021年1月21日发(作者：大义灭亲)
确定磁场最小面积的方法

电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，

而这类问题单纯从物理的
角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。

一、几何法

例
1.
一质量为
m
电荷量为
+q
的粒子以速度

，从
0
点沿
y
轴正方向射入磁感应强度

为
B
的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从

b
处穿过
x

轴，速度方向与
x
轴正方向的夹角为

30
°,同时进入场强为

E
、方向沿与
x
轴负方向成
60
° 角斜向下的匀强电场中，
通过了

b
点正下方的
c
点，如图
1
所示，粒子的重力不计，试求：

（
1
）

圆
形匀强磁场区域的最小面积；

（
2
）

c
点到
b
点的距离。


解析：
（
1
）先找圆心，
过
b
点逆着速度
v
的方向作直线
bd
，交
y
轴于
d
，由于粒子在 磁

场中偏转的半径一定，

且
圆心位于
Ob
连线上，距
0
点距离为圆的半径，

据牛顿第二定律有：

①

解得

过圆心作
bd
的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图

则
Oa
应为磁场区域的直径，由几何关系知：

2
所示：要使磁场的区域有最小面积
,

由②③得


所以圆形匀强磁场的最小面积为
:
(
2
)
带电 粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动

的合成知识有：

④

⑤

而

⑥

联立④⑤⑥解得

二、参数方法

例
2.
在
xOy
平面内有许多电子
(
质量为

的速率

沿不同方向射入第一象限，如图

m
电荷量为
e
)
，从坐标原点

0
不断地以相同

3
所示。现加一个垂直于

平面向里，磁感应

x
轴向
x
轴正向运动。求符

强度为
B
的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于

合该条件磁场的最小面积。


解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点

度沿
+y
方向的电子，其运动轨迹是圆心在

0
沿任意方向射入第一象限时，先考察速

x
轴上的
A
点、半径为

的圆。该电子沿

见

圆弧
OCP
!
动至最高点
P
时即朝< br>x
轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，

图
5
。当电子速度方向与

x
轴正向成角度

时，作出轨迹图
4
，当电子达到磁场边界时，速

度方向必须平行于

x
轴方向，
设边界任一点的坐标为

，由图
4
可知：

可以看出随着

的变化，
S
的轨迹是圆心为（
0
,
R
）
,
半径为
R
的圆，即是磁场区域的下

上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图

面积减
去等腰直角三角形面积的

边界。

2
倍。

5
所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形












带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析

江苏省扬中高级中学

刘风华

近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与

物理知识的综合运用能
力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其

进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就
飞出磁场边界，运动过程中的临界点

（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对

此类问题进行分析。

一、磁场范围为圆形

例
1
一质量为叫、带电量为？的粒子以速度

门从
0
点沿匸轴正方向射入磁感强度

为白的一圆形匀强磁场
区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从

轴，速度方向与工轴正向夹角为
30
°,如图
1
所示（粒子重力忽略不计）。

=
处穿过工



试求：
(
1
)
圆形磁场区的最小面积；

(2)

粒子从
0
点进入磁场区到达：点所经历的时间
;
(3)

点的坐标。

解析：
(
1
)
由题可知，粒子不可能直接由

O
点经半个圆周偏转到

二点，其必在圆周

运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到

点。可知，其离开磁场时的临界点与

O
点都在圆周上，到圆心的距离必相等。

如图
2
,
过二点逆着速度

的方向作虚线，与》轴

相交，由于粒子在磁场中
偏转的半径一定，

且圆心位于工轴上，距
0
点距离和到虚线上
-<
’
-
。

点垂直距离相等的

i
点即为圆周运动的圆心，圆的半径



弦长
>
山为
:
要使圆形磁场区域面积最小，半径应为

（
2
）粒子运动的圆心角为

120
0
，时间

-
d
—
3R
—

(3
)
：：

E
：
距离


3
啊

，故亡
点的坐标为（
',
0
）。

,
点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在

两临界点速度垂线的交点
上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁

场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。

二、磁场范围为矩形

例
2
如图
3
所示，直角坐标系匸「第一象限的区域存在沿

匸轴正方向的匀强电场。

现有一质量为①，电量为扌的电子从第一象限的某点

丄二（二，：）以初速度

沿工
轴

L
的负方向开始运动，经过

T
轴上的点匕
-
（
r
,
0
）进入第四象限，先做匀速直线运动然

后进入垂直纸面的矩形匀
强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与

子偏转后恰好经过坐标原点

Q
并沿〉轴的正方向运动，不计电子的重力。求

匸轴、芒轴重合，电






（
1
）电子经过
-
点的速度；

（
2）该匀强磁场的磁感应强度亦和磁场的最小面积丄
-
1
。

L
点，可知竖直

方向
:
水平方向
:
$$

解得

而

-
■，所以电子经过

二点时的速度为
:
解析：（
1
）电子从
F
点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到