huahuagongzi(完整版)半角模型专题专练.doc

2021年1月21日发(作者：clamping)


半角模型例题


已知，正方形
ABCD
中，∠
EAF
两边分别交线段
BC
、
DC
于点
E
、
F
，且∠
EAF
﹦
45
°结论
1
：
BE
﹢
DF
﹦
EF

结论
2
：
S
△
ABE
﹢
S
△

ADF
﹦
S
△

AEF

结论
3
：
AH
﹦
AD

结论
4
：△
CEF
的周长﹦
2
倍的正方形边长﹦
2AB

结论
5
：当
BE
﹦
DF
时，△
CEF
的面积最小

结论
6
：
BM
﹢
DN
﹦
MN

结论
7
：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到
结论
8
：
EA
、
FA
是△
CEF
的外角平分线


结论
9
：四点共圆


结论
10
：△
ANE
和△
AMF
是等腰直角三角形（可通过共圆得到）


2

2

2
结论
11
：
MN
﹦

√
2
EF
（可由相似得到）

2
结论
12
：
S
△
AEF
﹦
2S
△
AMN
（可由相似的性质得到）


结论
5
的证明：






设正方形
ABCD
的边长为
1
则

S
△

AE F
﹦
1
﹣
S
1
﹣
S
2
﹣
S
3

﹦
1
﹣
1
x
﹣

1
y
﹣
1
(1
﹣
x)(1
﹣
y)
2

2

2

1
1
﹦


﹣
xy

22







所以当
x
﹦
y
时，△
AEF
的面积最小

结论
6
的证明：

将△
ADN
顺时针旋转
90
°使
AD
与
AB
重合

′























∴
DN
﹦
BN
易证△
AMN
≌△
AMN
′

∴
MN
﹦
MN
在
Rt
△
BMN
中，由勾股定理可得：

2

′
2

′
2
BM
﹢
BN
﹦
MN


即
BM
﹢
DN
﹦
MN
′

′

2
2
2
结论
7
的所有相似三角形：

△
AMN
∽△
DFN

△
AMN
∽△
BME

△
AMN
∽△
BAN

△
AMN
∽△
DMA

△
AMN
∽△
AFE


结论
8
的证明：










因为△
AMN
∽△
AFE
∴∠
3
＝∠
2
因为△
AMN
∽△
BAN
∴∠
3
＝∠
4
∴∠
2
＝∠
4
因为
AB
∥
CD
∴∠
1
＝∠
4
∴∠
1
＝∠
2
结论
9
的证明：















因为∠
EAN
﹦∠
EBN
＝
45
°

∴
A
、
B
、
E
、
N
四点共圆（辅圆定

理：共边同侧等顶角）

同理可证
C
、
E
、
N
、
F
四点共圆

A
、
M
、
F
、
D
四点共圆

C
、
E
、
M
、
F
四点共圆

**

必会结论
--------
图形研究正方形半角模型


已知：正方形
ABCD
，

E

、

F

分别在边
BC
、
CD
上，且
EAF
45
，

AE

、

AF

分别交

BD

于

H

、
G
，连

EF

.















一、全等关系


（

）求证：①

1


DF
BE EF
；②



DG
﹢
BH
﹦
HG
；③




2
2
2


AE





平分



BEF



，






AF

平分


DFE
.
二、相似关系











（
2
）求证：①

CE
（
3
）求证：④

AB



2DG
；②
CF
BG DH
；⑤
AG






2 BH
；③
EF
2


2HG
.
2
BG HG
；⑥











BE

DF
CE
CF






1
.

2



























三、垂直关系

（
4
）求证：①

AG

EG
；②

AH






FH
；③

tan HCF





AB
.
BE





（
5)
、和差关系

求证：①
BG


DG
2 | BH

2 BE
；②
AD
DF
DG |
.
2DH
；



③
| BE
DF |



例

1
、在正方形
ABCD
中，已知∠
MAN
﹦
45
°，若
M
、
N
分别在
边

CB
、
DC
的延长线上移动，

①

.

试探究线段
MN
、
BM
、
DN
之间的数量关系
.


②

.

求证：
AB=AH.





















例

2
、在四边形
ABCD
中，∠
B+
∠
D
﹦
180
°，
AB=AD
，若
E
、
F
分别在边
BC
、
CD
上，且满足
EF=BE +DF.


求证：∠
EAF
＝


∠
BAD













1
2
例

3
、在△
ABC
中，
AB=AC
，∠
BAC=2
∠
DAE=120
°，若
BD=5
，


CE=8
，求
DE
的长。









例
4
、请阅读下列材料：


已知：如图
1
在

中，








，


，点
D
、
E
分别为线段

上两动点，若

DAE 45

．探

Rt ABC

BAC 90 AB AC
BC

究线段
BD
、
DE
、

EC

三条线段之间的数量关系．


小明的思路是：把



AEC
绕点

A

顺时针旋转
90
，得到

ABE
，连结
E D
，

使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（
1
）猜想

BD

、

DE

、

EC

三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；


（
2
）当动点

E

在线段

BC

上，动点

D

运动在线段

CB

延长线上时，如图


2
，其它条件不变，⑴中探

究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．




A







A



C
B
E
图
2
B


D
图
1
E
C

D




例
5
、探究：


（
1
）如图
1
，在正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
BC
、
CD
上的点，且∠
EAF
＝
45
°，试判断
BE
、
DF
与


EF
三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：







；

ABCD
中，< br>AB
＝
AD
，∠
B
＋∠
D
＝
180
°，
E
、
F
分别

（
2
）如图

2
，若把
(1)
问中的条件变为“在四边形


是边
BC
、
CD
上的点，且∠
EAF=

∠
BAD
”，则（
1
）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证


1
2
明，若不成立，请说明理由；


（
3
）在（
2
）问中，若将△
AEF
绕点
A
逆时针旋转，当点分别
E
、
F
运动到
BC
、
CD
延长线上时，
如图
3
所示，其它条件不变，

则（
1
）问中的结论是否发生变化？若变化，

请给出结论并予以证明
..

























练习巩固
1
：


如图，在四边形
ABCD
中，∠
B
﹦∠
D
﹦
90
°，
AB
﹦
AD
，若
E
、
F
分别在边
BC
、
CD
上的点，且∠
EAF
＝

1
∠
BAD .

2
求证：
EF=BE +DF.



















练习巩固
2
：



如图，在五边形

ABCDE
中，
AB
﹦
BC
﹦
CD
﹦
DE
﹦
EA
，

∠
CAD
＝

1

∠
BAE
，求∠
BAE
的度数




















2
练习巩固
3
：

已知：正方形
ABCD
中，

MAN
45
o

，绕点
A
顺时针旋转，它的两边分别交

CB
、
DC
（或它们的延