如何找回qq好友-不停的猜猜猜
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校
:___________
姓名:
___________
班级:
___________
考号:___________
注意事项:
1
.答题前填写好自己 的姓名、班级、考号等信息
2
.请将答案正确填写在答题卡上
一.选择题(共
10
小题,每题
4
分)
1
.
已知:
三个数
a
、
b
、
c
的积为负数,
和为正数,
且
则
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
1
的值为(
)
A
.
0
B
.
1
C
.
2
D
.﹣
1
,
2
.⊙
O
的半径为
5cm
,弦
AB
∥
CD
,
AB=6cm
,
CD=8cm
,则
AB
和
CD
的距离是(
)
A
.
7cm
B
.
8cm
C
.
7cm
或
1cm
D
.
1cm 3
.若点
P
(﹣
1
﹣
2a
,
2a﹣
4
)关于原点对称的点在第一象限内,则
a
的整数解有(
)
A
.
1
个
B
.
2
个
C
.
3
个
D
.
4
个
4
.已知
x
为实数,化简
A
.
B
.
的结果为(
)
C
.
D
.
5
.已知关于
x< br>的方程
2x
2
+
x
+
m
+
=0有两个不相等的负实根,则
m
的取值范围是(
)
A
.
m
<
B
.
C
.
D
.
等于(
)
D
.
sinα
+
cosα
﹣
1
6
.若
α
为直角三角形的一个锐角,则
A
.
1
﹣
s inα
﹣
cosα
B
.
1
+
sinα
+
cosα
C
.
0
7
.
“
上升数
”
是一个 数中右边数字比左边数字大的自然数(如:
34
,
568
,
2469
等)
.任取一
个两位数,是
“
上升数
”
的概率是(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
8
.数轴上表示
1
,
数是(
)
的对应点分别为
A
,
B
,点
B
关于点
A
的对称点为
C
,则点
C
所表示的
A
.
﹣
1
B
.
1
﹣
C
.
2
﹣
D
.
﹣
2
9
.二次函数
y=x
2
+
bx
+
c
的图象 与轴正方向交于
A
,
B
两点,与
y
轴正方向交于点
C
.已知
,∠
CAO=30°
,则
c=
(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
10
.如果一条直线
l
经过不同的三点
A
(
a
,
b
)
,B
(
b
,
a
)
,
C
(
a﹣
b
,
b
﹣
a
)
,那么直线
l
经过的象限有(
)
A
.二、四
二.填空题(共
10
小题,每题
4
分)
11
.若规定两数
a
,
b
通过运算得
4 ab
,即
a*b=4ab
,若
x*x
+
2*x
﹣< br>2*4=0
,则
x=
.
12
.
设
直
线
kx
+
(
k
+
1
)
y
﹣
1=0
与
坐< br>标
轴
所
构
成
的
直
角
三
角< br>形
的
面
积
为
S
k
,
则
S< br>1
+
S
2
+
…
+
S
2008
=
.
13
.已知
m
,
n
为正整数,若
<
<
,当
m
最小时分数
=
.
B
.一、三
C
.二、三、四
D
.一、三、四
14
.设
[
x
]
表示不超过
x
的最大整数(例如:
[
2
]
=2
,
[
1.25
]
=1
)
,则方程
3x
﹣2
[
x
]+
4=0
的解
为
.
15
.已知
b﹣
a=
,
2a
2
+
a=
,那么
﹣a
的值为
.
1 6
.四边形
ABCD
中,∠
A=
∠
C=90°
,∠
ADC=60°
,
AB=11
,
BC=2
,则
BD =
.
17
.观察下列各式:
3
2
=5
2
﹣
4
2
;
5
2
=13
2
﹣
12
2
;7
2
=25
2
﹣
24
2
;
9
2
=41
2
﹣
40
2
;
…
请你将猜想到的
规律用含正整数
n
(
n
≥
1
)的等式表示出来
.
18
.
如图 ,
有一种动画程序,
屏幕上正方形
ABCD
是黑色区域
(含正方形边 界)
,
其中
A
(
1
,
1
)
,B
(
2
,
1
)
,
C
(
2,
2
)
,
D
(
1
,
2
),用信号枪沿直线
y=
﹣
2x
+
b
发射信号,当信号遇 到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的
b
的取值范围为
.
19
.如图,△
ABC
是等腰直角三角形,
BC
是斜边,点
P
是△
ABC
内一定点,延长
BP
至
P′
,
将△
ABP< br>绕点
A
旋转后,与△
ACP′
重合,如果
AP=
,那 么
PP′=
.
< br>20
.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(
3
) 个图形中有黑
色瓷砖
块,第
n
个图形中需要黑色瓷砖
块(用含
n
的代数式表示)
.
三.解答题(共
6
小题,共
70
分)
21
.某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件
2 0
元的
护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量
y
(件)与销售单价
x
(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:
y=
﹣
10x
+
500
.
(
1
)设李明每月获得利润为
w(元)
,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(
2
)如果李明想要每月获得
2000
元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(
3
)
根据物价部门规定,
这种护眼台灯的销售单价不得高于
32
元,
如果李明想要每月获得
的利润不低于
2000
元,那么他每月的 成本最少需要多少元?
(成本
=
进价×销售量)
22
.计算:
23
.如图,抛物线
y=
x
2
+
bx
﹣
2
与
x
轴交于
A
,
B
两点,与
y
轴交于
C
点,且
A
(﹣
1
,
0
)
.
(
1
)求抛物线的解析式及顶点
D
的坐标;
(
2
)判断△
ABC
的形状,证明你的结论;
(
3
)点
M
(
m
,
0
)是
x
轴上的一个动点,当
MC
+
MD
的值最小时,求
m
的值.
+
(
)
1
﹣
4cos45°
﹣
2
÷
×
2
﹣(
2009
﹣
﹣
)
0
+|
2
﹣
|
24
.如图: 直角梯形
ABCD
中,
AD
∥
BC
,
AD
<
BC
,∠
B=90°
,
AB=7
,
BC
﹣
AD=1
.以
CD
为直
径的圆
O
与
AB
有两个不同的公共点
E
、
F
,与
BC
交于点
G
.
(
1
)求⊙
O
的半径;
(
2
)求证:
AE=BF
;
(
3
)当
AE=1
时,在线段
AB
上是否存在点
P
,以点A
,
P
,
D
为顶点的三角形与以点
B
,
P
,
C
为顶点的三角形相似?若存在,在图中描出所有满足条件的点
P的位置(不要求计算)
;
若不存在,请说理由.
(
4
)当
AE
为何值时,能满足(
3
)中条件的点
P
有且只有两 个?
25
.
如图,
在直角坐标系中,
已知点< br>P
0
的坐标为
(
1
,
0
)
,
将线段
OP
0
按逆时针方向旋转
45°
,
将其长度伸长为
OP
0
的
2
倍,得到线段
OP
1
;再将线 段
OP
1
按逆时针方向旋转
45°
,长度伸
长为
O P
1
的
2
倍,得到线段
OP
2
;如此下去,得到线 段
OP
3
,
OP
4
,
…
,
OP< br>n
(
n
为正整数)
(
1
)求点
P
6
的坐标;
(
2
)求△
P
5
OP
6
的面积;
(
3
)我们规定:把点
P
n
(
x
n
,
y
n
)
(
n=0
,
1
,
2< br>,
3
,
…
)的横坐标
x
n
、纵坐标
y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(
|
x
n
|
,
|
y
n
|
)称之为点
P
n
的
“
绝对坐标
”
.根据图中点
P
n
的分布规律,请你
猜想点
P
n
的
“
绝对坐标
”
,并写出来.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷(
6
)
参考答案与试题解析
1
.
已知:
三个数
a
、
b
、
c
的积为负数,
和为正数,
且
则
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
1< br>的值为(
)
A
.
0
B
.
1
C
.
2
D
.﹣
1
,
【考点】
15
:绝对值;
33
:代数式求值.
【分析】
可由已知,三个数
a
、
b
、
c
的 积为负数,和为正数,得三个数中有两个正数,一个
负
数
,
故
可得
=1
,
=
﹣
1
,
故
得
=1
﹣
1=0
,即得
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
1=0
+
0
+
0
+
1= 1
.
【解答】
解:∵三个数
a
、
b
、< br>c
的积为负数,和为正数,
∴得三个数中有两个正数,一个负数,
∴
∴
故得
∴
ax
3
+
bx
2+
cx
+
1=0
+
0
+
0
+
1=1
.
故选:
B
.
【点评】
本题主 要考查代数式求值问题,利用绝对值的基本性质,以及正数与负数的性质,
便得所求结果,要认真掌握.
2
.⊙
O
的半径为
5cm
,弦
AB
∥
CD
,
AB=6cm
,
CD=8cm
,则
AB
和
CD
的距离是(
)
A
.
7cm
B
.
8cm
C
.
7cm
或
1cm
D
.
1cm
=1
,
=
﹣
1
,
=1
﹣
1=0
,
【考点】
KQ
:勾股定理;
M2
:垂径定理.
【专题】
32
:分类讨论.
【分析】
因为
AB< br>、
CD
位置不明确,所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论.
【解答】
解:本题要分类讨论:
(
1
)
AB,
CD
在圆心的同侧,如图①,连接
OA
、
OC
,过< br>O
作
AB
的垂线交
CD
,
AB
于
E
、
F
,
根据垂径定理得
ED=
CD=
×
8=4cm
,
FB=
AB=
×
6=3cm
,
在
Rt
△
OED
中,
OD=5cm
,
ED=4cm
,由勾股定理得
OE=
在
Rt
△
OFB
中,
OB=5cm
,
FB=3cm
,则
OF=
AB
和
CD
的距离
=OF
﹣
OE=4
﹣
3=1cm< br>;
=
=
=4cm
,
=3cm
,
(
2
)
AB
,< br>CD
在圆心的异侧,如图②,连接
OA
、
OC
,过
O
作
AB
的垂线交
CD
,
AB
于
E
、
F
,
根据垂径定理得
ED=
CD=
×
8=4cm
,
FB=
AB=
×
6=3cm
,
在
Rt
△
OED
中,
OD=5cm
,
ED=4 cm
,由勾股定理得
OE=
在
Rt
△
OFB
中,< br>OB=5cm
,
FB=3cm
,则
OF=
AB
和CD
的距离是
OF
+
OE=4
+
3=7cm
.
AB
和
CD
的距离是
7cm
或
1cm< br>.
故选:
C
.
【点评】
本题涉及到垂径定理及勾股定理,解题时要注意分类讨论,不要漏解.
3
.若点
P
(﹣
1
﹣
2a< br>,
2a
﹣
4
)关于原点对称的点在第一象限内,则
a
的整数解有(
)
A
.
1
个
B
.
2
个
C
.
3
个
D
.
4
个
【考点】
CC
:一元一次不等 式组的整数解;
R6
:关于原点对称的点的坐标.
=
=4cm
,
=3cm
,
=
【分析】
根据题意可得出点
P
在第三象限,从而列出不等式组求解即可.
< br>【解答】
解:∵点
P
(﹣
1
﹣
2a
,
2a
﹣
4
)关于原点对称的点在第一象限内,
∴
,
由①得,
a
>﹣
,
由②得,
a
<
2
,
∴
a=1
或
0
.
故选:
B
.
【点评】
本题考查了关于原点对称的点的坐标 ,
以及一元一次不等式组的整数解,
是基础知
识要熟练掌握.
4
.已知
x
为实数,化简
A
.
B
.
的结果为(
)
C
.
D
.
【考点】
73
:二 次根式的性质与化简;
78
:二次根式的加减法.
【专题】
11
:计算题.
【分析】
根据二次根式的性质进行化简:
二次根式即可.
【解答】
解:原式
=
﹣
x
=
﹣
x
+
.
﹣
x?
(﹣
)
=
﹣
x
,
=
﹣
,代入后合并同类
=
(
1
﹣< br>x
)
故选:
C
.
【点评】
本题考查了二次 根式的性质和二次根式的加减法等知识点的理解和运用,
关键是根
据二次根式的性质得出
5
.已知关于
x
的方程
2x
2
+< br>x
+
m
+
=0
有两个不相等的负实根,则
m
的取值范围是(
)
A
.
m
<
B
.
C
.
D
.
=
﹣
x
,
=
﹣
.
【考点】AA
:根的判别式;
AB
:根与系数的关系;
CB
:解一元一次 不等式组.
【分析】
由方程有两个不相等的负实数根可以推出,△
=b2
+
4ac
>
0
,同时
=
>
0
,通
过解不等式,即可推出
m
的取值范围.
【解答】
解 :∵
2x
2
+
x
+
m
+
=0
有两 个不相等的负实根,
∴△
=b
2
﹣
4ac=1
2
﹣
4
×
2
×(
m
+
)>
0
,
=
∴解不等式得:
m
∴
故选:
B
.
.
,
m
,
>
0
,
【点评】
本题主要考查解一元一次不等式、根与系数的关系、
根的判别式,
关 键在于根据题
意列出一元一次不等式,认真的进行计算.
6< br>.若
α
为直角三角形的一个锐角,则
A
.
1
﹣
sinα
﹣
cosα
B
.
1
+
sinα
+
cosα
C
.
0
等于(
)
D
.
sinα
+
cosα
﹣
1
【考点】
73
:二次根式的性质与化简;
T3
:同角三角函数的关系.
【分析】
打开根号内的式子,将
sinα
+
cosα
作为一个整 体,可得原式
=
|
sinα
+
cosα
﹣
1
|
,再去
绝对值即可求解.
【解答】
解:应该是
sin α
+
cosα
﹣
1
.
原式
=
=
=
=
|
sinα
+
cosα
﹣
1
|
=
|
sin
(
α
+
)﹣
1< br>|
<
α
+
<
)<
,
.
因为
α
为直角三角 形的一个锐角,故
所以
<
sin
(
α
+
)<
1
,
1
<
sin
(
α
+
所以,原式=sinα
+
cosα
﹣
1
.
故选:
D
.
【点评】
考查了同角三角函数的关系,注意整体思想的运用,有一定的难度.
7
.
“
上升数
”
是一个数中右边数字 比左边数字大的自然数(如:
34
,
568
,
2469
等)
.任取一
个两位数,是
“
上升数
”
的概率是(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
【考点】
X4
:概率公式.
【分析】
分别列举出以
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
开头的上升数,再除以
2
位数的总数
即可.
【解答】
解:
1
开头的两位 自然数有
10
,
11
,
12
,
13
,14
,
15
,
16
,
17
,
18,
19
其中有
8
个
“
上升数
”
;
2
开头的两位自然数有
20
,
21
,
22< br>,
23
,
24
,
25
,
26
,27
,
28
,
29
,其中有
7
个
“< br>上升数
”
;
同理以
3
开头的两位自然数也有
10
个,其中有
6
个
“
上升数
”
;
< br>一直到
8
开头的两位自然数也有
10
个,其中有
1
个
“
上升数
”
;
9
开头的两位自然数没有
“
上升数
”
;
所以全部两位自然数有
90
个,
“
上升数
”
一共有:
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8=36
(个)
,
所以任取 一个两位数,是
“
上升数
”
的概率是
故选:
B
.< br>
【点评】
用到的知识点为:概率
=
所求情况数与总情况数之比;易错 点是得到上升数的个数
与两位数的总个数.
8
.数轴上表示
1
,
数是(
)
A
.
﹣
1
B
.
1
﹣
C
.
2
﹣
.
的对应点分别为
A
,
B
,点
B
关于点
A
的对称点为
C
,则点
C
所表示的
D
.
﹣
2
【考点】
29
:实数与数轴.
【专题】
16
:压轴题.
【分析】
首先根据数轴上表示< br>1
,
的对应点分别为
A
,
B
可以求出线段
A B
的长度,然后
由
AB=AC
利用两点间的距离公式便可解答.
< br>【解答】
解:∵数轴上表示
1
,
∴
AB=
﹣
1
,
的对应点分别为
A
,
B
,
∵点
B
关于点
A
的对称点为
C
,
∴
AC=AB
.
∴点
C
的坐标为:
1< br>﹣(
故选:
C
.
【点评】
本题考查的知识点为:< br>求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数.
知道两
点间的距离,求较小的数,就 用较大的数减去两点间的距离.
9
.二次函数
y=x
2
+
bx
+
c
的图象与轴正方向交于
A
,
B
两点,与
y
轴正方向交于点
C
.已知
,∠
CAO=30°
,则
c=
(
)
﹣
1
)
=2
﹣
.
A
.
B
.
C
.
D
.
【考点】
HF
:二次函数综合题.
【分析】
首先利用根与系数的关系求得
A
,
B
两点横坐标之间的关 系,再进一步结合已知,
利用直角三角形的边角关系,把
A
与
B
两点 横坐标用
c
表示,由此联立方程即可求得答案.
【解答】
解:由题 意知,点
C
的坐标为(
0
,
c
)
,
OC= c
.
设
A
,
B
两点的坐标分别为(
x< br>1
,
0
)
,
(
x
2
,
0< br>)
,
则
x
1
,
x
2
是方 程
x
2
+
bx
+
c=0
的两根,
由根与系数的关系得:
x
1
+
x
2
=
﹣
b
,
x
1
x
2
=c
,
又∵∠
CAO=30°
,则
AC=2c
,
∴
AB=
AC=2
c
;
c
,
x
2
=OB=OA
+
AB=3
c
.
∴x
1
=OA=ACcos30°
=
由
x
1
x< br>2
=9c
2
=c
,得
c=
.
故选:
C
.
【点评】
本题主要考查二次函数图象与坐标轴 交点的坐标特点、
根与系数的关系以及直角三
角形的边角关系.
此题综合性较强,难度较大,
解题的关键是注意数形结合与方程思想的应
用.
10
.如果一条直线
l
经过不同的三点
A
(
a,
b
)
,
B
(
b
,
a
),
C
(
a
﹣
b
,
b
﹣
a)
,那么直线
l
经过的象限有(
)
A
.二、四
B
.一、三
C
.二、三、四
D
.一、三、四
【考点】
F5
:一次函数的性质.
【分析】
先根据题意设 出一次函数的解析式,再分别把
A
(
a
,
b
)
,< br>B
(
b
,
a
)
,
C
(
a< br>﹣
b
,
b
﹣
a
)代入,求出函数的解析式即可.
【解答】
解:设此一次函数的解析式为
y=kx
+
c
,
把
A
(
a
,
b
)
,
B
(
b
,
a
)
,
C
(
a
﹣
b
,
b
﹣
a
)三点代入,
得
,
解得
.
故此一次函数的解析式为
y=
﹣
x
,
故直线
l
经过第二、四象限.
故选:
A
.
【点评】
本题考查的是用待定系数法求一次函 数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点,
比较简单.
< br>11
.
若规定两数
a
,
b
通过运算得
4ab
,
即
a*b=4ab
,
若
x*x
+
2*x
﹣
2*4=0
,
则
x=
2
或﹣
4
.
【考点】
A8
:解一元二次方程﹣因式分解法.
【专题】
23
:新定义.
【分析】
根据新定义写出一元二次方程,并用因式分解法求出方程的根.
【解答】
解:依题意可以列方程:
4x
2
+
8x
﹣
32=0
x
2
+
2x
﹣
8=0
(
x
+< br>4
)
(
x
﹣
2
)
=0
x
+
4=0
或
x
﹣
2=0
∴
x
1
=
﹣
4
,
x
2
=2
.
故答案为:
2
或﹣
4
.
【点评】
此题考 查的是用因式分解法解一元二次方程,
根据新定义写出一元二次方程,
然后
用因式分解 法求出方程的根是解题关键.
12
.设直线
kx+
(
k
+
1
)
y
﹣
1=0
与 坐标轴所构成的直角三角形的面积为
S
k
,则
S
1
+
S
2
+
…
+
S
2008
=
.
【考点】
F5
:一次函数的性质.
【专题】
16
:压轴题;
2A
:规律型.
【分析 】
先依次计算出
S
1
、
S
2
等的面积,再依据规律 求解.
【解答】
解:∵
kx
+
(
k
+< br>1
)
y
﹣
1=0
∴当
x=0
时,
y=
∴
S
k
=
×
×
;当
y=0
时 ,
x=
=
,
[
﹣
+
﹣
+
…
+
﹣
]
=
(
1
﹣
)
=
.
根据公式可知,
S
1
+
S
2+
…
+
S
2008
=
【点评】
结合题意依次计 算出
S
1
、
S
2
等的面积,再总结规律,易求解.
13
.已知
m
,
n
为正整数,若<
<
,当
m
最小时分数
=
.
【考点】
65
:分式的基本性质;
98
:解二 元一次方程组.
【专题】
11
:计算题.
【分析】首先由不等式可得出
2007n
﹣
2006m
>
0
,< br>2007m
﹣
2008n
>
0
;分别设
2007n< br>﹣
2006m=x
,
2007m
﹣
2008n=y
;
(
x
、
y
是正整数)然后用
x
、
y
分别表示出
m
、
n
的值,根据
m
的值最小,判断出此时< br>x
、
y
、
n
的值,进一步得出所求分数的值.
【解答】
解:
由题意,
得
﹣
>
0
,
∵
m
,
n
为正整数,
∴
2007n﹣
2006m
>
0
,
2007m
﹣
2008n
>
0
;
设
2007n
﹣
2006m=x
,
2007m
﹣
2008n=y
;
(
x
、
y
是正整数)
则有:
,解得
;
>0
,
﹣
>
0
,
即
>
0
,当
m
最小时,
x=y=1
;即
m=4015
,
n=4013
;此时
m
、
n
互质,故
=
故答案为< br>.
.
【点评】
此题融合了分式的基本性质、不等式、方程组等知识,是道难度较大的题.
14
.设
[
x
]
表示不超过
x
的最大整数(例如:
[
2
]
=2
,
[
1 .25
]
=1
)
,则方程
3x
﹣
2
[x
]+
4=0
的解
为
﹣
4
或﹣
或﹣
.
【考点】
*D
:取整函数.
【分析】
首先令
[< br>x
]
=n
,可得方程
3x
﹣
2n
+
4=0
,即可求得
x
的值,然后由
[
x
]
≤
x
<
[
x
]+
1
,可
得关于
n
的不等式组,
解不等式组即可求得
n
的值,
则代入方程即可求得
x< br>的值,
注意要检
验.
【解答】
解:令
[
x
]
=n
,代入原方程得
3x
﹣
2n
+
4= 0
,即
x=
又∵
[
x
]
≤
x
<< br>[
x
]+
1
,
∴
n
≤
<
n
+
1
,
,
整理得:
3n
≤
2n
﹣
4
<
3n
+
3
,即﹣
7
<
n
≤﹣
4< br>,
∴
n=
﹣
4
或
n=
﹣
5
或
n=
﹣
6
,
∴当
n=
﹣< br>4
时,
x=
﹣
4
,
当
n=
﹣
5
时,
x=
﹣
当
n=
﹣
6
时 ,
x=
﹣
,
,
或
x=
﹣
或﹣
.
是原方程的解.
经检验,
x=
﹣
4
或
x=
﹣
故答案为:﹣4
或﹣
【点评】
此题考查了取整函数的知识.注意
[
x
]
≤
x
<
[
x
]+
1
性质的应用是解此题 的关键.
15
.已知
b
﹣
a=,
2a
2
+
a=
,那么
﹣
a
的值为< br>
【考点】
6D
:分式的化简求值.
.
【专题】
11
:计算题.
【分析】
由第一个等式表示出< br>b
,由第二个等式表示出
a
2
,然后将所求式子通分后,利用同
分母分式的减法法则计算后,将表示出的
b
与
a
2
代入,化简后即 可求出值.
【解答】
解:∵
b
﹣
a=
,∴
b=a
+
,
又
2a
2
+
a=
,∴
a
2
=
﹣
,
则
﹣
a=
故答案为:
=
=
=
=
.
【点评】
此题考查了分式的 化简求值,
分式的加减运算关键是通分,
通分的关键是找出最简
公分母;
分式 的乘除运算关键是约分,
约分的关键是找公因式,
同时注意化简求值题要将原
式化为最 简后再代值.根据已知的两等式表示出的
b
与
a
2
是解本题的关键.
16
.四边形
ABCD
中,∠
A=
∠
C=90°
,∠
ADC=60°
,
AB=11
,
BC=2
,则
BD=
14
.
【考点】
T7
:解直角三角形.
【专题】
11
:计算题.
【分析】
延长
AB与
DC
的延长线相交于点
E
,构造了两个
30°
的直角 三角形,首先在直角三
角形
CBE
中求得
BE
的长,再进一步在直角 三角形
ADE
中,求得
AD
的长,再在直角三角形
BAD
中 由勾股定理求得
BD
.
【解答】
解:如图,延长
AB与
DC
的延长线相交于点
E
.
在
Rt
△
ADE
中,∵∠
ADE=60°
,
∴∠
E=30°
.
在
Rt
△
BCE中,
sinE=
∴
BE=
=4
,
,
∴
AE=AB
+
BE=11
+
4=15
.
在
Rt
△
DAE
中,
tanE=
∴
AD= AE?tanE=15
×
在
Rt
△
BAD
中,
BD=
=
=14
,
,
=5
,
故答案为:
14
.
【点评】< br>此题考查的知识点是解直角三角形,关键要特别注意构造
30°
的直角三角形,熟练运用锐角三角函数求解.
17
.观察下列各式 :
3
2
=5
2
﹣
4
2
;
5
2
=13
2
﹣
12
2
;
7
2
= 25
2
﹣
24
2
;
9
2
=41
2
﹣
40
2
;
…
请你将猜想到的
规律用含正整数n
(
n
≥
1
)的等式表示出来
(
2 n
+
1
)
2
=
(
2n
2
+
2n
+
1
)
2
﹣(
2n
2
+
2 n
)
2
(
n
≥
1
)
.
【考点】
37
:规律型:数字的变化类.
【分析】
仔细观 察每一个等式,
用含有
n
的式子表示出等号左边的底数,
然后表示出等号右< br>边的底数即可.
【解答】
解:∵
3
2
=5
2
﹣
4
2
;
5
2
=13
2
﹣
12
2
;
7
2
=25
2
﹣
24
2
;
9
2
=41
2
﹣
40
2
;
…
∴(
2n
+
1
)
2
=
(
2n
2
+
2n
+
1
)
2
﹣(
2n
2
+
2n
)
2
(
n
≥
1
)
.
故答案为:
(
2n
+
1
)
2
=
(
2n
2
+
2n
+
1< br>)
2
﹣(
2n
2
+
2n
)
2
(
n
≥
1
)
.
【点评】
本题考查了数 字的变化,找等式的规律时,既要分别看左右两边的规律,
还要注意
看左右两边之间的联系.< br>
18
.
如图,
有一种动画程序,
屏幕 上正方形
ABCD
是黑色区域
(含正方形边界)
,
其中
A< br>(
1
,
1
)
,
B
(
2
,< br>1
)
,
C
(
2
,
2
)
,< br>D
(
1
,
2
)
,用信号枪沿直线
y=
﹣
2x
+
b
发射信号,当信号遇到黑
色区域时,区域便由黑变白, 则能够使黑色区域变白的
b
的取值范围为
3
≤
b
≤
6
.
【考点】
FI
:一次函数综合题.
【分析】
根据题意确定 直线
y=
﹣
2x
+
b
经过哪一点
b
最大, 哪一点
b
最小,然后代入求出
b
的取值范围.
【解答】< br>解:由题意可知当直线
y=
﹣
2x
+
b
经过
A
(
1
,
1
)时
b
的值最小,即﹣
2×
1
+
b=1
,
b=3
;
当直线< br>y=
﹣
2x
+
b
过
C
(
2
,
2
)时,
b
最大即
2=
﹣
2
×
2
+
b
,
b=6
,故能够使黑色区域变白的
b
的取 值范围为
3
≤
b
≤
6
.
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的运用,
解答此类题目时一定要注意数形结合的运用.
19
.如图,△
ABC
是等腰直角三角形,
B C
是斜边,点
P
是△
ABC
内一定点,延长
BP
至
P′
,
将△
ABP
绕点
A
旋转后,与△
A CP′
重合,如果
AP=
,那么
PP′=
2
.
【考点】
KW
:等腰直角三角形;
R2
:旋转的性质.
【分析】
根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知.
【解答】
解:∵△
ABP
绕点
A
旋转后能与△
ACP′
重合,
∴
AP=AP′=
∴
PP′=2
.
【点评】
本题考查旋转的性质:
旋转变化前后,
对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.
20
.用同样 规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(
3
)个图形中有黑
色瓷砖
10
块,第
n
个图形中需要黑色瓷砖
3n
+
1
块(用含
n
的代数式表示)
.
,∠
PAP′=90°
,
【考点】
38
:规律型:图形的变化类.
【分析】
分析几何模型,进行合理的运算,图形的变换作出正确解答.
【解 答】
解:本题考查的是规律探究问题.从图形观察每增加一个图形,黑色正方形瓷砖就
增加3
块,
第一个黑色瓷砖有
3
块,
则第
3
个图形黑色瓷砖有
10
块,
第
N
个图形瓷砖有
4
+
3
(
n
﹣
1
)
=3n
+
1
(块)
.
故答案为:
10
;
3n
+
1
.
【点评】
本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型.
21
.某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件
2 0
元的
护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量
y
(件)与销售单价
x
(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:
y=
﹣
10x
+
500
.
(
1
)设李明每月获得利润为
w(元)
,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(
2
)如果李明想要每月获得
2000
元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(
3
)
根据物价部门规定,
这种护眼台灯的销售单价不得高于
32
元,
如果李明想要每月获得
的利润不低于
2000
元,那么他每月的 成本最少需要多少元?
(成本
=
进价×销售量)
【考点】
HE
:二次函数的应用.
【专题】
12
:应用题.
【分析】
(
1
)
由题意得,
每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数,
利润
=
(定
价﹣进价)×销售量,从而列出关系式;
(
2
)令
w= 2000
,然后解一元二次方程,从而求出
销售单价;
(
3
)根据抛 物线的性质和图象,求出每月的成本.
【解答】
解:
(
1
)由题意,得:
w=
(
x
﹣
20
)
?y
,
=
(
x
﹣
20
)
?
(﹣
10x
+
500
)
=
﹣
10x
2
+700x
﹣
10000
,
,
答:当销售单价定为
35
元时,每月可获得最大利润.
(
2
)由题意,得:﹣
10x
2
+
700x
﹣10000=2000
,
解这个方程得:
x
1
=30
,
x
2
=40
,
答:李明想要每月获得
2000
元的利润,销售单价应定为
30
元或
40
元.
(
3
)∵
a=
﹣
10
<
0,
∴抛物线开口向下,
∴当
30
≤
x≤
40
时,
w
≥
2000
,
∵
x
≤
32
,
∴当
30
≤x
≤
32
时,
w
≥
2000
,
设成本为
P
(元)
,由题意,得:
P=20
(﹣
10x
+
500
)
=
﹣
200x
+
10000< br>,
∵
a=
﹣
200
<
0
,
∴
P
随
x
的增大而减小,
∴当
x=32
时,
P
最小
=3600
,
答:想要每月获得的利润不低于
2000
元,每月的成本最少为
3600元.
【点评】
此题考查二次函数的性质及其应用,
还考查抛物线的基本 性质,
另外将实际问题转
化为求函数最值问题,从而来解决实际问题.
22
.计算:
+
(
)
1
﹣
4c os45°
﹣
2
÷
×
2
﹣(
2009
﹣< br>﹣
)
0
+|
2
﹣
|
【考点】2C
:实数的运算;
6E
:零指数幂;
6F
:负整数指数幂;< br>T5
:特殊角的三角函数值.
【分析】
分别根据
0
指数幂及负整数指数幂的计算法则、
数的开方法则及特殊角的三角函数
值、绝对值的性质分别计 算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
【解答】
解:原式
= 2
=2
+
2
﹣
2
.
+
2
﹣
4
×
﹣
2
×
2
×
2
﹣
1
+
2
﹣
﹣
8
﹣
1
+
2
﹣
=
﹣
5
﹣
【 点评】
本题考查的是实数的运算,
熟知
0
指数幂及负整数指数幂的计算法则、
数的开方法
则及特殊角的三角函数值、绝对值的性质是解答此题的关键.
23
.如图,抛物线
y=ax
2
﹣
x
﹣
与
x
轴正半轴交于点
A
(
3
,
0
)
,以
OA
为边在
x
轴上方作正
方形
O ABC
,延长
CB
交抛物线于点
D
,再以
BD
为边 向上作正方形
BDEF
.
(
1
)求
a
的值;
(
2
)求点
F
的坐标.
【考点】
HF
:二次函数综合题.
【专题】
153
:代数几何综合题.
【分析】
(
1
)由于抛物线过
A
(
3
,
0
)点,可将
A
的坐标代入抛物线中即可求出
a
的值;
(
2
)
F
的横坐标与
A
的横坐标相同,纵坐标等于
AB
+
BD
,因此求出
BD
的长是解题的关键,
可先根据抛物线的解析式求出
D
的横坐标(
D
的纵坐标是
OA
的长)
,然后根据
BD=CD
﹣
OA
即可得出
BF
的值,也就求出了
AF< br>的长,即可得出
F
的坐标.
【解答】
解:
(
1
)把
A
(
3
,
0
)代入
y=ax2
﹣
x
﹣
中,得
a=
;
(
2
)∵
A
(
3
,
0
)
∴
OA=3
∵四边形
OABC
是正方形
∴
OC=OA=3
当
y=3
时,
即
x
2
﹣
2x
﹣
9=0
解得
x
1
=1
+
∴
CD=1
+
,
x
2
=1
﹣
<
0
(舍去)
,
在正方形
OABC
中,
AB=CB
同理
BD=BF
∴
AF=CD=1
+
)
.
∴点
F
的坐标为(
3
,
1
+
【点评】
本题考查了正方形的性质以及用待定系数法求二次函数等相关知识点,(
2
)
题中根
据抛物线的解析式求得
D
点的坐标是解题 的关键.
24
.在△
ABC
中,∠
A=90°
,
AB=4
,
AC=3
,
M
是
AB
上的动点(不与
A
,
B
重合)
,过点
M
作
MN
∥
BC
交
AC
于点
N
,以
MN
为直径作⊙
O
,并在⊙
O
内作内接矩形
AMPN.令
AM=x
.
(
1
)用含
x
的代 数式表示△
MNP
的面积
S
;
(
2
)在 动点
M
的运动过程中,记△
MNP
与梯形
BCNM
重合的面 积为
y
,试求
y
关于
x
的函
数关系式,并求
y
的最大值.
【考点】
MR
:圆的综合题.
【分析】
(
1
)由于三角形
PMN
和
AMN
的面积相当,那么可通过求三角形
AMN
的面积来得
出三角形
PMN
的面积,
求三角形
AMN
的面积可根据三角形
AMN
和
A BC
相似,
根据相似比
的平方等于面积比来得出三角形
AMN
的面积 ;
(
2
)要求重合部分的面积首先看
P
点在三角形
ABC
内部还是外面,因此可先得出这两种情
况的分界线即当
P
落到
BC
上时,
x
的取值,那么
P
落点
BC
上时,< br>MN
就是三角形
ABC
的中
位线,此时
AM=2
,因 此可分两种情况进行讨论:
①当
0
<
x
≤
2时,此时重合部分的面积就是三角形
PMN
的面积,三角形
PMN
的面积 (
1
)
中已经求出,即可的
x
,
y
的函数关系式. ②当
2
<
x
<
4
时,如果设
PM
,
PN
交
BC
于
E
,
F
,
那么重合部分就 是四边形
MEFN
,可通过三角形
PMN
的面积﹣三角形
PEF的面积来求重合
部分的面积.不难得出
PN=AM=x
,而四边形
BMN F
又是个平行四边形,可得出
FN=BM
,也
就有了
FN
的 表达式,就可以求出
PF
的表达式,然后参照(
1
)的方法可求出三角形PEF
的
面积,即可求出四边形
MEFN
的面积,也就得出了
y
,
x
的函数关系式.然后根据两种情况
得出的函数的性质,以及对应的自变量 的取值范围求出
y
的最大值即可.
【解答】
解:
(
1
)∵
MN
∥
BC
,
∴∠
AMN=< br>∠
B
,∠
ANM=
∠
C
.
∴△
AMN
∽△
ABC
.
∴
=
,即
=
;
∴
AN=
x
;
∴
S=S
△
MN P
=S
△
AMN
=
?
x?
x=
x
2
.
(
0
<
x
<
4
)
(
2
)随点
M
的运动,当
P
点落在直线
B C
上时,连接
AP
,则
O
点为
AP
的中点.
∵
MN
∥
BC
,
∴∠
AMN=∠
B
,∠
AOM=
∠
APB
,
∴△
AMO
∽△
ABP
,
∴
=
=
,
∵
AM=MB=2
,
故以下分两种情况讨论:
①当
0
<
x
≤
2
时,
y=S
△
PMN
=
x
2
,
∴当
x=2
时,
y
最大
=
×
4=
,
②当
2
<
x
<
4
时,设
PM
,
PN
分别交
BC
于
E
,
F
,< br>
∵四边形
AMPN
是矩形,
∴
PN
∥
AM
,
PN=AM=x
,
又∵
MN
∥
BC
,
∴四边形
MBFN
是平行四边形;
∴
FN=BM=4
﹣
x
,
∴
PF=x< br>﹣(
4
﹣
x
)
=2x
﹣
4
,
又∵△
PEF
∽△
ACB
,
∴(
)
2=
,
∴
S
△
PEF< br>=
(
x
﹣
2
)
2
;
y= S
△
MNP
﹣
S
△
PEF
=
x
2
﹣
(
x
﹣
2
)
2
=
﹣
x
2
+
6x
﹣
6
,
当
2
<
x
<
4
时,
y=
﹣
x
2
+6x
﹣
6=
﹣
(
x
﹣
)
2
+
2
,
∴当
x=
时,满足
2
<
x
<
4
,
y
最大
=2
.
综上所述 ,当
x=
时,
y
值最大,最大值是
2
.
【点评】
本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用,要注意(
2)中要根
据
P
点的位置的不同分情况进行讨论,不要漏解.
25
.
如图,
在直角坐标系中,
已知点
P
0
的坐标为
(
1
,
0
)
,
将线段
OP
0
按逆时针方向旋转
45°
,
将其长度伸长为
OP
0
的
2
倍,得到线段
OP
1
;再将线段
OP
1
按逆时针方向旋转
45°
,长度伸
长为
OP
1
的
2
倍,得到线段
OP
2
; 如此下去,得到线段
OP
3
,
OP
4
,
…
,
OP
n
(
n
为正整数)
(
1
)求点
P
6
的坐标;
(
2
)求△
P
5
OP
6
的面积;
(
3
)我们规定:把点
P
n
(
x
n
,
y
n
)
(
n=0
,
1
,
2< br>,
3
,
…
)的横坐标
x
n
、纵坐标
y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(
|
x
n
|
,
|
y
n
|
)称之为点
P
n
的
“
绝对坐标
”
.根据图中点
P
n
的分布规律,请你
猜想点
P
n
的
“
绝对坐标
”
,并写出来.
【考点】
D5
:坐标与图形性质;
K3
:三角形的面积;
R2
:旋转的性质;
S9
:相似三角形的
判定与性质.
< br>【分析】
(
1
)
OP
6
旋转了
6
×
45°
=270°
,得到点
P
6
落在
y
轴 的负半轴,而点
P
n
到坐标原点的
距离始终等于前一个点到原点距离的
2
倍,故其坐标为
P
6
(
0
,﹣
2
6< br>)
;
(
2
)根据两组对应边的比相等,且它们的夹角也相等 ,则这两个三角形相似得到△
P
0
OP
1
∽△
P
1
OP
2
∽△
P
n
﹣
1
OP
n.然后求出
S
△
P0OP1
=
×
1
×
=
,再求出
,利用相似三
角形面积的比等于它们的相似比即可得到△
P
5
OP
6
的面积;
(
3
)分类讨论:令旋转次 数为
n
,①当
n=8k
或
n=8k
+
4
时 (其中
k
为自然数)
,点
P
n
落在
x
轴上 ,此时,点
P
n
的绝对坐标为(
2
n
,
0
)
;②当
n=8k
+
1
或
n=8k
+
3< br>或
n=8k
+
5
或
n=8k
+
7
时
(其中
k
为自然数)
,点
P
n
落在各象限的平分线 上,此时,点
P
n
的绝对坐标为(
×
2
n
,
×
2
n
)
;③当
n=8k
+
2
或
n=8k
+
6
时(其中
k
为自然数)
,点
Pn
落在
y
轴上,此时,点
P
n
的绝对坐标为(
0
,
2
n
)
.
【解答】
解:
(
1
)
根据旋转规律,
点
P
6
落在
y
轴的负半轴,
而点
P
n
到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的
2
倍,故其坐标为
P
6
(
0
,﹣
2
6
)
,即
P
6
(
0
,﹣
64
)
;
(
2
)由已知可得,△
P
0
OP
1
∽△
P
1
OP
2
∽△< br>P
n
﹣
1
OP
n
.
设
P
1
(
x
1
,
y
1
)
,则
y
1
=2sin45°
=
∴
=
×
1
×=
,
,
又∵
,
∴
,
∴
;
(
3
) 由题意知,
OP
0
旋转
8
次之后回到
x
轴正半轴, 在这
8
次中,点
P
n
分别落在坐标象限
的平分线上或
x
轴或
y
轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点
Pn
的坐
标可分三类情况:令旋转次数为
n
,
①当n=8k
或
n=8k
+
4
时
(其中
k
为自然数)
,
点
P
n
落在
x
轴上,
此时,
点
P
n
的绝对坐标为
(
2
n
,
0
)
;
②当
n=8k
+
1
或
n= 8k
+
3
或
n=8k
+
5
或
n=8k+
7
时(其中
k
为自然数)
,点
P
n
落在各象限的平分
线上,此时,点
P
n
的绝对坐标为(
×
2
n
,
×
2
n
)
,即(
2
n
﹣
1
,
2
n
﹣
1
)
;
③当
n=8k
+
2
或
n=8k
+
6
时( 其中
k
为自然数)
,点
P
n
落在
y
轴上,
此时,点
P
n
的绝对坐标为(
0
,
2< br>n
)
.
【点评】
本题考查了旋转的性质:
旋转前后 的两个图形全等,
对应点与旋转中心的连线段的
夹角等于旋转角,
对应点到旋转中心的 距离相等.
也考查了三角形相似的判定与性质以及各
象限和坐标轴上的点的坐标特点.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校
:____ _______
姓名:
___________
班级:
__________ _
考号:
___________
注意事项:
1
.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2
.请将答案正确填写在答题卡上
一.选择题(共
10
小题,每题
4
分)
1
.
已知:
三个数
a
、
b
、
c
的积为负数,
和为正数,
且
则
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
1
的值为(
)
A
.
0
B
.
1
C
.
2
D
.﹣
1
,
2
.⊙
O
的半径为
5cm
,弦
AB
∥
CD
,
AB=6cm
,
CD=8cm
,则
AB
和
CD
的距离是(
)
A
.
7cm
B
.
8cm
C
.
7cm
或
1cm
D
.
1cm 3
.若点
P
(﹣
1
﹣
2a
,
2a﹣
4
)关于原点对称的点在第一象限内,则
a
的整数解有(
)
A
.
1
个
B
.
2
个
C
.
3
个
D
.
4
个
4
.已知
x
为实数,化简
A
.
B
.
的结果为(
)
C
.
D
.
5
.已知关于
x< br>的方程
2x
2
+
x
+
m
+
=0有两个不相等的负实根,则
m
的取值范围是(
)
A
.
m
<
B
.
C
.
D
.
等于(
)
D
.
sinα
+
cosα
﹣
1
6
.若
α
为直角三角形的一个锐角,则
A
.
1
﹣
s inα
﹣
cosα
B
.
1
+
sinα
+
cosα
C
.
0
7
.
“
上升数
”
是一个 数中右边数字比左边数字大的自然数(如:
34
,
568
,
2469
等)
.任取一
个两位数,是
“
上升数
”
的概率是(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
8
.数轴上表示
1
,
数是(
)
的对应点分别为
A
,
B
,点
B
关于点
A
的对称点为
C
,则点
C
所表示的
A
.
﹣
1
B
.
1
﹣
C
.
2
﹣
D
.
﹣
2
9
.二次函数
y=x
2
+
bx
+
c
的图象 与轴正方向交于
A
,
B
两点,与
y
轴正方向交于点
C
.已知
,∠
CAO=30°
,则
c=
(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
10
.如果一条直线
l
经过不同的三点
A
(
a
,
b
)
,B
(
b
,
a
)
,
C
(
a﹣
b
,
b
﹣
a
)
,那么直线
l
经过的象限有(
)
A
.二、四
二.填空题(共
10
小题,每题
4
分)
11
.若规定两数
a
,
b
通过运算得
4 ab
,即
a*b=4ab
,若
x*x
+
2*x
﹣< br>2*4=0
,则
x=
.
12
.
设
直
线
kx
+
(
k
+
1
)
y
﹣
1=0
与
坐< br>标
轴
所
构
成
的
直
角
三
角< br>形
的
面
积
为
S
k
,
则
S< br>1
+
S
2
+
…
+
S
2008
=
.
13
.已知
m
,
n
为正整数,若
<
<
,当
m
最小时分数
=
.
B
.一、三
C
.二、三、四
D
.一、三、四
14
.设
[
x
]
表示不超过
x
的最大整数(例如:
[
2
]
=2
,
[
1.25
]
=1
)
,则方程
3x
﹣2
[
x
]+
4=0
的解
为
.
15
.已知
b﹣
a=
,
2a
2
+
a=
,那么
﹣a
的值为
.
1 6
.四边形
ABCD
中,∠
A=
∠
C=90°
,∠
ADC=60°
,
AB=11
,
BC=2
,则
BD =
.
17
.观察下列各式:
3
2
=5
2
﹣
4
2
;
5
2
=13
2
﹣
12
2
;7
2
=25
2
﹣
24
2
;
9
2
=41
2
﹣
40
2
;
…
请你将猜想到的
规律用含正整数
n
(
n
≥
1
)的等式表示出来
.
18
.
如图 ,
有一种动画程序,
屏幕上正方形
ABCD
是黑色区域
(含正方形边 界)
,
其中
A
(
1
,
1
)
,B
(
2
,
1
)
,
C
(
2,
2
)
,
D
(
1
,
2
),用信号枪沿直线
y=
﹣
2x
+
b
发射信号,当信号遇 到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的
b
的取值范围为
.
19
.如图,△
ABC
是等腰直角三角形,
BC
是斜边,点
P
是△
ABC
内一定点,延长
BP
至
P′
,
将△
ABP< br>绕点
A
旋转后,与△
ACP′
重合,如果
AP=
,那 么
PP′=
.
< br>20
.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(
3
) 个图形中有黑
色瓷砖
块,第
n
个图形中需要黑色瓷砖
块(用含
n
的代数式表示)
.
三.解答题(共
6
小题,共
70
分)
21
.某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件
2 0
元的
护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量
y
(件)与销售单价
x
(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:
y=
﹣
10x
+
500
.
(
1
)设李明每月获得利润为
w(元)
,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(
2
)如果李明想要每月获得
2000
元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(
3
)
根据物价部门规定,
这种护眼台灯的销售单价不得高于
32
元,
如果李明想要每月获得
的利润不低于
2000
元,那么他每月的 成本最少需要多少元?
(成本
=
进价×销售量)
22
.计算:
+
(
)
1
﹣< br>4cos45°
﹣
2
÷
×
2
﹣(
2009< br>﹣
﹣
)
0
+|
2
﹣
|
2 3
.如图,抛物线
y=
x
2
+
bx
﹣
2< br>与
x
轴交于
A
,
B
两点,与
y
轴交 于
C
点,且
A
(﹣
1
,
0
)
.< br>
(
1
)求抛物线的解析式及顶点
D
的坐标;
(
2
)判断△
ABC
的形状,证明你的结论;
(
3
)点
M
(
m
,
0
)是
x
轴上的一个动点,当
MC
+
MD
的值最小时,求
m
的值.
24
.如图:直角梯形
ABCD
中,
AD
∥
BC
,
AD
<
BC
,∠
B=90 °
,
AB=7
,
BC
﹣
AD=1
.以
CD
为直
径的圆
O
与
AB
有两个不同的公共点
E
、
F
,与
BC
交于点
G
.
(
1
)求⊙
O
的半径;
(
2
)求证:
AE=BF
;
(
3
)当
AE=1
时,在线段
AB
上是否存在点
P
,以点A
,
P
,
D
为顶点的三角形与以点
B
,
P
,
C
为顶点的三角形相似?若存在,在图中描出所有满足条件的点
P的位置(不要求计算)
;
若不存在,请说理由.
(
4
)当
AE
为何值时,能满足(
3
)中条件的点
P
有且只有两 个?
25
.
如图,
在直角坐标系中,
已知点< br>P
0
的坐标为
(
1
,
0
)
,
将线段
OP
0
按逆时针方向旋转
45°
,
将其长度伸长为
OP
0
的
2
倍,得到线段
OP
1
;再将线 段
OP
1
按逆时针方向旋转
45°
,长度伸
长为
O P
1
的
2
倍,得到线段
OP
2
;如此下去,得到线 段
OP
3
,
OP
4
,
…
,
OP< br>n
(
n
为正整数)
(
1
)求点
P
6
的坐标;
(
2
)求△
P
5
OP
6
的面积;
(
3
)我们规定:把点
P
n
(
x
n
,
y
n
)
(
n=0
,
1
,
2< br>,
3
,
…
)的横坐标
x
n
、纵坐标
y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(
|
x
n
|
,
|
y
n
|
)称之为点
P
n
的
“
绝对坐标
”
.根据图中点
P
n
的分布规律,请你
猜想点
P
n
的
“
绝对坐标
”
,并写出来.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷(
6
)
参考答案与试题解析
1
.
已知:
三个数
a
、
b
、
c
的积为负数,
和为正数,
且
则
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
1< br>的值为(
)
A
.
0
B
.
1
C
.
2
D
.﹣
1
,
【考点】
15
:绝对值;
33
:代数式求值.
【分析】
可由已知,三个数
a
、
b
、
c
的 积为负数,和为正数,得三个数中有两个正数,一个
负
数
,
故
可得
=1
,
=
﹣
1
,
故
得
=1
﹣
1=0
,即得
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
1=0
+
0
+
0
+
1= 1
.
【解答】
解:∵三个数
a
、
b
、< br>c
的积为负数,和为正数,
∴得三个数中有两个正数,一个负数,
∴
∴
故得
∴
ax
3
+
bx
2+
cx
+
1=0
+
0
+
0
+
1=1
.
故选:
B
.
【点评】
本题主 要考查代数式求值问题,利用绝对值的基本性质,以及正数与负数的性质,
便得所求结果,要认真掌握.
2
.⊙
O
的半径为
5cm
,弦
AB
∥
CD
,
AB=6cm
,
CD=8cm
,则
AB
和
CD
的距离是(
)
A
.
7cm
B
.
8cm
C
.
7cm
或
1cm
D
.
1cm
=1
,
=
﹣
1
,
=1
﹣
1=0
,
【考点】
KQ
:勾股定理;
M2
:垂径定理.
【专题】
32
:分类讨论.
【分析】
因为
AB< br>、
CD
位置不明确,所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论.
【解答】
解:本题要分类讨论:
(
1
)
AB,
CD
在圆心的同侧,如图①,连接
OA
、
OC
,过< br>O
作
AB
的垂线交
CD
,
AB
于
E
、
F
,
根据垂径定理得
ED=
CD=
×
8=4cm
,
FB=
AB=
×
6=3cm
,
在
Rt
△
OED
中,
OD=5cm
,
ED=4cm
,由勾股定理得
OE=
在
Rt
△
OFB
中,
OB=5cm
,
FB=3cm
,则
OF=
AB
和
CD
的距离
=OF
﹣
OE=4
﹣
3=1cm< br>;
=
=
=4cm
,
=3cm
,
(
2
)
AB
,< br>CD
在圆心的异侧,如图②,连接
OA
、
OC
,过
O
作
AB
的垂线交
CD
,
AB
于
E
、
F
,
根据垂径定理得
ED=
CD=
×
8=4cm
,
FB=
AB=
×
6=3cm
,
在
Rt
△
OED
中,
OD=5cm
,
ED=4 cm
,由勾股定理得
OE=
在
Rt
△
OFB
中,< br>OB=5cm
,
FB=3cm
,则
OF=
AB
和CD
的距离是
OF
+
OE=4
+
3=7cm
.
AB
和
CD
的距离是
7cm
或
1cm< br>.
故选:
C
.
【点评】
本题涉及到垂径定理及勾股定理,解题时要注意分类讨论,不要漏解.
3
.若点
P
(﹣
1
﹣
2a< br>,
2a
﹣
4
)关于原点对称的点在第一象限内,则
a
的整数解有(
)
A
.
1
个
B
.
2
个
C
.
3
个
D
.
4
个
【考点】
CC
:一元一次不等 式组的整数解;
R6
:关于原点对称的点的坐标.
=
=4cm
,
=3cm
,
=
【分析】
根据题意可得出点
P
在第三象限,从而列出不等式组求解即可.
< br>【解答】
解:∵点
P
(﹣
1
﹣
2a
,
2a
﹣
4
)关于原点对称的点在第一象限内,
∴
,
由①得,
a
>﹣
,
由②得,
a
<
2
,
∴
a=1
或
0
.
故选:
B
.
【点评】
本题考查了关于原点对称的点的坐标 ,
以及一元一次不等式组的整数解,
是基础知
识要熟练掌握.
4
.已知
x
为实数,化简
A
.
B
.
的结果为(
)
C
.
D
.
【考点】
73
:二 次根式的性质与化简;
78
:二次根式的加减法.
【专题】
11
:计算题.
【分析】
根据二次根式的性质进行化简:
二次根式即可.
【解答】
解:原式
=
﹣
x
=
﹣
x
+
.
﹣
x?
(﹣
)
=
﹣
x
,
=
﹣
,代入后合并同类
=
(
1
﹣< br>x
)
故选:
C
.
【点评】
本题考查了二次 根式的性质和二次根式的加减法等知识点的理解和运用,
关键是根
据二次根式的性质得出
5
.已知关于
x
的方程
2x
2
+< br>x
+
m
+
=0
有两个不相等的负实根,则
m
的取值范围是(
)
A
.
m
<
B
.
C
.
D
.
=
﹣
x
,
=
﹣
.
【考点】AA
:根的判别式;
AB
:根与系数的关系;
CB
:解一元一次 不等式组.
【分析】
由方程有两个不相等的负实数根可以推出,△
=b2
+
4ac
>
0
,同时
=
>
0
,通
过解不等式,即可推出
m
的取值范围.
【解答】
解 :∵
2x
2
+
x
+
m
+
=0
有两 个不相等的负实根,
∴△
=b
2
﹣
4ac=1
2
﹣
4
×
2
×(
m
+
)>
0
,
=
∴解不等式得:
m
∴
故选:
B
.
.
,
m
,
>
0
,
【点评】
本题主要考查解一元一次不等式、根与系数的关系、
根的判别式,
关 键在于根据题
意列出一元一次不等式,认真的进行计算.
6< br>.若
α
为直角三角形的一个锐角,则
A
.
1
﹣
sinα
﹣
cosα
B
.
1
+
sinα
+
cosα
C
.
0
等于(
)
D
.
sinα
+
cosα
﹣
1
【考点】
73
:二次根式的性质与化简;
T3
:同角三角函数的关系.
【分析】
打开根号内的式子,将
sinα
+
cosα
作为一个整 体,可得原式
=
|
sinα
+
cosα
﹣
1
|
,再去
绝对值即可求解.
【解答】
解:应该是
sin α
+
cosα
﹣
1
.
原式
=
=
=
=
|
sinα
+
cosα
﹣
1
|
=
|
sin
(
α
+
)﹣
1< br>|
<
α
+
<
)<
,
.
因为
α
为直角三角 形的一个锐角,故
所以
<
sin
(
α
+
)<
1
,
1
<
sin
(
α
+
所以,原式=sinα
+
cosα
﹣
1
.
故选:
D
.
【点评】
考查了同角三角函数的关系,注意整体思想的运用,有一定的难度.
7
.
“
上升数
”
是一个数中右边数字 比左边数字大的自然数(如:
34
,
568
,
2469
等)
.任取一
个两位数,是
“
上升数
”
的概率是(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
【考点】
X4
:概率公式.
【分析】
分别列举出以
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
开头的上升数,再除以
2
位数的总数
即可.
【解答】
解:
1
开头的两位 自然数有
10
,
11
,
12
,
13
,14
,
15
,
16
,
17
,
18,
19
其中有
8
个
“
上升数
”
;
2
开头的两位自然数有
20
,
21
,
22< br>,
23
,
24
,
25
,
26
,27
,
28
,
29
,其中有
7
个
“< br>上升数
”
;
同理以
3
开头的两位自然数也有
10
个,其中有
6
个
“
上升数
”
;
< br>一直到
8
开头的两位自然数也有
10
个,其中有
1
个
“
上升数
”
;
9
开头的两位自然数没有
“
上升数
”
;
所以全部两位自然数有
90
个,
“
上升数
”
一共有:
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8=36
(个)
,
所以任取 一个两位数,是
“
上升数
”
的概率是
故选:
B
.< br>
【点评】
用到的知识点为:概率
=
所求情况数与总情况数之比;易错 点是得到上升数的个数
与两位数的总个数.
8
.数轴上表示
1
,
数是(
)
A
.
﹣
1
B
.
1
﹣
C
.
2
﹣
.
的对应点分别为
A
,
B
,点
B
关于点
A
的对称点为
C
,则点
C
所表示的
D
.
﹣
2
【考点】
29
:实数与数轴.
【专题】
16
:压轴题.
【分析】
首先根据数轴上表示< br>1
,
的对应点分别为
A
,
B
可以求出线段
A B
的长度,然后
由
AB=AC
利用两点间的距离公式便可解答.
< br>【解答】
解:∵数轴上表示
1
,
∴
AB=
﹣
1
,
的对应点分别为
A
,
B
,
∵点
B
关于点
A
的对称点为
C
,
∴
AC=AB
.
∴点
C
的坐标为:
1< br>﹣(
故选:
C
.
【点评】
本题考查的知识点为:< br>求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数.
知道两
点间的距离,求较小的数,就 用较大的数减去两点间的距离.
9
.二次函数
y=x
2
+
bx
+
c
的图象与轴正方向交于
A
,
B
两点,与
y
轴正方向交于点
C
.已知
,∠
CAO=30°
,则
c=
(
)
﹣
1
)
=2
﹣
.
A
.
B
.
C
.
D
.
【考点】
HF
:二次函数综合题.
【分析】
首先利用根与系数的关系求得
A
,
B
两点横坐标之间的关 系,再进一步结合已知,
利用直角三角形的边角关系,把
A
与
B
两点 横坐标用
c
表示,由此联立方程即可求得答案.
【解答】
解:由题 意知,点
C
的坐标为(
0
,
c
)
,
OC= c
.
设
A
,
B
两点的坐标分别为(
x< br>1
,
0
)
,
(
x
2
,
0< br>)
,
则
x
1
,
x
2
是方 程
x
2
+
bx
+
c=0
的两根,
由根与系数的关系得:
x
1
+
x
2
=
﹣
b
,
x
1
x
2
=c
,
又∵∠
CAO=30°
,则
AC=2c
,
∴
AB=
AC=2
c
;
c
,
x
2
=OB=OA
+
AB=3
c
.
∴x
1
=OA=ACcos30°
=
由
x
1
x< br>2
=9c
2
=c
,得
c=
.
故选:
C
.
【点评】
本题主要考查二次函数图象与坐标轴 交点的坐标特点、
根与系数的关系以及直角三
角形的边角关系.
此题综合性较强,难度较大,
解题的关键是注意数形结合与方程思想的应
用.
10
.如果一条直线
l
经过不同的三点
A
(
a,
b
)
,
B
(
b
,
a
),
C
(
a
﹣
b
,
b
﹣
a)
,那么直线
l
经过的象限有(
)
A
.二、四
B
.一、三
C
.二、三、四
D
.一、三、四
【考点】
F5
:一次函数的性质.
【分析】
先根据题意设 出一次函数的解析式,再分别把
A
(
a
,
b
)
,< br>B
(
b
,
a
)
,
C
(
a< br>﹣
b
,
b
﹣
a
)代入,求出函数的解析式即可.
【解答】
解:设此一次函数的解析式为
y=kx
+
c
,
把
A
(
a
,
b
)
,
B
(
b
,
a
)
,
C
(
a
﹣
b
,
b
﹣
a
)三点代入,
得
,
解得
.
故此一次函数的解析式为
y=
﹣
x
,
故直线
l
经过第二、四象限.
故选:
A
.
【点评】
本题考查的是用待定系数法求一次函 数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点,
比较简单.
< br>11
.
若规定两数
a
,
b
通过运算得
4ab
,
即
a*b=4ab
,
若
x*x
+
2*x
﹣
2*4=0
,
则
x=
2
或﹣
4
.
【考点】
A8
:解一元二次方程﹣因式分解法.
【专题】
23
:新定义.
【分析】
根据新定义写出一元二次方程,并用因式分解法求出方程的根.
【解答】
解:依题意可以列方程:
4x
2
+
8x
﹣
32=0
x
2
+
2x
﹣
8=0
(
x
+< br>4
)
(
x
﹣
2
)
=0
x
+
4=0
或
x
﹣
2=0
∴
x
1
=
﹣
4
,
x
2
=2
.
故答案为:
2
或﹣
4
.
【点评】
此题考 查的是用因式分解法解一元二次方程,
根据新定义写出一元二次方程,
然后
用因式分解 法求出方程的根是解题关键.
12
.设直线
kx+
(
k
+
1
)
y
﹣
1=0
与 坐标轴所构成的直角三角形的面积为
S
k
,则
S
1
+
S
2
+
…
+
S
2008
=
.
【考点】
F5
:一次函数的性质.
【专题】
16
:压轴题;
2A
:规律型.
【分析 】
先依次计算出
S
1
、
S
2
等的面积,再依据规律 求解.
【解答】
解:∵
kx
+
(
k
+< br>1
)
y
﹣
1=0
∴当
x=0
时,
y=
∴
S
k
=
×
×
;当
y=0
时 ,
x=
=
,
[
﹣
+
﹣
+
…
+
﹣
]
=
(
1
﹣
)
=
.
根据公式可知,
S
1
+
S
2+
…
+
S
2008
=
【点评】
结合题意依次计 算出
S
1
、
S
2
等的面积,再总结规律,易求解.
13
.已知
m
,
n
为正整数,若<
<
,当
m
最小时分数
=
.
【考点】
65
:分式的基本性质;
98
:解二 元一次方程组.
【专题】
11
:计算题.
【分析】首先由不等式可得出
2007n
﹣
2006m
>
0
,< br>2007m
﹣
2008n
>
0
;分别设
2007n< br>﹣
2006m=x
,
2007m
﹣
2008n=y
;
(
x
、
y
是正整数)然后用
x
、
y
分别表示出
m
、
n
的值,根据
m
的值最小,判断出此时< br>x
、
y
、
n
的值,进一步得出所求分数的值.
【解答】
解:
由题意,
得
﹣
>
0
,
∵
m
,
n
为正整数,
∴
2007n﹣
2006m
>
0
,
2007m
﹣
2008n
>
0
;
设
2007n
﹣
2006m=x
,
2007m
﹣
2008n=y
;
(
x
、
y
是正整数)
则有:
,解得
;
>0
,
﹣
>
0
,
即
>
0
,当
m
最小时,
x=y=1
;即
m=4015
,
n=4013
;此时
m
、
n
互质,故
=
故答案为< br>.
.
【点评】
此题融合了分式的基本性质、不等式、方程组等知识,是道难度较大的题.
14
.设
[
x
]
表示不超过
x
的最大整数(例如:
[
2
]
=2
,
[
1 .25
]
=1
)
,则方程
3x
﹣
2
[x
]+
4=0
的解
为
﹣
4
或﹣
或﹣
.
【考点】
*D
:取整函数.
【分析】
首先令
[< br>x
]
=n
,可得方程
3x
﹣
2n
+
4=0
,即可求得
x
的值,然后由
[
x
]
≤
x
<
[
x
]+
1
,可
得关于
n
的不等式组,
解不等式组即可求得
n
的值,
则代入方程即可求得
x< br>的值,
注意要检
验.
【解答】
解:令
[
x
]
=n
,代入原方程得
3x
﹣
2n
+
4= 0
,即
x=
又∵
[
x
]
≤
x
<< br>[
x
]+
1
,
∴
n
≤
<
n
+
1
,
,
整理得:
3n
≤
2n
﹣
4
<
3n
+
3
,即﹣
7
<
n
≤﹣
4< br>,
∴
n=
﹣
4
或
n=
﹣
5
或
n=
﹣
6
,
∴当
n=
﹣< br>4
时,
x=
﹣
4
,
当
n=
﹣
5
时,
x=
﹣
当
n=
﹣
6
时 ,
x=
﹣
,
,
或
x=
﹣
或﹣
.
是原方程的解.
经检验,
x=
﹣
4
或
x=
﹣
故答案为:﹣4
或﹣
【点评】
此题考查了取整函数的知识.注意
[
x
]
≤
x
<
[
x
]+
1
性质的应用是解此题 的关键.
15
.已知
b
﹣
a=,
2a
2
+
a=
,那么
﹣
a
的值为< br>
【考点】
6D
:分式的化简求值.
.
【专题】
11
:计算题.
【分析】
由第一个等式表示出< br>b
,由第二个等式表示出
a
2
,然后将所求式子通分后,利用同
分母分式的减法法则计算后,将表示出的
b
与
a
2
代入,化简后即 可求出值.
【解答】
解:∵
b
﹣
a=
,∴
b=a
+
,
又
2a
2
+
a=
,∴
a
2
=
﹣
,
则
﹣
a=
故答案为:
=
=
=
=
.
【点评】
此题考查了分式的 化简求值,
分式的加减运算关键是通分,
通分的关键是找出最简
公分母;
分式 的乘除运算关键是约分,
约分的关键是找公因式,
同时注意化简求值题要将原
式化为最 简后再代值.根据已知的两等式表示出的
b
与
a
2
是解本题的关键.
16
.四边形
ABCD
中,∠
A=
∠
C=90°
,∠
ADC=60°
,
AB=11
,
BC=2
,则
BD=
14
.
【考点】
T7
:解直角三角形.
【专题】
11
:计算题.
【分析】
延长
AB与
DC
的延长线相交于点
E
,构造了两个
30°
的直角 三角形,首先在直角三
角形
CBE
中求得
BE
的长,再进一步在直角 三角形
ADE
中,求得
AD
的长,再在直角三角形
BAD
中 由勾股定理求得
BD
.
【解答】
解:如图,延长
AB与
DC
的延长线相交于点
E
.
在
Rt
△
ADE
中,∵∠
ADE=60°
,
∴∠
E=30°
.
在
Rt
△
BCE中,
sinE=
∴
BE=
=4
,
,
∴
AE=AB
+
BE=11
+
4=15
.
在
Rt
△
DAE
中,
tanE=
∴
AD= AE?tanE=15
×
在
Rt
△
BAD
中,
BD=
=
=14
,
,
=5
,
故答案为:
14
.
【点评】< br>此题考查的知识点是解直角三角形,关键要特别注意构造
30°
的直角三角形,熟练运用锐角三角函数求解.
17
.观察下列各式 :
3
2
=5
2
﹣
4
2
;
5
2
=13
2
﹣
12
2
;
7
2
= 25
2
﹣
24
2
;
9
2
=41
2
﹣
40
2
;
…
请你将猜想到的
规律用含正整数n
(
n
≥
1
)的等式表示出来
(
2 n
+
1
)
2
=
(
2n
2
+
2n
+
1
)
2
﹣(
2n
2
+
2 n
)
2
(
n
≥
1
)
.
【考点】
37
:规律型:数字的变化类.
【分析】
仔细观 察每一个等式,
用含有
n
的式子表示出等号左边的底数,
然后表示出等号右< br>边的底数即可.
【解答】
解:∵
3
2
=5
2
﹣
4
2
;
5
2
=13
2
﹣
12
2
;
7
2
=25
2
﹣
24
2
;
9
2
=41
2
﹣
40
2
;
…
∴(
2n
+
1
)
2
=
(
2n
2
+
2n
+
1
)
2
﹣(
2n
2
+
2n
)
2
(
n
≥
1
)
.
故答案为:
(
2n
+
1
)
2
=
(
2n
2
+
2n
+
1< br>)
2
﹣(
2n
2
+
2n
)
2
(
n
≥
1
)
.
【点评】
本题考查了数 字的变化,找等式的规律时,既要分别看左右两边的规律,
还要注意
看左右两边之间的联系.< br>
18
.
如图,
有一种动画程序,
屏幕 上正方形
ABCD
是黑色区域
(含正方形边界)
,
其中
A< br>(
1
,
1
)
,
B
(
2
,< br>1
)
,
C
(
2
,
2
)
,< br>D
(
1
,
2
)
,用信号枪沿直线
y=
﹣
2x
+
b
发射信号,当信号遇到黑
色区域时,区域便由黑变白, 则能够使黑色区域变白的
b
的取值范围为
3
≤
b
≤
6
.
【考点】
FI
:一次函数综合题.
【分析】
根据题意确定 直线
y=
﹣
2x
+
b
经过哪一点
b
最大, 哪一点
b
最小,然后代入求出
b
的取值范围.
【解答】< br>解:由题意可知当直线
y=
﹣
2x
+
b
经过
A
(
1
,
1
)时
b
的值最小,即﹣
2×
1
+
b=1
,
b=3
;
当直线< br>y=
﹣
2x
+
b
过
C
(
2
,
2
)时,
b
最大即
2=
﹣
2
×
2
+
b
,
b=6
,故能够使黑色区域变白的
b
的取 值范围为
3
≤
b
≤
6
.
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的运用,
解答此类题目时一定要注意数形结合的运用.
19
.如图,△
ABC
是等腰直角三角形,
B C
是斜边,点
P
是△
ABC
内一定点,延长
BP
至
P′
,
将△
ABP
绕点
A
旋转后,与△
A CP′
重合,如果
AP=
,那么
PP′=
2
.
【考点】
KW
:等腰直角三角形;
R2
:旋转的性质.
【分析】
根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知.
【解答】
解:∵△
ABP
绕点
A
旋转后能与△
ACP′
重合,
∴
AP=AP′=
∴
PP′=2
.
【点评】
本题考查旋转的性质:
旋转变化前后,
对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.
20
.用同样 规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(
3
)个图形中有黑
色瓷砖
10
块,第
n
个图形中需要黑色瓷砖
3n
+
1
块(用含
n
的代数式表示)
.
,∠
PAP′=90°
,
【考点】
38
:规律型:图形的变化类.
【分析】
分析几何模型,进行合理的运算,图形的变换作出正确解答.
【解 答】
解:本题考查的是规律探究问题.从图形观察每增加一个图形,黑色正方形瓷砖就
增加3
块,
第一个黑色瓷砖有
3
块,
则第
3
个图形黑色瓷砖有
10
块,
第
N
个图形瓷砖有
4
+
3
(
n
﹣
1
)
=3n
+
1
(块)
.
故答案为:
10
;
3n
+
1
.
【点评】
本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型.
21
.某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件
2 0
元的
护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量
y
(件)与销售单价
x
(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:
y=
﹣
10x
+
500
.
(
1
)设李明每月获得利润为
w(元)
,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(
2
)如果李明想要每月获得
2000
元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(
3
)
根据物价部门规定,
这种护眼台灯的销售单价不得高于
32
元,
如果李明想要每月获得
的利润不低于
2000
元,那么他每月的 成本最少需要多少元?
(成本
=
进价×销售量)
【考点】
HE
:二次函数的应用.
【专题】
12
:应用题.
【分析】
(
1
)
由题意得,
每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数,
利润
=
(定
价﹣进价)×销售量,从而列出关系式;
(
2
)令
w= 2000
,然后解一元二次方程,从而求出
销售单价;
(
3
)根据抛 物线的性质和图象,求出每月的成本.
【解答】
解:
(
1
)由题意,得:
w=
(
x
﹣
20
)
?y
,
=
(
x
﹣
20
)
?
(﹣
10x
+
500
)
=
﹣
10x
2
+700x
﹣
10000
,
,
答:当销售单价定为
35
元时,每月可获得最大利润.
(
2
)由题意,得:﹣
10x
2
+
700x
﹣10000=2000
,
解这个方程得:
x
1
=30
,
x
2
=40
,
答:李明想要每月获得
2000
元的利润,销售单价应定为
30
元或
40
元.
(
3
)∵
a=
﹣
10
<
0,
∴抛物线开口向下,
∴当
30
≤
x≤
40
时,
w
≥
2000
,
∵
x
≤
32
,
∴当
30
≤x
≤
32
时,
w
≥
2000
,
设成本为
P
(元)
,由题意,得:
P=20
(﹣
10x
+
500
)
=
﹣
200x
+
10000< br>,
∵
a=
﹣
200
<
0
,
∴
P
随
x
的增大而减小,
∴当
x=32
时,
P
最小
=3600
,
答:想要每月获得的利润不低于
2000
元,每月的成本最少为
3600元.
【点评】
此题考查二次函数的性质及其应用,
还考查抛物线的基本 性质,
另外将实际问题转
化为求函数最值问题,从而来解决实际问题.
22
.计算:
+
(
)
1
﹣
4c os45°
﹣
2
÷
×
2
﹣(
2009
﹣< br>﹣
)
0
+|
2
﹣
|
【考点】2C
:实数的运算;
6E
:零指数幂;
6F
:负整数指数幂;< br>T5
:特殊角的三角函数值.
【分析】
分别根据
0
指数幂及负整数指数幂的计算法则、
数的开方法则及特殊角的三角函数
值、绝对值的性质分别计 算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
【解答】
解:原式
= 2
=2
+
2
﹣
2
.
+
2
﹣
4
×
﹣
2
×
2
×
2
﹣
1
+
2
﹣
﹣
8
﹣
1
+
2
﹣
=
﹣
5
﹣
【 点评】
本题考查的是实数的运算,
熟知
0
指数幂及负整数指数幂的计算法则、
数的开方法
则及特殊角的三角函数值、绝对值的性质是解答此题的关键.
23
.如图,抛物线
y=ax
2
﹣
x
﹣
与
x
轴正半轴交于点
A
(
3
,
0
)
,以
OA
为边在
x
轴上方作正
方形
O ABC
,延长
CB
交抛物线于点
D
,再以
BD
为边 向上作正方形
BDEF
.
(
1
)求
a
的值;
(
2
)求点
F
的坐标.
【考点】
HF
:二次函数综合题.
【专题】
153
:代数几何综合题.
【分析】
(
1
)由于抛物线过
A
(
3
,
0
)点,可将
A
的坐标代入抛物线中即可求出
a
的值;
(
2
)
F
的横坐标与
A
的横坐标相同,纵坐标等于
AB
+
BD
,因此求出
BD
的长是解题的关键,
可先根据抛物线的解析式求出
D
的横坐标(
D
的纵坐标是
OA
的长)
,然后根据
BD=CD
﹣
OA
即可得出
BF
的值,也就求出了
AF< br>的长,即可得出
F
的坐标.
【解答】
解:
(
1
)把
A
(
3
,
0
)代入
y=ax2
﹣
x
﹣
中,得
a=
;
(
2
)∵
A
(
3
,
0
)
∴
OA=3
∵四边形
OABC
是正方形
∴
OC=OA=3
当
y=3
时,
即
x
2
﹣
2x
﹣
9=0
解得
x
1
=1
+
∴
CD=1
+
,
x
2
=1
﹣
<
0
(舍去)
,
在正方形
OABC
中,
AB=CB
同理
BD=BF
∴
AF=CD=1
+
)
.
∴点
F
的坐标为(
3
,
1
+
【点评】
本题考查了正方形的性质以及用待定系数法求二次函数等相关知识点,(
2
)
题中根
据抛物线的解析式求得
D
点的坐标是解题 的关键.
24
.在△
ABC
中,∠
A=90°
,
AB=4
,
AC=3
,
M
是
AB
上的动点(不与
A
,
B
重合)
,过点
M
作
MN
∥
BC
交
AC
于点
N
,以
MN
为直径作⊙
O
,并在⊙
O
内作内接矩形
AMPN.令
AM=x
.
(
1
)用含
x
的代 数式表示△
MNP
的面积
S
;
(
2
)在 动点
M
的运动过程中,记△
MNP
与梯形
BCNM
重合的面 积为
y
,试求
y
关于
x
的函
数关系式,并求
y
的最大值.
【考点】
MR
:圆的综合题.
【分析】
(
1
)由于三角形
PMN
和
AMN
的面积相当,那么可通过求三角形
AMN
的面积来得
出三角形
PMN
的面积,
求三角形
AMN
的面积可根据三角形
AMN
和
A BC
相似,
根据相似比
的平方等于面积比来得出三角形
AMN
的面积 ;
(
2
)要求重合部分的面积首先看
P
点在三角形
ABC
内部还是外面,因此可先得出这两种情
况的分界线即当
P
落到
BC
上时,
x
的取值,那么
P
落点
BC
上时,< br>MN
就是三角形
ABC
的中
位线,此时
AM=2
,因 此可分两种情况进行讨论:
①当
0
<
x
≤
2时,此时重合部分的面积就是三角形
PMN
的面积,三角形
PMN
的面积 (
1
)
中已经求出,即可的
x
,
y
的函数关系式. ②当
2
<
x
<
4
时,如果设
PM
,
PN
交
BC
于
E
,
F
,
那么重合部分就 是四边形
MEFN
,可通过三角形
PMN
的面积﹣三角形
PEF的面积来求重合
部分的面积.不难得出
PN=AM=x
,而四边形
BMN F
又是个平行四边形,可得出
FN=BM
,也
就有了
FN
的 表达式,就可以求出
PF
的表达式,然后参照(
1
)的方法可求出三角形PEF
的
面积,即可求出四边形
MEFN
的面积,也就得出了
y
,
x
的函数关系式.然后根据两种情况
得出的函数的性质,以及对应的自变量 的取值范围求出
y
的最大值即可.
【解答】
解:
(
1
)∵
MN
∥
BC
,
∴∠
AMN=< br>∠
B
,∠
ANM=
∠
C
.
∴△
AMN
∽△
ABC
.
∴
=
,即
=
;
∴
AN=
x
;
∴
S=S
△
MN P
=S
△
AMN
=
?
x?x=
x
2
.
(
0
<
x
<
4
)
(
2
)随点
M
的运动,当
P
点落在直线
BC上时,连接
AP
,则
O
点为
AP
的中点.
∵
MN
∥
BC
,
∴∠
AMN=
∠
B
,∠
AOM=
∠
APB
,
∴△
AMO
∽△
ABP
,
∴
=
=
,
∵
AM=MB=2
,
故以下分两种情况讨论:
①当
0
<
x
≤
2
时,
y=S
△
PMN
=
x
2
,
∴当
x=2
时,
y
最大
=
×
4=
,
②当
2
<
x
<
4
时,设
PM
,
PN
分别交
BC
于
E
,
F
,< br>
∵四边形
AMPN
是矩形,
∴
PN
∥
AM
,
PN=AM=x
,
又∵
MN
∥
BC
,
∴四边形
MBFN
是平行四边形;
∴
FN=BM=4
﹣
x
,
∴
PF=x< br>﹣(
4
﹣
x
)
=2x
﹣
4
,
又∵△
PEF
∽△
ACB
,
∴(
)
2=
,
∴
S
△
PEF< br>=
(
x
﹣
2
)
2
;
y= S
△
MNP
﹣
S
△
PEF
=
x
2
﹣
(
x
﹣
2
)
2
=
﹣
x
2
+
6x
﹣
6
,
当
2
<
x
<
4
时,
y=
﹣
x
2
+6x
﹣
6=
﹣
(
x
﹣
)
2
+
2
,
∴当
x=
时,满足
2
<
x
<
4
,
y
最大
=2
.
综上所述 ,当
x=
时,
y
值最大,最大值是
2
.
【点评】
本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用,要注意(
2)中要根
据
P
点的位置的不同分情况进行讨论,不要漏解.
25
.
如图,
在直角坐标系中,
已知点
P
0
的坐标为
(
1
,
0
)
,
将线段
OP
0
按逆时针方向旋转
45°
,
将其长度伸长为
OP
0
的
2
倍,得到线段
OP
1
;再将线段
OP
1
按逆时针方向旋转
45°
,长度伸
长为
OP
1
的
2
倍,得到线段
OP
2
; 如此下去,得到线段
OP
3
,
OP
4
,
…
,
OP
n
(
n
为正整数)
(
1
)求点
P
6
的坐标;
(
2
)求△
P
5
OP
6
的面积;
(
3
)我们规定:把点
P
n
(
x
n
,
y
n
)
(
n=0
,
1
,
2< br>,
3
,
…
)的横坐标
x
n
、纵坐标
y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(
|
x
n
|
,
|
y
n
|
)称之为点
P
n
的
“
绝对坐标
”
.根据图中点
P
n
的分布规律,请你
猜想点
P
n
的
“
绝对坐标
”
,并写出来.
【考点】
D5
:坐标与图形性质;
K3
:三角形的面积;
R2
:旋转的性质;
S9
:相似三角形的
判定与性质.
< br>【分析】
(
1
)
OP
6
旋转了
6
×
45°
=270°
,得到点
P
6
落在
y
轴 的负半轴,而点
P
n
到坐标原点的
距离始终等于前一个点到原点距离的
2
倍,故其坐标为
P
6
(
0
,﹣
2
6< br>)
;
(
2
)根据两组对应边的比相等,且它们的夹角也相等 ,则这两个三角形相似得到△
P
0
OP
1
∽△
P
1
OP
2
∽△
P
n
﹣
1
OP
n.然后求出
S
△
P0OP1
=
×
1
×
=
,再求出
,利用相似三
角形面积的比等于它们的相似比即可得到△
P
5
OP
6
的面积;
(
3
)分类讨论:令旋转次 数为
n
,①当
n=8k
或
n=8k
+
4
时 (其中
k
为自然数)
,点
P
n
落在
x
轴上 ,此时,点
P
n
的绝对坐标为(
2
n
,
0
)
;②当
n=8k
+
1
或
n=8k
+
3< br>或
n=8k
+
5
或
n=8k
+
7
时
(其中
k
为自然数)
,点
P
n
落在各象限的平分线 上,此时,点
P
n
的绝对坐标为(
×
2
n
,
×
2
n
)
;③当
n=8k
+
2
或
n=8k
+
6
时(其中
k
为自然数)
,点
Pn
落在
y
轴上,此时,点
P
n
的绝对坐标为(
0
,
2
n
)
.
【解答】
解:
(
1
)
根据旋转规律,
点
P
6
落在
y
轴的负半轴,
而点
P
n
到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的
2
倍,故其坐标为
P
6
(
0
,﹣
2
6
)
,即
P
6
(
0
,﹣
64
)
;
(
2
)由已知可得,△
P
0
OP
1
∽△
P
1
OP
2
∽△< br>P
n
﹣
1
OP
n
.
设
P
1
(
x
1
,
y
1
)
,则
y
1
=2sin45°
=
∴
=
×
1
×=
,
,
又∵
,
∴
,
∴
;
(
3
) 由题意知,
OP
0
旋转
8
次之后回到
x
轴正半轴, 在这
8
次中,点
P
n
分别落在坐标象限
的平分线上或
x
轴或
y
轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点
Pn
的坐
标可分三类情况:令旋转次数为
n
,
①当n=8k
或
n=8k
+
4
时
(其中
k
为自然数)
,
点
P
n
落在
x
轴上,
此时,
点
P
n
的绝对坐标为
(
2
n
,
0
)
;
②当
n=8k
+
1
或
n= 8k
+
3
或
n=8k
+
5
或
n=8k+
7
时(其中
k
为自然数)
,点
P
n
落在各象限的平分
线上,此时,点
P
n
的绝对坐标为(
×
2
n
,
×
2
n
)
,即(
2
n
﹣
1
,
2
n
﹣
1
)
;
③当
n=8k
+
2
或
n=8k
+
6
时( 其中
k
为自然数)
,点
P
n
落在
y
轴上,
此时,点
P
n
的绝对坐标为(
0
,
2< br>n
)
.
【点评】
本题考查了旋转的性质:
旋转前后 的两个图形全等,
对应点与旋转中心的连线段的
夹角等于旋转角,
对应点到旋转中心的 距离相等.
也考查了三角形相似的判定与性质以及各
象限和坐标轴上的点的坐标特点.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校
:____ _______
姓名:
___________
班级:
__________ _
考号:
___________
注意事项:
1
.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2
.请将答案正确填写在答题卡上
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