数学建模的方法和步骤

2021年1月22日发(作者：郑融)
数学建模与创业计划实践部

学习目标

1.
能表述建立数学模型的方法、步骤；

2.
能表述建立数学模型 的逼真性、
可行性、
渐进性、
强健性、
可转移性、非预制性、条理性、
技艺性和局限性等特点；
；

3.
能表述数学建模的分类；

4.
会采用灵活的表述方法建立数学模型；

5.
培养建模的想象力和洞察力。

一、建立数学模型的方法和步骤

—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、
一类是机理分析方法，
一类是测试 分析
方法．
机理分析是根据对现实对象特性的认识、
分析其因果关系，
找出反 映内部机理的规律
,
建立的模型常有明确的物理或现实意义
.
测试分折将研究 对象视为一个“黑箱”系统，内部
机理无法直接寻求，
可以测量系统的输人输出数据、
并以此为基础运用统计分析方法，
按照
事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最 好的模型。
这种方法称为系统辨识
(System
Identification)
．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模
型的结构，用系统辨识确定 模型的参数．

可以看出，
用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解 程度和建模目的决定
的．
如果掌握了机理方面的一定知识，
模型也要求具有反映内部特 性的物理意义。
那么应该
以机理分析方法为主．当然
,
若需要模型参数的具体 数值，还可以用系统辨识或其他统计方
法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内 部特性
,
譬如仅用来做输
出预报，
则可以系统辩识方法为主．
系统辨 识是一门专门学科，
需要一定的控制理论和随机
过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分 析。

建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关

模型准备


首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各 种信息如现象、
数据等，
尽量弄清对象的特征
,
由此初步确定用哪一类模型，
总之是做好建模的准备工作．
情
况明才能方法对，
这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同学请教，
尽量
掌握第一手资料
.
模型假设


根据对象的特征和建模的目的，
对问题进行必要的、< br>合理的简化，
用精确的语言
做出假设，
可以说是建模的关键一步．
一般 地说，
一个实际问题不经过简化假设就很难翻译
成数学问题，即使可能，
也很难求解． 不同的简化假设会得到不同的模型．
假设作得不合理
或过份简单，会导致模型失败或部分失败， 于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，
试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，
可能 使你很难甚至无法继续下一步的工作．
通常，
作假设的依据，
一是出于对问题内在规律 的认识，
二是来自对数据或现象的分析，
也可以是
二者的综合．作假设时既要运用与问 题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要
充分发挥想象力、洞察力和判断力，
善于 辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，
舍弃次要
因素，
尽量将问题线性化、
均匀化．
经验在这里也常起重要作用．
写出假设时，
语言要精确，
就象做习题 时写出已知条件那样．

模型构成


根据所作的假设分析对象的因 果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，
构造各个量
(
常量和变量
)
之间的等式
(
或不等式
)
关系或其他数学结构．这里除需要一些相关
学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路
.
当然不能 要求
对数学学科门门精通
,
而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决 ．相似类
比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方
法．
建模时还应遵循的一个原则是，
尽量采用简单的数学工具，
因为你建立的模型总 是希望
能有更多的人了解和使用
,
而不是只供少数人欣赏
.
模型求解


可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各 种传统的和近代
的数学方法，
特别是计算机技术．
一道实际问题的解决往往需要纷繁的 计算，
许多时候还得
将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足 轻重。


模型分析


对模型解答进行数学上的分析，< br>有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或
稳定状况，
有时是根据所得结果给出数学 上的预报，
有时则可能要给出数学上的最优决策或
控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析 、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．

模型检验


把数学上分 析的结果翻译回到实际问题，
并用实际的现象、
数据与之比较，
检验
模型的合 理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对
待．
当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．
模型检验的结果如果不
符合或者部 分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有
些模型要经过几次反复， 不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．

模型应用

应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容不是咱们讨论的
范围。

应当指出，
并不是所有建模过程都要经过这些步骤，
有时各步骤之间的界限也不那么分 明．
建
模时不应拘泥于形式上的按部就班
.
二、数学模型的特点

我们已经知道建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段。
数学模型有许多优点，
也 有弱
点。建模需要相当丰富的知识、
经验和各方面的能力，同时应注意掌握分寸．下面归纳出数
学模型的若干特点，以后在学习过程中逐步领会．

模型的逼真性和可行性


一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，
但是一个非常逼真的
模型在数 学上常常是难于处理的，
因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、
预报、
决策或者控制的目的，
即实用上不可行．另一方面，
越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能
处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而高“费用”不一定与复杂模型取得
的“ 效益”相匹配．所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，
“费用”与“效益”之
间做出折 衷和抉择．

模型的渐进性


稍微复杂一些的实际问题的建模通常 不可能一次成功，
要经过上一节描述的
建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，
以获得越来越满意的模型．在科学
发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，
各门学 科中的数学模型也存在着一个不断完善
或者推陈出新的过程．从
19
世纪力学、热学、 电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到
20
世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性 的明显例证．

模型的强健性

模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测 数据确定的，而观测数据是允
许有误差的．一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当观测数据
(
或其他信息
)
有微小改
变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也 应导致模型求解的结果有微小变化．

模型的可转移性


模型是现 实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，
可以转移到另外的领域．
在生态 、
经济、
社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型．
模
型的这种性质显 示了它的应用的极端广泛性．

模型的非预制性


虽然已经发展了 许多应用广泛的模型，
但是实际问题是各种各样、
变化万
千的，
不可能要求把 各种模型做成预制品供你在建模时使用。
模型的这种非预制性使得建模
本身常常是事先没有答案 的问题
(Open
—
end problem)
．
在建立新的模型的 过程中甚至会伴随
着新的数学方法或数学概念的产生．

模型的条理性


从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、
更深入、
更
具条理性，
这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度，
对问题的研究也是 有利
的。

模型的技艺性


建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、
规划解法等是根本不同的，
无