建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

2021年1月22日发(作者：熊景星)
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

[
学习目标
]

1.
能表述建立数学模型的方法、步骤；

2.
能表述建立数学模型 的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非
预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；

3.
能表述数学建模的分类；

4.
会采用灵活的表述方法建立数学模型；

5.
培养建模的想象力和洞察力。

一、建立数学模型的方法和步骤

—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，
一类是测试分析方法 ．
机理分析是根据对现实对象特性的认识、
分析其因果关系，
找出反映内部机理的规律
,
建立的模型常有明确的物理或现实意义
.
测试分折将
研究对象视为 一个“黑箱”系统，
内部机理无法直接寻求，
可以测量系统的输人
输出数据、
并以此为基础运用统计分析方法，
按照事先确定的准则在某一类模型
中选出一个与数据拟合得最 好的模型。这种方法称为系统辨识
(System
Identification)
．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析
建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参 数．

可以看出，
用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．
如果掌握了机理方面的一定知识，
模型也要求具有反映内部
特 性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然
,
若需要模型参数的具体
数值，< br>还可以用系统辨识或其他统计方法得到．
如果对象的内部机理基本上没掌
握，模型也不用 于分析内部特性
,
譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法
为主．
系统辨 识是一门专门学科，
需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．
以
下所谓建模方法只 指机理分析。

建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的
目的等有关，从

§
16.2
节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模 的—般步骤，如图
16-5
所
示．

图
16-5
建模步骤示意图

模型准备

首先要了解问题的实际背景，
明确建模的目的搜集建模必需的各
种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征
,
由 此初步确定用哪一类模型，总
之是做好建模的准备工作．
情况明才能方法对，
这一步一 定不能忽视，
碰到问题
要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料
.
模型假设

根据对象的特征和建模的目的，
对问题进行必要的、合理的简化，
用精确的语言做出假设，
可以说是建模的关键一步．
一般地说，一个实际问题不
经过简化假设就很难翻译成数学问题，
即使可能，
也很难求解．< br>不同的简化假设
会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，< br>于是应该修改和补充假设；
假设作得过分详细，
试图把复杂对象的各方面因素都
考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一
是出于对问题内在规律的 认识，
二是来自对数据或现象的分析，
也可以是二者的
综合．作假设时既要运用与问题 相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，
又要充分发挥想象力、
洞察力和判断力，
善于辨别问题的主次，
果断地抓住主要
因素，
舍弃次要因素，
尽量将问题线 性化、
均匀化．
经验在这里也常起重要作用．
写
出假设时，语言要精确，就象 做习题时写出已知条件那样．

模型构成

根据所作的假设分析对象的因果 关系，
利用对象的内在规律和适
当的数学工具，
构造各个量
(
常量和 变量
)
之间的等式
(
或不等式
)
关系或其他数学
结 构．
这里除需要一些相关学科的专门知识外，
还常常需要较广阔的应用数学方
面的知识 ，
以开拓思路
.
当然不能要求对数学学科门门精通
,
而是要知道这些 学科
能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．
相似类比法，
即根据不同对象的某些相< br>似性，
借用已知领域的数学模型，
也是构造模型的一种方法．
建模时还应遵循的
一个原则是，
尽量采用简单的数学工具，
因为你建立的模型总是希望能有更多的
人了解和使用
,
而不是只供少数专家欣赏
.

模型求解

可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各
种传统的和近代的数学方法，特 别是计算机技术．

模型分析

对模型解答进行数学上的分析，
有 时要根据问题的性质分析变量
间的依赖关系或稳定状况，
有时是根据所得结果给出数学上的预报 ，
有时则可能
要给出数学上的最优决策或控制，
不论哪种情况还常常需要进行误差分析 、
模型
对数据的稳定性或灵敏性分析等．

模型检验

把 数学上分析的结果翻译回到实际问题，
并用实际的现象、
数据
与之比较，检验模型的合 理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，
要以严肃认真的态度来对待．
当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实
际的检验了．
模型检验的结果如果不符合或者部 分不符合实际，
问题通常出在模
型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几 次反复，不断完
善，直到检验结果获得某种程度上的满意．

模型应用

应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容
不是本书讨论的范围。

应当指出，
并不是所有建模过程都要经过这些步骤，
有时各步骤之间的界限
也 不那么分明．
建模时不应拘泥于形式上的按部就班，
本书的建模实例就采取了
灵活的表 述方式．

二、数学模型的特点

我们已经看到建模是利用数学工具解决实际 问题的重要手段。
数学模型有许
多优点，也有弱点。建模需要相当丰富的知识、经验和各方面的 能力，同时应注
意掌握分寸．下面归纳出数学模型的若干特点，以期在学习过程中逐步领会．

模型的逼真性和可行性

一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，
但是
一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，
因而不容易达到通过建模对现
实对象 进行分析、预报、决策或者控制的目的，即实用上不可行．另一方面，越
逼真的模型常常越复杂，即使数 学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费
用”也相当高，
而高“费用”不一定与复杂模型取 得的“效益”相匹配．
所以建
模时往往需要在模型的逼真性与可行性，
“费用”与“效 益”之间做出折衷和抉
择．

模型的渐进性

稍微复杂一些的实际 问题的建模通常不可能一次成功，
要经
过上一节描述的建模过程的反复迭代，
包括由简 到繁，
也包括删繁就简，
以获得
越来越满意的模型．
在科学发展过程中随着人 们认识和实践能力的提高，
各门学
科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程． 从
19
世纪力学、
热学、电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到
20世纪爱因斯坦相对论模型
的建立，是模型渐进性的明显例证．

模型的强健性

模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的，
而 观测数据是允许有误差的．
一个好的模型应该具有下述意义的强健性：
当观测
数据(
或其他信息
)
有微小改变时，
模型结构和参数只有微小变化，
并且一般也应
导致模型求解的结果有微小变化．

模型的可转移性

模型是现实对象抽象化、
理想化的产物，
它不为对象的所
属领域所独有，可以转移到 另外的领域．在生态、经济、社会等领域内建模就常
常借用物理领域中的模型．模型的这种性质显示了它 的应用的极端广泛性．

模型的非预制性

虽然已经发展了许多应用广泛的 模型，
但是实际问题是各
种各样、
变化万千的，
不可能要求把各种模型做成预 制品供你在建模时使用。
模
型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题
(Open
—
end
problem)
．
在建立新的模型的过程中 甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产
生．

模型的条理性

从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更
全面、
更深入、
更具条理性，
这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的
程度，对问题的研究也是有利的。

模型的技艺性

建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、
规划解法等是
根本不同的，
无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧．
有入说。
建模目 前
与其是一门技术、不如说是一种艺术．是技艺性很强的技巧．经验、想象力、洞
察力、
判断力以及直觉、
灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知
识更大．

模型的局限性

这里有几方面的含义．
第一，
由数学模型得到的结 论虽然具
有通用性和精确性，
但是因为模型是现实对象简化、
理想化的产物，
所以一旦将
模型的结论应用于实际问题，
就回到了现实世界，
那些被忽视、
简 化的因素必须
考虑，
于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的．
第二，
由于人们认识能
力和科学技术包括数学本身发展水平的限制，
还有不少实际问题很难得到有着实
用价值的数学模型．如一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、
技艺性较强的生 产过程，
像生铁冶炼过程，
需要开发专家系统，
与建立数学模型
相结合才能获 得较满意的应用效果．
专家系统是一种计算机软件系统，
它总结专
家的知识和经验，< br>模拟人类的逻辑思维过程，
建立若干规则和推理途径，
主要是
定性地分析各种实 际现象并做出判断．专家系统可以看成计算机模拟的新发
展．
第三，
还有些领域中的问 题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段，
如中医诊断过程，
目前所谓计算机辅助诊断 也是属于总结著名中医的丰富临床经
验的专家系统．

建模过程是一种创造性思维过程 ，
除了想象、
洞察、
判断这些属于形象思维、
逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。
当由于各种
限制利用已有知识难以对研究对象做出 有效的推理和判断时，凭借相似、类比、
猜测、外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的，带启发性 的直觉和灵感，
去“战略性”地认识对象，
是人类创造性思维的特点之一，
也是人脑比 按程序逻
辑工作的计算机、
机器人的高明之处．
历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火 花
中诞生的假说、论证和定律．当然，直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人们具
有丰富的背景 知识，对问题进行反复思考和艰苦探索，对各种思维方法运用娴
熟．
相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，
是激发直觉和灵
感的重要因素．所以由各种专门人才组 成的所谓团队工作方式
(Team work)
越来
越受到重视．

前面说过，
建模可以看成一门艺术．
艺术在某种意义下是无法归纳出几条准
则或方法的 ．
一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，
更需要亲身的实