初三数学竞赛中常用重要定理

2021年1月22日发(作者：戈牢)
初中数学竞赛辅导

3
、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点 分成
2
：
1
的两部分

4
、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点

5
、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6
、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7
、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点

8
、设三 角形
ABC
的外心为
O
，垂心为
H
，从
O
向
BC
边引垂线，设垂足不
L
，则
AH=2OL
9
、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10
、
(
九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆
)
三角形中，
三边中心、
从各顶点 向其对边所
引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，

11
、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线
(
欧拉线
)
上

12
、
库立奇
*
大上定理 ：
(
圆内接四边形的九点圆
)
圆周上有四点，
过其中任三点
作三角形，
这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，
我们把过这四个九点圆
圆心 的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13
、
(
内心
)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：
r=(s-a)(s-b)(s-c)ss
为三角形周长的一半

14
、
(
旁心
)
三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

15
、中线定理 ：
(
巴布斯定理
)
设三角形
ABC
的边
BC
的中点为
P
，则有
AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16
、斯图尔特定理：
P
将三角形
ABC
的边
BC
内分成m:n
，则有
n
×
AB2+m
×
AC2=(m+n)A P2+mnm+nBC2
17
、波罗摩及多定理：圆内接四边形
ABCD
的对角线互相垂直时，连接
AB
中点
M
和对角线交点
E
的直 线垂直于
CD
18
、阿波罗尼斯定理：到两定点
A
、
B
的距离之比为定比
m:n(
值不为
1)
的点
P
，< br>位于将线段
AB
分成
m:n
的内分点
C
和外分点D
为直径两端点的定圆周上

19
、托勒密定理：设四边形
AB CD
内接于圆，则有
AB
×
CD+AD
×
BC=AC < br>20
、以任意三角形
ABC
的边
BC
、
CA
、
AB
为底边，分别向外作底角都是
30
度的等
腰△
BDC
、△
CEA
、△
AFB
，则△
DEF
是正三角形，

21
、爱尔可斯定理
1
：若△
ABC
和三角形△ 都是正三角形，则由线段
AD
、
BE
、
CF
的重心构成的三 角形也是正三角形。

22
、
爱尔可斯定理
2
：
若 △
ABC
、
△
DEF
、
△
GHI
都是正三 角形，
则由三角形△
ADG
、
△
BEH
、△
CFI
的重心构成的三角形是正三角形。

23
、梅涅劳斯定理：设△
A BC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线和一条不 经过它们
任一顶点的直线的交点分别为
P
、
Q
、
R
则有
BPPC
×
CQQA
×
ARRB=1
初中竞赛需要，重要

24
、梅涅劳斯定理的逆定理：
(
略
)
25
、
梅涅劳斯定理的应用定理
1
：
设△
ABC
的∠
A< br>的外角平分线交边
CA
于
Q
、
∠
C
的平分线 交边
AB
于
R
，、∠
B
的平分线交边
CA
于
Q
，则
P
、
Q
、
R
三点共线。

26
、梅涅劳斯定理的应用定理
2
：过任意△
ABC
的三个 顶点
A
、
B
、
C
作它的外接
圆的切线，分别和BC
、
CA
、
AB
的延长线交于点
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、
R
三点共 线

27
、塞瓦定理：设△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
的不在三角形的边或它们的延长线
上的一点
S连接面成的三条直线，分别与边
BC
、
CA
、
AB
或它 们的延长线交于点
P
、
Q
、
R
，则
BPPC
×
CQQA
×
ARRB()=1.
初中竞赛需要，重要
28
、塞瓦定理的应用定理：设平行于△
ABC
的边
BC
的直线 与两边
AB
、
AC
的交点
分别是
D
、
E< br>，又设
BE
和
CD
交于
S
，则
AS
一定过边
BC
的中心
M
29
、塞瓦定理的逆定理：
(
略
)
30
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
1
：三角形的三条中线交于一点

这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮

31
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
2
：设△
ABC
的内切圆和边
BC< br>、
CA
、
AB
分别相
切于点
R
、
S
、
T
，则
AR
、
BS
、
CT
交于 一点。

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、西摩松定理：从△
ABC
的外接圆上任意一点P
向三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长
线作垂线，设其垂足分别是
D
、
E
、
R
，则
D、
E
、
R
共线，
(
这条直线叫西摩松线
)
初中竞赛的常用定理

33
、西摩松定理的逆定理：
(
略
)
34
、史坦 纳定理：设△
ABC
的垂心为
H
，其外接圆的任意点
P
，这 时关于△
ABC
的点
P
的西摩松线通过线段
PH
的中心。< br>
35
、史坦纳定理的应用定理：△
ABC
的外接圆上的一点
P
的关于边
BC
、
CA
、
AB
的对称点和△ABC
的垂心
H
同在一条
(
与西摩松线平行的
)
直线上。
这条直线被叫
做点
P
关于△
ABC
的镜象线。< br>
36
、波朗杰、腾下定理：设△
ABC
的外接圆上的三点为
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、R
关
于△
ABC
交于一点的充要条件是：弧
AP+
弧< br>BQ+
弧
CR=0(mod2
∏
).
37
、波朗 杰、腾下定理推论
1
：设
P
、
Q
、
R
为△
ABC
的外接圆上的三点，若
P
、
Q
、
R
关于△
ABC
的西摩松线交于一点，则
A
、
B
、
C
三点关于△
PQR
的的西摩松线交
于与前相同的一点

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、
波朗杰、
腾下定理推论
2
：
在推论
1
中 ，三条西摩松线的交点是
A
、
B
、
C
、
P
、
Q
、
R
六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的 连线
段的中点。

39
、波朗杰、腾下定理推论
3
：考查 △
ABC
的外接圆上的一点
P
的关于△
ABC
的
西 摩松线，如设
QR
为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点
P
、Q
、
R
的关于△
ABC
的西摩松线交于一点

40
、波朗杰、腾下定理推论
4
：从△
ABC
的顶点向边
B C
、
CA
、
AB
引垂线，设垂足
分别是
D
、
E
、
F
，且设边
BC
、
CA
、
AB
的中点分别是
L
、
M
、
N
，则
D、
E
、
F
、
L
、
M
、
N六点在同一个圆上，这时
L
、
M
、
N
点关于关于△ABC
的西摩松线交于一点。

41
、
关于西摩松线的定理< br>1
：
△
ABC
的外接圆的两个端点
P
、
Q< br>关于该三角形的西
摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。

42
、关于 西摩松线的定理
2(
安宁定理
)
：在一个圆周上有
4
点，以 其中任三点作
三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。