2019年湖南省长沙市中考数学试卷含题目分析

2021年1月22日发(作者：娄仲英)
2019
年湖南省长沙市中考

数学

一、选择题（本题共
12
小题，每题
3
分，共
36
分）

1< br>．
（
3
分）下列各数中，比﹣
3
小的数是（


）

A
．﹣
5
B
．﹣
1
C
．
0
D
．
1
2
．
（
3
分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》
，明确到
2020
年 ，长沙电网建设改造投资规模达
到

元，确保安全供用电需求．数据

用 科学记数法表示为（


）

A
．
15
×
10
9

B
．
1.5
×
10
9

C
．
1.5
×
10
10

D
．
0.15
×
10
11

3
．
（
3
分）下列计算正确的是（


）

A
．
3
a
+2
b
＝
5
ab

B
．
（
a
3
）
2
＝
a
6


C
．
a
6
÷
a
3
＝
a
2

D
．
（
a
+
b
）
2
＝
a
2
+
b
2

4
．
（
3
分）下列事件中，是必然事件的是（


）

A
．购买一张彩票，中奖

B
．射击运动员射击一次，命中靶心


C
．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯


D
．任意画一个三角形，其内角和是
180
°

5
．
（
3
分）如图，平行线
AB
，
CD
被直线
AE
所截，∠
1
＝
80
°，则∠
2
的度数是（< br>

）


A
．
80
°

B
．
90
°

C
．
100
°

D
．
110
°

6
．
（
3
分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（


）


A
．

B
．


C
．
D
．

7
．
（
3
分）在庆祝新中国成立
70
周年的校园歌唱比赛中，
11
名参赛同 学的成绩各不相同，按照成绩取前
5
名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否 进入决赛，小明需要知道这
11
名同学成绩的
（


）

A
．平均数

B
．中位数

C
．众数
D
．方差

8
．
（
3
分）一个扇形的半径为
6
，圆心角为
120
°，则该扇形的面积是（


）

A
．
2
π

B
．
4
π

C
．
12
π
D
．
24
π

9
．
（
3
分）如图 ，
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，∠< br>B
＝
30
°，分别以点
A
和点
B
为圆心，大 于
AB
的长为半
径作弧，两弧相交于
M
、
N
两点， 作直线
MN
，交
BC
于点
D
，连接
AD
， 则∠
CAD
的度数是（


）


A
．
20
°

B
．
30
°

C
．
45
°

D
．
60
°

10
．
（
3
分）如图，一艘轮船从位于灯塔
C
的北偏东
60
°方向，距离灯塔
60
nmile
的小岛
A
出发，沿正南方
向航行一段时间后，
到达位于灯塔
C
的南偏东
45
°方向上的
B
处，
这时轮船
B
与小岛
A
的距离是
（


）


A
．
30
nmile

B
．
60
nmile

）
nmile

C
．
120
nmile
D
．
（
30+3 0
11
．
（
3
分）
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作 ，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度
之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一 尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还
剩余
4.5
尺；将绳 子对折再量木头，则木头还剩余
1
尺，问木头长多少尺？可设木头长为
x
尺， 绳子长为
y
尺，则所列方程组正确的是（


）

A
．
C
．


B
．
D
．



12
．
（
3
分）如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
10
，
tan
A
＝
2
，
BE
⊥
AC
于点
E
，
D
是线段
BE
上的一个动点 ，
则
CD
+
BD
的最小值是（


）


A
．
2

B
．
4
C
．
5
D
．
10 < br>二、填空题（本大题共
6
小题，每小题
3
分，共
18
分）

13
．
（
3
分）式子
在实数范围内有意义， 则实数
x
的取值范围是





．

14
．
（
3
分）分解因式：
am2
﹣
9
a
＝





．

15
．
（
3
分）不等式组
的解集是





．

16
．
（
3
分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下
其颜 色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模
拟的 摸球试验统计表：

摸球实验次
数

“摸出黑球”
的次数

“摸出黑球”
的频率
（结果
保留小数点
后三位）

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是





．
（结果保留小数点后一位）

17
．
（
3
分）如图，要测量池塘两岸相对的
A
，
B
两点间的距离，可以在池塘外选一 点
C
，连接
AC
，
BC
，分
别取
AC，
BC
的中点
D
，
E
，测得
DE
＝< br>50
m
，则
AB
的长是





m
．

0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
36
387
2019
4009
19970
40008
100
1000
5000
10000
50000
100000

18
．
（
3
分）如图，函数
y
＝
（
k
为常数，
k
＞
0
）的图象与过原点的
O的直线相交于
A
，
B
两点，点
M
是
第一象限内 双曲线上的动点（点
M
在点
A
的左侧）
，直线
AM
分别交
x
轴，
y
轴于
C
，
D
两点，连接< br>BM
分别交
x
轴，
y
轴于点
E
，
F
．现有以下四个结论：

①
△
ODM
与△
OCA< br>的面积相等；
②
若
BM
⊥
AM
于点
M
，则∠
MBA
＝
30
°；
③
若
M
点的横 坐标为
1
，
△
OAM
为等边三角形，则
k
＝
2+
；
④
若
MF
＝
MB
，则
MD
＝
2
MA
．

其中正确的结论的序号是





．
（只填序号）


三、解答题（ 本大题共
8
个小题，第
19
、
20
题每小题
6分，第
21
、
22
题每小题
6
分，第
23、
24
题每小
题
6
分，第
25
、
26
题每小题
6
分，共
66
分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或 验算步骤）

19
．
（
6
分）计算：
|
﹣
|+
（
）
﹣
1
﹣
﹣
÷
）÷
﹣
2cos60
°．

，其中
a
＝
3
．

20
．
（6
分）先化简，再求值：
（
21
．
（
8
分）某 学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的
掌握情况， 该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、
合格、待合 格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．

等级

优秀

良好

合格

待合格

频数

21
频率

42%
40%
m

6
3
n
%
6%

（
1
）本次调查随机抽取了





名学生；表中
m
＝





，
n
＝





；

（
2
）补全条形统计图；

（
3
）若全校有
2000
名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多
少人．

22
．
（
8
分）如图，正方形
ABCD< br>，点
E
，
F
分别在
AD
，
CD
上， 且
DE
＝
CF
，
AF
与
BE
相交于点G
．

（
1
）求证：
BE
＝
AF
；

（
2
）若
AB
＝
4
，
DE
＝
1，求
AG
的长．


23
．
（
9分）
近日，
长沙市教育局出台
《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》
，
鼓励教师参与志愿辅导，
某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅 导，据统计，第一批公益课受益学生
2
万人次，第三批公益课受益学生
2.42
万人次．

（
1
）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同， 求这个增长率；

（
2
）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
< br>24
．
（
9
分）
根据相似多边形的定义，
我们把四个 角分别相等，
四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．
相
似四边形对应边的比叫 做相似比．

（
1
）
某同学在探究相似四边形的判定时，
得 到如下三个命题，
请判断它们是否正确
（直接在横线上填写
“真”
或“假”< br>）
．

①
四条边成比例的两个凸四边形相似；
（





命题）

②
三个角分别相等的两个凸四边形相似；
（





命题）

③
两个大小不同的正方形相似．
（





命题）

（
2
）
如图
1
，
在四边形
ABCD
和四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
∠
ABC
＝ ∠
A
1
B
1
C
1
，
∠
BCD＝∠
B
1
C
1
D
1
，
＝
＝< br>．求证：四边形
ABCD
与四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
相似．

（
3
）如图
2
，四边形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，
AC
与
BD
相交于点
O
，过点
O
作
EF
∥
AB
分别交
AD
，
BC
于点
E
，F
．记四边形
ABFE
的面积为
S
1
，四边形
EFCD
的面积为
S
2
，若四边形
ABFE
与四边形
EFCD
相似，求
的值．


25
．
（
10
分）已知抛物线
y
＝﹣
2
x
2
+
（< br>b
﹣
2
）
x
+
（
c
﹣
20 20
）
（
b
，
c
为常数）
．

（
1
）若抛物线的顶点坐标为（
1
，
1
）
，求
b
，
c
的值；

（
2
）若抛物线上始终存在不重 合的两点关于原点对称，求
c
的取值范围；

（
3
）
在
（
1
）
的条件下，
存在正实数
m
，
n
（
m
＜
n
）
，
当
m
≤
x
≤
n
时，
恰好
≤
≤
，
求
m
，
n
的值．

26
．
（
10
分）如图， 抛物线
y
＝
ax
2
+6
ax
（
a
为常数，
a
＞
0
）与
x
轴交于
O
，
A
两点，点
B
为抛物线的顶点，
点
D
的坐标为（
t
，
0
）
（﹣
3
＜
t
＜
0
）
，连接
BD
并延长与过
O
，
A
，
B< br>三点的
⊙
P
相交于点
C
．

（
1
）求点
A
的坐标；

（
2
） 过点
C
作
⊙
P
的切线
CE
交
x
轴 于点
E
．

①
如图
1
，求证：
CE
＝
DE
；

②
如图
2
，连接
AC
，
BE
，
B O
，当
a
＝
，∠
CAE
＝∠
OBE
时，求
﹣
的值．




2019
年湖南省长沙市中考数学试卷

参考答案与试题解析
一、选择题（本题共
12
小题，每题
3
分，共
36
分）

1
．
（
3
分）下列各数中，比﹣
3
小的 数是（


）

A
．﹣
5
B
．﹣
1
C
．
0
D
．
1 < br>【分析】
有理数大小比较的法则：
①
正数都大于
0
；
②
负数都小于
0
；
③
正数大于一切负数；
④
两个负 数，
绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【解答】解：﹣
5
＜ ﹣
3
＜﹣
1
＜
0
＜
1
，

所以比﹣
3
小的数是﹣
5
，

故选：
A
．

【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟 练掌握，解答此题的关键是要明确：
①
正数都大于
0
；
②
负 数都小于
0
；
③
正数大于一切负数；
④
两个负数，绝对值大 的其值反而小．

2
．
（
3
分）根据《长沙市电网供电能力 提升三年行动计划》
，明确到
2020
年，长沙电网建设改造投资规模达
到< br>
元，确保安全供用电需求．数据

用科学记数法表示为（


）

A
．
15
×
10
9

B
．
1.5
×
10
9

C
．
1.5
×
10
10

D
．
0.15
×
10
11

【分析】科学 记数法的表示形式为
a
×
10
n
的形式，其中
1
≤
|
a
|
＜
10
，
n
为整数．确定
n
的值时，要看把
原数变成
a
时，小数点移动了多少位，
n
的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞
1
时，
n
是
正数 ；当原数的绝对值＜
1
时，
n
是负数．

【解答】解：数据
150 0000 0000
用科学记数法表示为
1.5
×
10
10
．

故选：
C
．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法 的表示形式为
a
×
10
n
的形式，其中
1
≤
|
a
|
＜
10
，
n
为整数，表示时关键要正确确 定
a
的值以及
n
的值．

3
．
（
3
分）下列计算正确的是（


）

A
．
3
a
+2
b
＝
5
ab

B
．
（
a
3
）
2
＝
a
6

C
．
a
6
÷
a
3
＝
a
2

D
．
（
a
+
b
）
2
＝
a
2
+
b
2

【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可．

【解答】解：
A
、
3
a
与
2
b
不是同类项，故不能合并，故选项
A
不合题意；


B
、
（
a
3
）
2
＝
a
6
，故选项B
符合题意；

C
、
a
6
÷
a
3
＝
a
3
，故选项
C
不符合题意；

D
、
（
a
+
b
）
2
＝
a
2
+2
ab
+
b
2
，故选项
D
不合题意．< br>
故选：
B
．

【点评】本题主要考查了幂的运算性质、合并 同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答
本题的关键．

4
．
（
3
分）下列事件中，是必然事件的是（


）

A
．购买一张彩票，中奖

B
．射击运动员射击一次，命中靶心


C
．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯


D
．任意画一个三角形，其内角和是
180
°

【分析】< br>先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，
事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，
必然事件和不可能事件都是确定的．

【解答】解：
A
．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；

B
．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；

C
．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；

D< br>．任意画一个三角形，其内角和是
180
°，属于必然事件，符合题意；

故选：
D
．

【点评】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．

5
．
（
3
分）如图，平行线
AB
，
CD
被 直线
AE
所截，∠
1
＝
80
°，则∠
2
的 度数是（


）


A
．
80
°

B
．
90
°

C
．
100
°

【解答】解：∵∠
1
＝
80
°，

∴∠
3
＝
100
°，

∵
AB
∥
CD
，

∴∠
2
＝∠
3
＝
100
°．

故选：
C
．

D
．
110
°

【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．


【点评】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．

6
．
（
3
分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（


）


A
．

B
．


C
．
D
．

【分析】根据几何体的三视图判断即可．

【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．

故选：
D
．

【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关 键是具有较强的空间想象能力，难度不大．

7
．
（
3
分） 在庆祝新中国成立
70
周年的校园歌唱比赛中，
11
名参赛同学的成绩各不相 同，按照成绩取前
5
名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明 需要知道这
11
名同学成绩的
（


）

A
．平均数

B
．中位数

C
．众数
D
．方差

【分析】由于比赛取前
5< br>名参加决赛，共有
11
名选手参加，根据中位数的意义分析即可．

【 解答】解：
11
个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有
5
个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．

故选：
B
．

【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．

8< br>．
（
3
分）一个扇形的半径为
6
，圆心角为
120< br>°，则该扇形的面积是（


）

A
．
2
π

B
．
4
π

C
．
12
π
D
．
24
π

计算即可．

【分析】根据扇形的面积公式
S
＝
【解答】解 ：
S
＝
故选：
C
．

＝
12
π
，

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握 扇形的面积公式
S
＝
是解题的关键．

9
．
（3
分）如图，
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，∠
B
＝
30
°，分别以点
A
和点
B
为圆心，大于
AB
的长为半
径作弧，两弧相交于
M
、< br>N
两点，作直线
MN
，交
BC
于点
D
，连接
AD
，则∠
CAD
的度数是（


）


A
．
20
°

B
．
30
°

C
．
45
°

D
．
60
°

【分析】根据内角和定理求得∠
BA C
＝
60
°，由中垂线性质知
DA
＝
DB
，即∠< br>DAB
＝∠
B
＝
30
°，从而
得出答案．

【解答】解：在△
ABC
中，∵∠
B
＝
30
°，∠
C
＝
90
°，

∴∠
BAC
＝
1 80
°﹣∠
B
﹣∠
C
＝
60
°，

由作图可知
MN
为
AB
的中垂线，

∴
DA
＝
DB
，

∴∠
DAB
＝∠
B
＝
30
°，

∴∠
CAD
＝∠
BAC
﹣∠
DAB
＝
30
°，

故选：
B
．

【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．

10
．
（
3
分）如图，一艘轮船从位于灯塔
C
的北偏东< br>60
°方向，距离灯塔
60
nmile
的小岛
A
出发 ，沿正南方
向航行一段时间后，
到达位于灯塔
C
的南偏东
45
°方向上的
B
处，
这时轮船
B
与小岛
A
的距离是
（


）


A
．
30
nmile

B
．
60
nmile

）
nmile

C
．
120
nmile
D
．
（
30+3 0
【分析】过点
C
作
CD
⊥
AB
，则在
R t
△
ACD
中易得
AD
的长，再在直角△
BCD
中 求出
BD
，相加可得
AB
的长．

【解答】解：过
C
作
CD
⊥
AB
于
D
点，

∴∠
ACD
＝
30
°，∠
BCD
＝
45
°，< br>AC
＝
60
．

在
Rt
△
ACD< br>中，
cos
∠
ACD
＝
∴
CD
＝
A C
?
cos
∠
ACD
＝
60
×
，

＝
30
．

在
Rt
△
DCB
中， ∵∠
BCD
＝∠
B
＝
45
°，

∴
CD
＝
BD
＝
30
，

．

）
nmile
．

∴
AB
＝
AD
+
BD
＝
30+30
故选：
D
．
答：此时轮船所在的
B
处与灯塔
P
的距离是（
30+ 30

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一 般可以转化为解
直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

11
．
（
3
分）
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度
之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根 绳子去量一根木头的长、绳子还
剩余
4.5
尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余< br>1
尺，问木头长多少尺？可设木头长为
x
尺，绳子长为
y
尺， 则所列方程组正确的是（


）

A
．
C
．


B
．
D
．



【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．

【解答】解：由题意可得，

，

故选：
A
．

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组， 解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

12
．
（
3分）如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
10< br>，
tan
A
＝
2
，
BE
⊥
AC于点
E
，
D
是线段
BE
上的一个动点，
则CD
+
BD
的最小值是（


）


A
．
2

B
．
4
C
．
5
D
．
10
＝
2
，设
A E
＝
a
，
BE
＝
2
a
，利用勾股定
【分析】如图，作
DH
⊥
AB
于
H
，
CM
⊥
AB
于
M
．由
tan
A
＝
理构建方程 求出
a
，再证明
DH
＝
BD
，推出
CD
+
BD
＝
CD
+
DH
，由垂线段最短即可解决问题．

【解答】解：如图，作
DH
⊥
AB
于
H
，
CM
⊥
AB
于
M
．


∵
BE
⊥
AC
，

∴∠
ABE
＝
90
°，

∵
tan
A
＝
＝
2
，设
AE
＝
a
，
BE
＝
2
a
，

则有：
100
＝
a< br>2
+4
a
2
，

∴
a
2
＝
20
，

∴
a
＝
2
或﹣
2
（舍弃）
，

，

（等腰三角形两腰上的高相等）
）

∴
BE< br>＝
2
a
＝
4
∴
CM
＝
BE
＝
4
∵
AB
＝
AC
，
BE
⊥
AC
，
CM
⊥
AC
，

∵∠
DBH
＝ ∠
ABE
，∠
BHD
＝∠
BEA
，

∴< br>sin
∠
DBH
＝
∴
DH
＝
∴
CD
+
＝
＝
，

BD
，

BD
＝
CD
+
DH
，

∴
CD
+
DH
≥
CM
，

∴CD
+
∴
CD
+
BD
≥
4
，

．

BD
的最小值为
4
故选：
B
．

【点评】 本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，用 转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共
6
小题， 每小题
3
分，共
18
分）

13
．
（3
分）式子
在实数范围内有意义，则实数
x
的取值范围是

x
≥
5
．

【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．