有理数的概念知识点归纳及练习题

2021年1月22日发(作者：谭元)


有理数的概念知识梳理




有理数的概念

一、目标认知

学习目标：



了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数

表示相反意

义的量。掌握一个数的相反数的求法和性


质，学习使用数轴，借助数
轴理解相反数的几何意义，


会借助数轴比较有理数的大小。

掌握一

个数的绝对值的

求法和性质，

进一步学习使用数轴，

借助数轴理解

绝对



值的几何意义。


重点：

有理数的概念及其分类，

相反数的概念及求法，

绝

对
值的概念及求法，

数轴的概念及应用；

有理数比较大

小

难点：

绝
对值的概念及求法，

尤其是用字母表示的时候

的意义。

运用数轴理
解绝对值的几何意义。

大小的方法的掌握。

例如：

3
、

1.5
、

也可以写作＋

3
、＋

1.5
、＋

。

有理数比较

二、知识要点梳理




知识点一：负数的引入




要点诠释：




正数和负数是根据实际需要而产生的，

发展，

小学学过的自然
随着社会的


数、

分数和小数已不能满足实际

的需要，比如一些有相反意义的量：

收入


200
元和支出

100
元、 零上
6
C
和零下
6
C
等等，它们不但意
义相反，< br>

而且表示一定的数量，

怎样表示它们呢？我们把一种意

义

的量规定为正的，

把另一种和它意义相反的的量规定

为负的，这样就

产生了正数和负数。






用正数和负数表示具有相反意义的量时，

为
哪种意义


正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、
上升、收



入、零

上温度”等规定为正，

而把“后退、

零下温度”等
下降、支出、



规定为负。

知识点二：正数和负数的概念


要点诠释：



（
1
）

像

3
、
1.5
、

在
、
584
等大于

0
的数，叫做正数，

0
以
小学学过的数，除

外都是正数，正数比

0
大。

2
）像－

3
、－

1.5
、

、－

584
等在正数前面加“－”
（

读

作
负
）

号的数，叫做负数。负数比

0
小。

3
）

零既不是正数也不是负数，

零是正数和负数的分

界。

注意：

（
1
）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读

作正）号，
2
）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带

＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如：－

a
一定是负数吗？答案是不一定。因为字

母

a
可以
表示任意的数，
若

a
表示的是正数，则－

a
是负数；若

a
表

示的是

0
，则－

a
仍是

0
；

当

a
表示负数时，－

a
就不是负数了（此时

－
a
是
正数）。

知识点三：

有理数的有关概念

要点诠释：

1
、

有理数：整数和分数统称为有理数。

注：（

1
）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分

母为

1
的数，这时的分数包括整数。

但是本节中的分数不包括分母是

1
的分数。

（
2
）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，

上述小数都可以用分数来表示，

所以我们把有限小数和无限循环小数都看

作分
数。




（
3
）“
0
”即不是正数，也不是负数，但“
0
”是整

数。

2

、整数包括正整数、零、负整数。例如：

1
、
2
、
3
、
0
、


－

1
、－

2
、－

3
等等。




3
、分数包括正分数和负分数，例如：

－

、
、
0.6
、


－


0.6
等等。


知识点四：有理数的分类




要点诠释：




1
、按整数、分数的关系分


类：



2
、

按正数、

负数与

0
的关系分

类：

注：

通常把正数和

0
统称为非负数
,
负数和

0
统称为

非正数
,
正整数
和

0
称为非负整数（也叫做自然数）
,
负整数和

0
统称为非正整数。
如果用字母表示数
,
则

a

>
0
表明
a
是正数；
a
<
0
表明
a
是负数；
a 0
表明
a
是

非负数；

a
0
表明

a
是非正数。

知识点五：数轴的概念

要点诠释：


规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

数轴的定义包含三层含义：

（
1
）数轴是一条直线，

可以向两端
无限延伸；（

2
）数轴有三要素——原点、

正方向、单位长度，三者
缺一不可；（

3
）原点的选定、

正方向的取向、

单位长度大小的确
定，

都是根据实际需

要“规定”的（通常取向右为正方向）。



知识点六：数轴的画法




要点诠释：



1

、画一条直线（一般画成水平的直线）。




2
、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原


点下面标上“
0
”）。


3
、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出

来。
4
、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔

一个单位长度取一点，依次表示为

1
,
2
,
3
.....................
;
从原

点向左
,
每隔一个单位长度取一点
,
依次表示为—

1
,
－
2
，－
3

注：（

1
）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情

况适当选
取；

（
2
）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以

每隔两个

（

或更多的

）

单位长度取一点，

从原点向右，依次表示为

2
,
4
,
6
,……；从原点向

左，依次表示为—
2
,
—

4
,
—

6,
.
...............
; < br>知识点七：数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，
不能说数
轴上所有的点都表示有理数。

要点诠释：
正有理数可以用原点右边的点表示，

负有理数可以用
原点左边的点表示，零用原点表示。

知识点八：利用数轴比较有理数的大小
要点诠释：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数

大。正数都大于

0
；负数都小于

0
；正数大于一切负数。

知识 点九：相反数的概念
1
、相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点

距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

2
、相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了

符号不同以
外完全相同）

，我们说其中一个是另一个的

相反数，

0
的相反数
是

0
。

要点诠释：









(
1
)“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相

同；
(
2
)
现的。

一、先分别


求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个

绝对值的大小；三、
根据“两个负数，绝对值大的反而

小”做出正确的判断。
相反数是数，不是量；
(
3
)
相反数是成对出

知识点十：

相反数的表示方法




要点诠释：

一般地，数

a
的相反数是—

a
。这里
a
表示



任意的一个数，可以是正数、负数、或者



知识点十四：有理数大小的比较法则

要点诠释：

正数都大于

0
，负数都小于

0
，正数大于一

切负数，两
个负数，绝对值大的反而小。

三、规律方法指导

要点诠释：

有理数与小学所学的数，

主要区别在于负数。

有理

数可以用数
轴上的点来表示，

任何一个有理数都能在数

轴上找到表示它的位置，

而是唯一确定的点。

数轴上的

点可以表示三类数。

在数轴上表示零
0

。

知识点十一：多重符号的化简
把多重符号化成单一符号，

如果是正号，

则可以省

略不写，实
际上，多重符号的化简是由“
-
”的个数来

定，若“
-
”个数为偶数
个时，化简结果为正，如

-{-[-(-4)]}=4
时，化简结果

为负，如

-{+[-(-4)]}=-4
；若“
-
”个数为奇数个
的点称做原点，

这个点为界，正有理数
(
正整数、正分数
)
用原点右边

。

的点来表示；负有理数
(
负整数、负分数
)
用原点左边

的点来表示，这
就说明，数轴是有方向的。

1
、在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相

同，如
+
5
=
5
, + (
—

5
)=-
5
。

由于数轴规定了方向，

因而在数轴上排列着的数就

是有顺序
的。

从左到右一个数比一个数大。

即数轴上表

示的数，右边的总比< br>左边的大。
2
、在一个数的前面添上一个“—”号，就成为原数的

相反数。如—

(
—

3)
就是—

3
的相反数，因此，

—

(
—
3)

=
3
。

知识点十二：绝对值的概念


在数轴上，

原点左、

右两边距离原点等远的点所表

示的有理
数，

它们只有符号不同，

这样的一对数称为互

为相反数。


要点诠释：




1
、绝对值的几何定义：一个数

a
的绝对值就是数轴上

表示数
a
的

点与原点的距离，数

a
的绝对值记作“ ”




2
、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；

一个负数的绝对

值是它的相反数；

0
的绝对值是

0
。即





如果数轴上的点只考虑它到原点的距离，

而不考虑

它的正、负方向的数，则表示这个有理数的绝对值。

经典例题透析

类型一：有理数分类的问题

例
1
整数集合

:{

合
:{
…}

…
}
正分数集

知识点十三：两个负数大小的比较



要点诠释：

因为两个负数在数轴上的位置关系是：

绝对值较大

的负数一定在绝对
值较小的负数的左边，

所以，

两个负

数，绝对值大的反而小。比较两个负
数大小的方法是：
负分数集合

:{

合
:{
思路点拨

:

…}

…
}
分数集



这种关于有理数的分类问题，

关键是要掌握各种数

的概念。

小学时所学的自然数就是正整数和零，

进入中

答案
：
D
总结升华

：在一对具有相反意义的量中，若先

规定一个为
正，

则另一个就用负表示；

若先规定一个为

负，则另一个就用正表< br>示。
学，出现了负整数，而整数的范围就扩大到了正整数、

零和负整数。

有限小数和无限循环小数都可以写成分数

的形式，因此，它们都是分
数。




解析：

举一反三：

【变式】

(1)
如果收入

300
元记作

+300
元，那么支出

500
元用

表示，

0
元
表示
_____________
.

(2)
若购进

50
本书，用

-50
本表示，则盈利

30
元如何

总结升华：

表示？

有理数包括整数和分数，

分数包含有限小数和无限

循环小
数，但须注意的是，不是所有的小数都是分数，

比如
n
等。所以，
我们也不能说小学学过的所有数都

是有理数，

还有一部分数不是有
理数，

那么这部分数我

们将在今后学习研究。

类型三：与数轴相关的问题

例

3:
数轴上有一点到原点的距离是

5.5
，那么这个点

表示的数是

________________________
.
思路点拨

:

举一反三：【变式

1
】
在数
-100, 70.8, -
7,
n
, -3.8, 0,,,
中
，
不是分数

到原点的距离等于

5.5
的点既可以在原点左边，也可

以在原点右
边，因此这样的点有两个。

的是

_
________________________
;
不是小数的是


____________
;

不是有理数的是
____________________
。

解析：


【变式
2
】下列四种说法，正确的是



( ).
5.5
或
-5.5
(A)
所有的正数都是整数

数


的数一定是负数



(C)
正有理数包括整数和分数

最小


的有理数




类型二：正负数的概念

(B)
不是正

总结升华

：与数轴相关的问题还有数轴的画法

以及借助数轴来比较有理数的大小。

(D)0
不是

例

4
：如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污

染的部分
内含有的整数为
_________________________
.

例
2
：若把向北走
7km
记为—
7k m,
则
+
10km
表示的含

义是
()
思路点拨

:
数轴上的点表示的数右边的比左边的

大。因此，被
污染的部分的数大于

-1.3
，小于

2.6
，再

考虑这一范围内的整数即
可。







A.
向北走

10km B.
向西走

10km
东走
10km
D.
向南走
10km
C.
向

解析：

思路点拨
：“正”和“负”相对，
-
7km
表示向

北走
7km,
则
-1,0,1,2
+
10km
表示向南走

10 km.