2021年1月23日发(作者：邵子南)

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图



［学习目标］


1.
掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以
及平面镶嵌等。


2.
扇形面积公式：




n
是圆心角度数，
R
是扇形半径，
l
是扇形中弧长。


3.
圆柱是由矩形绕一边旋转
360
°形成的几何体，< br>侧面展开是矩形，
长为底面圆周长，宽为圆柱的高


r
底面半径

h
圆柱高


4.
圆锥侧面积


圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转
360
°形成的几何体。


侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。


5.
了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，
明确圆柱的高和母线，
它
们相等。

6.
了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、
底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有
关问题。


7.
圆柱


圆柱的侧面展开图是两邻边分别 为圆柱的高和圆柱底面周长的矩
形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱的

底
面
半
径
为
r
，
高为
。

h
，
则
：
，


8.
圆锥


圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的 底面是一个圆，侧
面是一个曲面，
这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，
这个扇形
的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的
侧面积是圆锥的母线与底面 周长积的一半。
如图所示，
若圆锥的底面
半径为
r
，母线长为
l
，则





［重点、难点］


扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。


【典型例题】



。



例
1.
已知如图
1
，矩形
ABCD
中，
AB
＝
1cm
，
BC
＝
2cm
，以
B为
圆心，
BC
为半径作
圆弧交
AD
于
F
，交
BA
延长线于
E
，求扇形
BCE
被矩形所截剩余部分 的面积。


图
1

解：∵
AB
＝
1
，
BC
＝
2
，
F
点在以
B< br>为圆心，


BC
为半径的圆上，


∴
BF
＝
2
，∴在
Rt
△
ABF
中，∠
AFB
＝
30
°，∠
ABF
＝
60
°


∴



例
2.
已知扇形的圆心角
150
°，弧长为
____________
。< br>

解：设扇形的面积为
S
，弧长为
l
，所在 圆的半径为
R
，


由弧长公式，得：

∴

，故填
。


，则扇形的面积为



由扇形面积公式，



点拨：本题主要考查弧长公式

和扇形面积公式
。


例
3.
已知弓形的弦长等于半径
R
，则此弓形的面积为
_ _________
。
（弓形的弧为劣弧）
。


解：∵弓形弦长等于半径
R

∴弓形的弧所对的圆心角为
60
°


∴扇形的面积为

三角形的面积为

∴弓形的面积为

即
。故应填
。

。

。

。


点拨：注意弓形面 积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与
三角形面积的和或差。本题若没有括号里的条件，则有两种 情况。



例
4.
若圆锥的母线与底面直径都等于
a
，这个圆锥的侧面积为
_____________
。


解：∵圆锥的底面直径等于
a
。


∴底面半径为
，

。


∴底面圆的周长为

又∵圆锥的母线长为
a
，




∴圆锥的侧面积为

故应填

。


点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面积公
式


例
5.
如图
2
所示，
OA
和
OO1是⊙
O
中互相垂直的半径，
B
在
上，弧
的圆心是
O1
，半径是
OO1
，⊙
O2
与⊙
O
、⊙
O1
、
OA
都
求得。

相切，
OO1
＝
6
，求图中阴影部分的面积。


图
2

解：设⊙
O2
与⊙
O
、⊙
O1
、
OA
分别切于点
D
、
C
、
E
，设⊙
O2
的半径为
r
，连结
O1O2
，
O2E
，过点
O2
作
O2F
⊥
O1O
于
F
，连结
O1B
、
OB
、
OO2
。


∵
O1O
＝
6
，

l

∴








∴



又∵


∴




∴

又∵



∴扇形

∴
，


，



，

，

（舍去）

是等边三角形

，


和扇形
的面积相等且都等于
。

所组成的图形面积为扇形
O1BO
和扇形
OO1B
的
面积之和减去三角形
O1OB< br>的面积，即：



又∵扇形
OAO1
的面积为：

∴阴影部分的面积为：










点拨：本题比较复杂，考查的知识面比较多，要正确作辅助线，
找出解题的思路。


例
6.
在半径为
2
的圆内，
引两条平行弦，
它们所对的弧分别为
120
°
和
60
°，求两弦间所夹图形 的面积及周长。


解：分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况：


①如图
3
所示，由题意
，


图
3

则∠
AOB
＝
120
°， ∠
COD
＝
60
°


又∵
AB
∥
CD
，


∴
，


∴∠
AOC
＝∠
BOD

又∵∠
AOC
＋∠
BOD
＝
180
°


∴∠
AOC
＝∠
BOD
＝
90
°


∴

又∵









故所求面积为


又∵∠
AOC
＝
90
°，


∴

同理





，


又∵△
OCD
是等边三角形，


∴
CD
＝
OC
＝
OD
＝
2

又∵

∴所求的周长





②如图
4
所示，由第一种情况，得所求面积：


图
4