两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

2021年1月24日发(作者：康凯之)

27.2.1

相似三角形的判定


第
3
课时


两边成比例且夹角相等的两个三角形相似






















1
．理解“两边 成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并
能用文字、图形和符号语言表示；
(
重点
)
2
．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 判定两个三角形相似，并解决
简单的问题．
(
难点
)

一、情境导入

利用刻度尺和量角器画两个三角形，
使它们的两条对应边成比 例，
并且夹角相等．
量一
量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否 相等．另两个角是否对应相
等？你能得出什么结论？

二、合作探究

探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

【类型一】

直接利用判定定理判定两个三角形相似


已知：如图，在△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，点
D
、
E
分 别是
AB
、
CB
延长线上的点，
CE
＝
9
，
AD
＝
15
，连接
DE
.
若
BC
＝
6
，
AC
＝
8
，求证：△
ABC
∽△
DBE
.

解析：
首先利用勾股定理可求出
AB
的长，
再由已知条件可求出
DB
，
进而可得到
DB
∶
AB
的值，再计算出
EB
∶
BC
的值，继而可判定
△ABC
∽△
DBE
.

证明：
∵在
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，
BC
＝< br>6
，
AC
＝
8
，∴
AB
＝
BC2
＋
AC
2
＝
10
，∴
DB
＝
AD
－
AB
＝
15
－
10
＝
5
，
∴
DB
∶
AB
＝
1
∶
2.
又∵
EB
＝
CE
－
BC
＝
9
－
6＝
3
，
∴
EB
∶
BC
＝
1
∶
2
，
∴
EB
∶
BC
＝
DB
∶AB
，又∵∠
DBE
＝∠
ABC
＝
90
°，∴ △
ABC
∽△
DBE
.
方法总结：
解本题时一定要注意必 须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，
如公共角、对顶角等．

变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”

第
2
题

【类型二】

添加条件使三角形相似


如图，已知△
ABC
中，
D
为边
AC
上一点，
P
为边
AB
上一点，
AB
＝
12
，
AC
＝
8
，
AD
＝
6
，当
AP
的长度为
________
时，△
A DP
和△
ABC
相似．


AP
AD
AP
6
解析：
当
△
ADP
∽△
ACB
时，＝
，∴
＝
，解得
AP
＝
9.
当
△ADP
∽△
ABC
时，
AB
AC
12
8

AD
AP
6
AP
＝
，∴
＝
，解得AP
＝
4
，∴当
AP
的长度为
4
或
9
时，△
ADP
和
△
ABC
相似．故
AB
A C
12
8
答案为
4
或
9.

方法总结：< br>添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本
题可先假设两个三角形 相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．

变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”

第
5
题

【类型三】

利用三角形相似证明等积式


如图，
CD
是
Rt
△
ABC
斜边
AB
上的高，
E
为
BC的中点，
ED
的延长线交
CA
的
延长线于
F
.
求证：
AC
·
CF
＝
BC
·
DF
.

AD
AC
AD
解析：
先证明△
ADC
∽△
CDB
可得
＝
，
再结合条件证明
△
FDC< br>∽△
F
AD
，
可得
CD
BC
CD
D F
＝
，则可证得结论．

CF
证明：
∵∠
ACB< br>＝
90
°，
CD
⊥
AB
，∴∠
DAC
＋∠
B
＝∠
B
＋∠
DCB
＝
90
°，∴ ∠
DAC
＝
AD
AC
∠
DCB
，且∠
AD C
＝∠
CDB
，∴△
ADC
∽△
CDB
，∴
＝
.
∵
E
为
BC
的中点，
CD
⊥
AB
，
CD
BC
∴
DE
＝
CE
，
∴∠
EDC
＝∠
DCE
，
∵∠
EDC
＋∠
FDA
＝∠
ECD
＋∠
ACD
，
∴∠
FCD＝∠
FDA
，
DF
AD
AC
DF
又∠
F
＝∠
F
，∴△
FDC
∽△
F
AD
，∴< br>＝
，∴
＝
，∴
AC
·
CF
＝
BC< br>·
DF
.
CF
DC
BC
CF
方法总结：< br>证明等积式或比例式的方法：
把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个
三角形的对应 边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．

【类型四】

利用相似三角形的判定进行计算


如图所示，
BC
⊥CD
于点
C
，
BE
⊥
DE
于点
E，
BE
与
CD
相交于点
A
，若
AC
＝
3
，
BC
＝
4
，
AE
＝
2
，求
CD
的长．


解析：
因为
AC
＝
3
，所以只需求出
AD
即可求出
CD
.
可证明△
ABC
与
△
ADE
相似，再
利用相似三角形对应边成 比例即可求出
AD
.

解：
在
Rt
△
AB C
中，由勾股定理可得
AB
＝
BC
2
＋
AC
2
＝
4
2
＋
3
2
＝
5.
∵BC
⊥
CD
，
BE
AB
AC
5
3⊥
DE
，∴∠
C
＝∠
E
，又∵∠
CAB
＝∠
EAD
，∴△
ABC
∽△
ADE
，∴
＝，即
＝
，解
AD
AE
AD
2
10
10
19
得
AD
＝
，∴
CD
＝
AD
＋
AC
＝
＋
3
＝
.
3
3
3
方法总结：
利用相似三角形的判定进行边角计算时，
应先利用条件证明三角形相似或通
过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．

变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第
7
题

【类型五】

利用相似三角形的判定解决动点问题


< br>如图，在△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，
BC
＝
8cm
，
5
AC
－
3
AB
＝< br>0
，点
P
从
B
出发，沿
BC
方向以
2cm/s
的速度移动，与此同时点
Q
从
C
出发，沿
CA< br>方向以
1cm/s
的速度移动，
经过多长时间△
ABC
和△< br>PQC
相似？


解析：
由
AC
与
AB
的关系，设出
AC
＝
3
x
cm
，
AB
＝
5
x
cm
，在直角三角形
ABC
中，利用
勾股定理列出关于
x
的方程，求出方程的解得到
x
的值，进而得到
AB
与
AC
的长．然后设
出动点运动的时间为
t
s
，
根据相应的速度分别表示出
PC
与
CQ
的长，
由
△
ABC
和
△
PQC
相
似，根据对应顶点不同分两种情况列 出比例式，把各边的长代入即可得到关于
t
的方程，求
出方程的解即可得到
t
的值，从而得到所有满足题意的时间
t
的值．

解：
由5
AC
－
3
AB
＝
0
，得到
5
AC
＝
3
AB
，设
AB
为
5
x
cm
，则
AC
＝
3
x
cm
，在
Rt
△
ABC
中，由
BC
＝
8cm
，根据勾股定理得
25
x
2
＝
9
x
2
＋
64
，解得
x
＝
2
或
x
＝－
2(
舍去
)，∴
AB
＝
5
x
＝
10cm
，
AC< br>＝
3
x
＝
6cm.
设经过
t
秒△
A BC
和△
PQC
相似，
则有
BP
＝
2
t< br>cm
，
PC
＝
(8
－
2
t
)cm< br>，
BC
AC
8
6
32
CQ
＝
tcm
，分两种情况：①当△
ABC
∽△
PQC
时，有
＝
，即
＝
，解得
t
＝
；②
QC
PC
t
8
－
2
t
11
当△
ABC
∽△
QPC
时，
有
AC
BC
6
8
12
1232
＝
，
即
＝
，
解得
t
＝
.
综上可知，
经过
或
秒△
ABC
QC
PC
t
8
－
2
t
5
5
11
和△
PQC< br>相似．

方法总结：
本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，
分 两种情况
△
ABC
∽△
PQC
与
△
ABC
∽△
QPC
分别列出比例式来解决问题．

变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第
8
题

三、板书设计

1
．三角形相似的判定定理：

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

2
．应用判定定理解决简单的问题．






本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，
利用多煤体引导学生始终参与到 学
习活动的全过程中，
处于主动学习的状态．
采用动手实践，
自主探索与合作 交流的学习方法，
使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解 决问
题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想
.
27.3

位似

第
1
课时

位似图形的概念及画法






















1
．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的相 关
知识；
(
重点
)
2
．掌握位似图形的画法，能够利用作 位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
(
难点
)


一、情境导入

生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，
由于没有改变 图形的形状，
我们得到的
照片是真实的．

观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？



二、合作探究

探究点：位似图形

【类型一】

判定是否是位似图形


下列
3
个图形中是位似图形的有
(


)

A
．
0
个


B
．
1
个


C
．
2
个


D
．
3
个

解析：
根据位似图形的定义可知两个图 形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都
经过同一个点，对应边互相平行
(
或共 线
)
，所以位似图形是第一个和第三个．故选
C.

方法总结：判断两个图形是不是位似图形，
首先要看它们是不是相似图形，
再看它们对
应顶点 的连线是否交于一点．

变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”

第
1
题

【类型二】

确定位似中心


找出下列图形的位似中心．


解析：
(1)
连 接对应点
AE
、
BF
，并延长的交点就是位似中心；
(2)
连接对应点
AN
、
BM
，
并延长的交点就是位似中心；
(3 )
连接
AA
′
，
BB
′，它们的交点就是位似中心．

解：
(1)
连接对应点
AE
、
BF
，分别延长
AE
、
BF
，使
AE
、
BF
交于点
O
，点
O
就是位似
中心；


(2)
连 接对应点
AN
、
BM
，延长
AN
、
BM
， 使
AN
、
BM
的延长线交于点
O
，点
O
就 是位
似中心；

(3)
连接
AA
′
、
BB
′
，
AA
′、
BB
′
的交点就是位似中心
O
.
方法总结：
确定位似图形的位似中心时，
要找准对应顶点，
再 经过每组对应顶点作直线，
交点即为位似中心．