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西南大学数学与统计学院
432
统计学
[
专业硕士
]
历年考
研真题及详解
20XX
年西南大 学数学与统计学院
432
统计学
[
专业硕士
]
考研真题
20XX
年西南大学数学与统计学院
432
统计 学
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专业硕士
]
考研真题及详解
参考答案
西南大学
20XX
年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：应用统计
研究方向：各方向
试题名称：统计学
试题编号：
432
(
答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效
)
一、单项选择 题
(8
小题，每小题
5
分，共
40
分
)
1
．设事件
A
、
B
相互独立，且
P(A)=0.1
，
P(B)=0.4
，则
( )
．
（
A
）
0.04
，
（
B
）
0.06
，
（
C
）
0.36
，
（
D
）
0.42
，
【答案】
B
【解析】事件
A
、
B
相互独立
,
则有
2
．将三个球随机地放入
4
个杯子中去， 杯子中球的最大个数是
l
的概率为
( )
．
【答案】
C
【解析】杯子中球的最大个数是
l
，说明有一个杯子是 空的，其他三个杯子
各有一个球。三个球随机地放入
4
个杯子中去有
种放法，结果为杯子中球的最大个数是
l
有
种放法。则这种结果的概率
.
3
．以
X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间
(
以分
计
)< br>，
X
的分布函数是
，则等待时间恰好
3
分钟的概率为
( )
．
（
A
）
0
，
（
B
）
e-1.2
，
（
C
）
1-e-1.2
，
（
D
）
1
．
【答案】
C
【解析】
4
．
将
n
只球
(1
～
n
号
)
随机地放进
n
只盒子
(1
～
n
号
)
中去，
一只盒子装一只
球。将一只
球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记
X
为配对的个数，则
E(X)=( )
．
【答案】
D
【解析】记事件
，每个盒子独立看能够配对的概率是
，则有
，得
5
．设
为二维随机变量，且
则下列等式成立的是
( )
．
【答案】
B
【解析】二维随机变量
，
的期望和方差具有以下几个性质：
①设
是常数，则
,
；
②设
是随机变量，
是常量，则有
,
；
③设
，
是随机变量，则有
,
；
④设
，
是两个不相关的随机变量，则
,
,
。
由性质
2
和
3
可得
。
6
．设
是总体
的样本，
未知，则统计量是
( )
．
【答案】
A
【解析】设
是从总体
中抽取的容量为
的一个样本，如果由此样本构造一个函数
，不依赖于任何未知参数，则称函数
是一个统计量。
由此可知统计量是不含 未知参数的样本函数，
根据定义可知
BCD
三项都含未知参数
或
，所以都不是统计量。
7
．设
来自总体
，且相互独立，则随机变量
服从的分布是
( )
．
【答案】
D
【解析】设
是来自总体
的样本，则有
，
,
是相互独立的，则随机变量
8
．设总体
，
未知，
为样本，
S2
为修正样本方差，则检验
问题：
，
(
已知
)
的检验统计量为
( )
．
【答案】
C
【解析】由于
已知，故方差检验所使用的是
统计量，这是因为
EMBED 4
，其中
是指修正后的样本方差，是
的无偏估计，本题中进行的是双侧检验。
二、填空题
(6
小题，每小题
5
分，共
30
分
)
1
．从
5
双不同鞋子中任取
4
只，
4
只鞋子中至少有
2
只配成一双的概率是
。
【解析】从五双不同鞋子中任取
4
只有
种取法。
4
只鞋子中没有配成一双有
种取法，则
4
只鞋子中至少有两只配成一双的概率是
P=
。
2
．设
,
,
,
则
EMBED 4
【解析】因为
,
则
，又已知
，则
,
而
.
3
．设
，则
．
【解析】在连续性随机变量中某一点处的概率为
0
，即
,
可知该正态分布关于
中心对称，则有
4< br>．对敌人防御地段进行
l00
次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变
量， 其期望值是
2
，方差是
l.69
，则
l00
次轰炸中有187
～
213
颗命中目标的概
率
0.6826
【解析】设第
次轰炸命中目标的炸弹数为
则
100
次轰炸命中目标的炸弹数
，且
，
，由中心极限定理可知，
,
则有
5
．设总体
是来自
X
的样本。则
的联合概率密度为
。
【解析】由于总体
，则连续型随机变量
的概率密度为：
是来自
的样本，所以它们相互独立且同分布，则
的联合概率密度
6
．设样本
来自总体
，则
的置信度为
的置信区间为
．
【解析】
是
的无偏估计，且有
,
则
，即
,
则
的置信度为
的置信区间为：
。
三、简述题
(
共
4
小题，每小题
5
分， 共
20
分
)
1
．给出简单随机样本的概念。
答：
设
是具有分布函数
的随机变量，若
是具有同一分布函数
的、相互独立的随机变量，则称
为从分布函数
(
或总体
、或总体
)
得到的容量为
的简单随机样本，简称样本。它们的观察值
称为样本值，又称为
的
个独立的观察值。
简单随机样本的两个主要特点是①随机变量
之间是相互独立的；②随机变量
服从同样的分布，即有相同的概率密度函数（分布函数）
。
2
．简述矩估计的一般步骤。
答：
用样本矩作为总体矩的估计量，
用样本矩的连续函数作为总体矩的连续
函数的估计量，这种估计方法叫做矩估计法。
矩估计的一般步骤：
（
1
）设
是总体
的简单随机样本，已知
的分布函数
其中
是待估参数。
（
2
）设总体的
阶原点矩为
存在，则样本的
阶矩由大数定律可知，
以概率收敛到
，即用
估计
，令
，由此得到一个包含
个未知参数
的联立方程组。从中解得
即为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值。
3
．点估计的评价标准有哪些
?
答：点估计的评价标准有：无偏性、有效性、相合性（一致性）
、均方误差。
（
1
）无偏性
设
是总体
的一个样本，
是包含在总体
的分布中的待估参数，这里
是
的取值范围。若估计量
的数学期望
存在，且对于任意
有
，则称
是
的无偏估计量。
（
2
）有效性
设
与
都是
的无偏估计量，若对于任意
，有
且至少对于某一个
上式中的不等号成立，则称
较
有效。
（
3
）相合性（一致性）
设
为参数
的估计量，若对于任意
，当
时
以概率收敛于
，则称
为
的相合估计量。即，若对于任意
都满足：对于任意
，有
则称
是
的相合估计量。
关于一致性的两个常用结论：
①样本
K
阶矩是总体
K
阶矩的一致估计量。
②若
是
的无偏估计量，并且
，则
EMBED 4
是
的一致估计量。
（
4
）均方误差
设
是
的一个估计（有偏的或无偏的）
，则称
为
的均方误差。均方误差较小意味着：
不仅方差较小，而且偏差
也小，所以均方误差是评价点估计的最一般的标准。
4
．构造置信区间的枢轴量法的具体步骤是什么
?
答：构造置信区间的枢轴量法的具体步骤
:
(1)
从未知参数
的某个点估计
出发，构造
与
的一个函数
使得
的分布（在大样本场合，可以是
的渐近分布）已知，且与
无关。该函数通常称为枢轴量。
(2)
适当选取两个常数
与
，使对给定的
有
.
(3)
利用不等式运算，将不等式
进行等价变形，使得最后能得到形如
的不等式。即
此时参数
的置信度为
的置信区间为
。
四、解答题
(
共
5< br>小题，每小题
10
分，共
50
分
)
1< br>．已知男人中有
5
％是色盲患者，女人中有
0.25
％是色盲患者。今 从男女
人数相等的人群中随机地挑选一人，
恰好是色盲患者，
问此人是男性的概率是多
少
?
解：记事件
分别表示从男女人数相等的人群中随机地挑选一人为男性、女性，事件
为色盲者，则有
，
利用全概率公式可得：
利用贝叶斯公式可得：
则明此人是男性的概率是
。
2
．设
在
上服从均匀分布，试求方程
有实根的概率。
解：方程
有实根的充要条件是
，解得
，根据已知条件
在
上服从均匀分布，可知
的密度函数为：
可得
，说明方程
有实根的概率为
。
3
．设二维随机变量
的概率密度为
(1)
试确定常数
.
解：
（
1
）
由于
得
。
(2)
求边缘概率密度
.
解：
4
．设
是总体
的一个样本，
为一相应的样本值。总体
X
的概率密度函数为
，
，求参数
的最大似然估计量和估计值。
解：构造似然函数：
对数似然函数：
令
，则
，
得到
的最大似然估计值为
相应的最大似然估计量为
。
五、证明题
(10
分
)
设随机变量
X
和
Y
的联合分布为：
试证明
X
和
Y
不相关，但
X
和
Y
不相互独立的。
解：
为二维随机变量，
，
根据随机变量
X
和
Y
的联合分布表得：
，
，
，
，
则
，
的联合分布为：
EMBED 4
，即有
,
说明
与
不相关。
X
与
Y
是不相关的，但是不一定是独立的，即独立是不相关的充分 非必要条
件。要证明
X
与
Y
是非独立的用反证法，举反例即可。
，
由此可知
和
是不相互独立的。
2 0XX
年西南大学数学与统计学院
432
统计学
[
专业硕士
]
考研真题（部分）
20XX
年西南大学数学与统计学院
432
统计学
[
专业硕士
]
考研真题（部分）
及详解
参考答案
西南大学
20XX
年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：应用统计
研究方向：
试题名称：统计学
试题编号：
432
(
答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效
)
一、选择题< br>(8
小题，每小题
5
分，共
40
分
)
1
．设事件
A
、
B
互不相容，且
则
( ).
A
．
0.1
，
B
．
0.18
，
C
．
0.3
，
D
．
0.9.
【答案】
A
【解析】事件
A
、
B
互不相容，则
，
。
因为
，
,
所以
2
．从
1
，
2
，
3
，
4
，
5
五个数码中，任取
3
个不同数码排成 三位数，所得三
位数为偶数的概率为
【答案】
B
【解析】从
1，
2
，
3
，
4
，
5
五个数码中，任取
3
个不同数码排成三位数有
个，其中得到的三位数为偶数的有
个，故所得三位数为偶数的概率为
.
3
．设
在
[-3
，
5]
上服从均匀分布，事件
A
为“方程
有实根”
，则
P(A)=( ).
【答案】
C
【解析】方程
有实根的充要条件是
，解得
，根据已知条件
在
[-3,5]
上服从均匀分布，可知
的密度函数为：
可得
。
4
．设二维随机变量
的概率密度为
则
( )
D
．
1.
【答案】
B
【解析】由题可知
5
．设
为二维随机变量，且
，则下列等式成立的是
( ) .
【答案】
D
【解析】
为二维随机变量，可知
①
；
②
；
③
；
④当
与
不相关时，
与
的协方差为零，即
，此时有
,
。
6
．设
是取自总体Ⅳ
(
μ
，
σ
2)
的样本，
μ
已知，
σ
2
未知，
则是统计量的为
( )
【答案】
B
【解析】设
是从总体
中抽取的容量为
的一个样本，如果由此样本构造一个函数
，不依赖于任何未知参数，则称函数
是一个统计量。由此可知统计量是不含未知参数的样本函数，
,
是常用的两个统计量，而
,
都不是统计量，这是因为其中的
和
都是依赖于总体分布的未知参数。根据题意可知，
均为已知，而
ACD
三项都含未知参数
，所以都不是统计量。
7
．设
是来自总体
的样本，且
，则下列是
μ
的无偏估计的是
( ).
【答案】
D
【解析】无偏估计是指参数的样本估计值的数学期望值等于参数的真实值。
对于
A
项
:
;
对于
B
项
:
对于
C
项
:
-
-
-
-
-
-
-
-
本文更新与2021-01-24 07:00，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/559400.html
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